Theorem sltso 27621

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 27620	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27587	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 27588	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27603	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8115	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4292  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   Or wor 5538  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405   No csur 27584   <s cslt 27585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27587  df-slt 27588

This theorem is referenced by:  nosepne  27625  nosepdm  27629  nodenselem4  27632  nodenselem5  27633  nodenselem7  27635  nolt02o  27640  nogt01o  27641  noresle  27642  nomaxmo  27643  nominmo  27644  nosupprefixmo  27645  noinfprefixmo  27646  nosupbnd1lem1  27653  nosupbnd1lem2  27654  nosupbnd1lem4  27656  nosupbnd1lem6  27658  nosupbnd1  27659  nosupbnd2lem1  27660  nosupbnd2  27661  noinfbnd1lem1  27668  noinfbnd1lem2  27669  noinfbnd1lem4  27671  noinfbnd1lem6  27673  noinfbnd1  27674  noinfbnd2lem1  27675  noinfbnd2  27676  noetasuplem4  27681  noetainflem4  27685  sltirr  27691  slttr  27692  sltasym  27693  sltlin  27694  slttrieq2  27695  slttrine  27696  sleloe  27699  sltletr  27701  slelttr  27702  n0sfincut  28286