Theorem sltso 27655

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 27654	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27621	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 27622	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27637	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8164	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4322  {cpr 4632  {ctp 4634  ⟨cop 4636   Or wor 5589  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481   No csur 27618   <s cslt 27619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-fv 6557  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27621  df-slt 27622

This theorem is referenced by:  nosepne  27659  nosepdm  27663  nodenselem4  27666  nodenselem5  27667  nodenselem7  27669  nolt02o  27674  nogt01o  27675  noresle  27676  nomaxmo  27677  nominmo  27678  nosupprefixmo  27679  noinfprefixmo  27680  nosupbnd1lem1  27687  nosupbnd1lem2  27688  nosupbnd1lem4  27690  nosupbnd1lem6  27692  nosupbnd1  27693  nosupbnd2lem1  27694  nosupbnd2  27695  noinfbnd1lem1  27702  noinfbnd1lem2  27703  noinfbnd1lem4  27705  noinfbnd1lem6  27707  noinfbnd1  27708  noinfbnd2lem1  27709  noinfbnd2  27710  noetasuplem4  27715  noetainflem4  27719  sltirr  27725  slttr  27726  sltasym  27727  sltlin  27728  slttrieq2  27729  slttrine  27730  sleloe  27733  sltletr  27735  slelttr  27736