MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltso 27008
Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sltso <s Or No

Proof of Theorem sltso
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sltsolem1 27007 . 2 {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2 df-no 26975 . 2 No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3 df-slt 26976 . 2 <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 No 𝑔 No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ∧ (𝑓𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔𝑥)))}
4 nosgnn0 26990 . 2 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
51, 2, 3, 4soseq 8087 1 <s Or No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  c0 4280  {cpr 4586  {ctp 4588  cop 4590   Or wor 5542  1oc1o 8401  2oc2o 8402   No csur 26972   <s cslt 26973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-1o 8408  df-2o 8409  df-no 26975  df-slt 26976
This theorem is referenced by:  nosepne  27012  nosepdm  27016  nodenselem4  27019  nodenselem5  27020  nodenselem7  27022  nolt02o  27027  nogt01o  27028  noresle  27029  nomaxmo  27030  nominmo  27031  nosupprefixmo  27032  noinfprefixmo  27033  nosupbnd1lem1  27040  nosupbnd1lem2  27041  nosupbnd1lem4  27043  nosupbnd1lem6  27045  nosupbnd1  27046  nosupbnd2lem1  27047  nosupbnd2  27048  noinfbnd1lem1  27055  noinfbnd1lem2  27056  noinfbnd1lem4  27058  noinfbnd1lem6  27060  noinfbnd1  27061  noinfbnd2lem1  27062  noinfbnd2  27063  noetasuplem4  27068  noetainflem4  27072  sltirr  27078  slttr  27079  sltasym  27080  sltlin  27081  slttrieq2  27082  slttrine  27083  sleloe  27086  sltletr  27088  slelttr  27089
  Copyright terms: Public domain W3C validator