Theorem sltso 27179

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 27178	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27146	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 27147	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27161	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8145	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4323  {cpr 4631  {ctp 4633  ⟨cop 4635   Or wor 5588  1_oc1o 8459  2_oc2o 8460   No csur 27143   <s cslt 27144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147

This theorem is referenced by:  nosepne  27183  nosepdm  27187  nodenselem4  27190  nodenselem5  27191  nodenselem7  27193  nolt02o  27198  nogt01o  27199  noresle  27200  nomaxmo  27201  nominmo  27202  nosupprefixmo  27203  noinfprefixmo  27204  nosupbnd1lem1  27211  nosupbnd1lem2  27212  nosupbnd1lem4  27214  nosupbnd1lem6  27216  nosupbnd1  27217  nosupbnd2lem1  27218  nosupbnd2  27219  noinfbnd1lem1  27226  noinfbnd1lem2  27227  noinfbnd1lem4  27229  noinfbnd1lem6  27231  noinfbnd1  27232  noinfbnd2lem1  27233  noinfbnd2  27234  noetasuplem4  27239  noetainflem4  27243  sltirr  27249  slttr  27250  sltasym  27251  sltlin  27252  slttrieq2  27253  slttrine  27254  sleloe  27257  sltletr  27259  slelttr  27260