Theorem nolt02olem 33634

Description: Lemma for nolt02o 33635. If 𝐴(𝑋) is undefined with 𝐴 surreal and 𝑋 ordinal, then dom 𝐴 ⊆ 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nolt02olem	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem nolt02olem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosgnn0 33598	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ ∅ ∈ {1o, 2o})
3		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) = ∅)
4		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
5		norn 33591	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
7		nofun 33589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → Fun 𝐴)
9		fvelrn 6897	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
10	8, 9	sylan 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
11	6, 10	sseldd 3902	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ {1o, 2o})
12	3, 11	eqeltrrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ∅ ∈ {1o, 2o})
13	2, 12	mtand 816	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴)
14		nodmon 33590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)
15	14	3ad2ant1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ∈ On)
16		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → 𝑋 ∈ On)
17		ontri1 6247	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
18	15, 16, 17	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
19	13, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  {cpr 4543  dom cdm 5551  ran crn 5552  Oncon0 6213  Fun wfun 6374  ‘cfv 6380  1_oc1o 8195  2_oc2o 8196   No csur 33580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-1o 8202  df-2o 8203  df-no 33583

This theorem is referenced by:  nolt02o  33635  nogt01o  33636