Theorem nolt02olem 27824

Description: Lemma for nolt02o 27825. If 𝐴(𝑋) is undefined with 𝐴 surreal and 𝑋 ordinal, then dom 𝐴 ⊆ 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nolt02olem	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem nolt02olem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosgnn0 27788	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ ∅ ∈ {1o, 2o})
3		simpl3 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) = ∅)
4		simpl1 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → 𝐴 ∈ No )
5		norn 27781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
7		nofun 27779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → Fun 𝐴)
8	7	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → Fun 𝐴)
9		fvelrn 7072	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
10	8, 9	sylan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ ran 𝐴)
11	6, 10	sseldd 3946	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴‘𝑋) ∈ {1o, 2o})
12	3, 11	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ∅ ∈ {1o, 2o})
13	2, 12	mtand 827	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴)
14		nodmon 27780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)
15	14	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ∈ On)
16		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → 𝑋 ∈ On)
17		ontri1 6396	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
18	15, 16, 17	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → (dom 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
19	13, 18	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴‘𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ⊆ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {cpr 4596  dom cdm 5662  ran crn 5663  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447   No csur 27770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-1o 8453  df-2o 8454  df-no 27773

This theorem is referenced by:  nolt02o  27825  nogt01o  27826