Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nolt02olem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nolt02olem 32441
Description: Lemma for nolt02o 32442. If 𝐴(𝑋) is undefined with 𝐴 surreal and 𝑋 ordinal, then dom 𝐴𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nolt02olem ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴𝑋)

Proof of Theorem nolt02olem
StepHypRef Expression
1 nosgnn0 32408 . . . 4 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → ¬ ∅ ∈ {1o, 2o})
3 simpl3 1203 . . . 4 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) = ∅)
4 simpl1 1199 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → 𝐴 No )
5 norn 32401 . . . . . 6 (𝐴 No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
7 nofun 32399 . . . . . . 7 (𝐴 No → Fun 𝐴)
873ad2ant1 1124 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → Fun 𝐴)
9 fvelrn 6618 . . . . . 6 ((Fun 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴)
108, 9sylan 575 . . . . 5 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴)
116, 10sseldd 3822 . . . 4 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o})
123, 11eqeltrrd 2860 . . 3 (((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐴) → ∅ ∈ {1o, 2o})
132, 12mtand 806 . 2 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴)
14 nodmon 32400 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
15143ad2ant1 1124 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴 ∈ On)
16 simp2 1128 . . 3 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → 𝑋 ∈ On)
17 ontri1 6012 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ On) → (dom 𝐴𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
1815, 16, 17syl2anc 579 . 2 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → (dom 𝐴𝑋 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴))
1913, 18mpbird 249 1 ((𝐴 No 𝑋 ∈ On ∧ (𝐴𝑋) = ∅) → dom 𝐴𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  c0 4141  {cpr 4400  dom cdm 5357  ran crn 5358  Oncon0 5978  Fun wfun 6131  cfv 6137  1oc1o 7838  2oc2o 7839   No csur 32390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-1o 7845  df-2o 7846  df-no 32393
This theorem is referenced by:  nolt02o  32442
  Copyright terms: Public domain W3C validator