Theorem nolt02olem 27757

Description: Lemma for nolt02o 27758. If 𝐴(𝑋) is undefined with 𝐴 surreal and 𝑋 ordinal, then dom 𝐴 ⊆ 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nolt02olem	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem nolt02olem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosgnn0 27721	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ ∅ ∈ {1o, 2o})
3		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) = ∅)
4		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
5		norn 27714	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
7		nofun 27712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → Fun 𝐴)
9		fvelrn 7110	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
10	8, 9	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
11	6, 10	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ {1o, 2o})
12	3, 11	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ∅ ∈ {1o, 2o})
13	2, 12	mtand 815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴)
14		nodmon 27713	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)
15	14	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ∈ On)
16		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → 𝑋 ∈ On)
17		ontri1 6429	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
19	13, 18	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {cpr 4650  dom cdm 5700  ran crn 5701  Oncon0 6395  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   No csur 27702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705

This theorem is referenced by:  nolt02o  27758  nogt01o  27759