MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltso 26976
Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sltso <s Or No

Proof of Theorem sltso
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sltsolem1 26975 . 2 {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2 df-no 26943 . 2 No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3 df-slt 26944 . 2 <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 No 𝑔 No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ∧ (𝑓𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔𝑥)))}
4 nosgnn0 26958 . 2 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
51, 2, 3, 4soseq 8083 1 <s Or No
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  c0 4280  {cpr 4586  {ctp 4588  cop 4590   Or wor 5542  1oc1o 8397  2oc2o 8398   No csur 26940   <s cslt 26941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-1o 8404  df-2o 8405  df-no 26943  df-slt 26944
This theorem is referenced by:  nosepne  26980  nosepdm  26984  nodenselem4  26987  nodenselem5  26988  nodenselem7  26990  nolt02o  26995  nogt01o  26996  noresle  26997  nomaxmo  26998  nominmo  26999  nosupprefixmo  27000  noinfprefixmo  27001  nosupbnd1lem1  27008  nosupbnd1lem2  27009  nosupbnd1lem4  27011  nosupbnd1lem6  27013  nosupbnd1  27014  nosupbnd2lem1  27015  nosupbnd2  27016  noinfbnd1lem1  27023  noinfbnd1lem2  27024  noinfbnd1lem4  27026  noinfbnd1lem6  27028  noinfbnd1  27029  noinfbnd2lem1  27030  noinfbnd2  27031  noetasuplem4  27036  noetainflem4  27040  sltirr  27046  slttr  27047  sltasym  27048  sltlin  27049  slttrieq2  27050  slttrine  27051  sleloe  27054  sltletr  27056  slelttr  27057
  Copyright terms: Public domain W3C validator