Theorem sltso 27615

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 27614	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27581	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 27582	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27597	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8089	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4280  {cpr 4575  {ctp 4577  ⟨cop 4579   Or wor 5521  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379   No csur 27578   <s cslt 27579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-1o 8385  df-2o 8386  df-no 27581  df-slt 27582

This theorem is referenced by:  nosepne  27619  nosepdm  27623  nodenselem4  27626  nodenselem5  27627  nodenselem7  27629  nolt02o  27634  nogt01o  27635  noresle  27636  nomaxmo  27637  nominmo  27638  nosupprefixmo  27639  noinfprefixmo  27640  nosupbnd1lem1  27647  nosupbnd1lem2  27648  nosupbnd1lem4  27650  nosupbnd1lem6  27652  nosupbnd1  27653  nosupbnd2lem1  27654  nosupbnd2  27655  noinfbnd1lem1  27662  noinfbnd1lem2  27663  noinfbnd1lem4  27665  noinfbnd1lem6  27667  noinfbnd1  27668  noinfbnd2lem1  27669  noinfbnd2  27670  noetasuplem4  27675  noetainflem4  27679  sltirr  27685  slttr  27686  sltasym  27687  sltlin  27688  slttrieq2  27689  slttrine  27690  sleloe  27693  sltletr  27695  slelttr  27696  n0sfincut  28282