Theorem sltso 33185

Description: Surreal less than totally orders the surreals. Alling's axiom (O). (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 33184	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 33154	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 33155	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 33169	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 33100	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4294  {cpr 4572  {ctp 4574  ⟨cop 4576   Or wor 5476  1_oc1o 8098  2_oc2o 8099   No csur 33151   <s cslt 33152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-1o 8105  df-2o 8106  df-no 33154  df-slt 33155

This theorem is referenced by:  nosepne  33189  nosepdm  33192  nodenselem4  33195  nodenselem5  33196  nodenselem7  33198  nolt02o  33203  noresle  33204  nomaxmo  33205  noprefixmo  33206  nosupbnd1lem1  33212  nosupbnd1lem2  33213  nosupbnd1lem4  33215  nosupbnd1lem6  33217  nosupbnd1  33218  nosupbnd2lem1  33219  nosupbnd2  33220  noetalem3  33223  sltirr  33229  slttr  33230  sltasym  33231  sltlin  33232  slttrieq2  33233  slttrine  33234  sleloe  33237  sltletr  33239  slelttr  33240