Theorem sltso 27564

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 27563	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27530	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 27531	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27546	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8115	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4292  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   Or wor 5538  1_oc1o 8404  2_oc2o 8405   No csur 27527   <s cslt 27528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530  df-slt 27531

This theorem is referenced by:  nosepne  27568  nosepdm  27572  nodenselem4  27575  nodenselem5  27576  nodenselem7  27578  nolt02o  27583  nogt01o  27584  noresle  27585  nomaxmo  27586  nominmo  27587  nosupprefixmo  27588  noinfprefixmo  27589  nosupbnd1lem1  27596  nosupbnd1lem2  27597  nosupbnd1lem4  27599  nosupbnd1lem6  27601  nosupbnd1  27602  nosupbnd2lem1  27603  nosupbnd2  27604  noinfbnd1lem1  27611  noinfbnd1lem2  27612  noinfbnd1lem4  27614  noinfbnd1lem6  27616  noinfbnd1  27617  noinfbnd2lem1  27618  noinfbnd2  27619  noetasuplem4  27624  noetainflem4  27628  sltirr  27634  slttr  27635  sltasym  27636  sltlin  27637  slttrieq2  27638  slttrine  27639  sleloe  27642  sltletr  27644  slelttr  27645  n0sfincut  28222