MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nolt02olem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nolt02olem 27647
Description: Lemma for nolt02o 27648. If 𝐴(𝑋) is undefined with 𝐴 surreal and 𝑋 ordinal, then dom 𝐴𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nolt02olem ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴𝑋)

Proof of Theorem nolt02olem
StepHypRef Expression
1 nosgnn0 27611 . . . 4 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → ¬ ∅ ∈ {1o, 2o})
3 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) = ∅)
4 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → 𝐴 No )
5 norn 27604 . . . . . 6 (𝐴 No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
7 nofun 27602 . . . . . . 7 (𝐴 No → Fun 𝐴)
873ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → Fun 𝐴)
9 fvelrn 7091 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴)
108, 9sylan 578 . . . . 5 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴)
116, 10sseldd 3983 . . . 4 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o})
123, 11eqeltrrd 2830 . . 3 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ∅ ∈ {1o, 2o})
132, 12mtand 814 . 2 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴)
14 nodmon 27603 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
15143ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ∈ On)
16 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → 𝑋 ∈ On)
17 ontri1 6408 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) → (dom 𝐴𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
1815, 16, 17syl2anc 582 . 2 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → (dom 𝐴𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
1913, 18mpbird 256 1 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  c0 4326  {cpr 4634  dom cdm 5682  ran crn 5683  Oncon0 6374  Fun wfun 6547  cfv 6553  1oc1o 8486  2oc2o 8487   No csur 27593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596
This theorem is referenced by:  nolt02o  27648  nogt01o  27649
  Copyright terms: Public domain W3C validator