Theorem sltso 33806

Description: Surreal less than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 33805	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 33773	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-slt 33774	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 33788	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 33730	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4253  {cpr 4560  {ctp 4562  ⟨cop 4564   Or wor 5493  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261   No csur 33770   <s cslt 33771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-1o 8267  df-2o 8268  df-no 33773  df-slt 33774

This theorem is referenced by:  nosepne  33810  nosepdm  33814  nodenselem4  33817  nodenselem5  33818  nodenselem7  33820  nolt02o  33825  nogt01o  33826  noresle  33827  nomaxmo  33828  nominmo  33829  nosupprefixmo  33830  noinfprefixmo  33831  nosupbnd1lem1  33838  nosupbnd1lem2  33839  nosupbnd1lem4  33841  nosupbnd1lem6  33843  nosupbnd1  33844  nosupbnd2lem1  33845  nosupbnd2  33846  noinfbnd1lem1  33853  noinfbnd1lem2  33854  noinfbnd1lem4  33856  noinfbnd1lem6  33858  noinfbnd1  33859  noinfbnd2lem1  33860  noinfbnd2  33861  noetasuplem4  33866  noetainflem4  33870  sltirr  33876  slttr  33877  sltasym  33878  sltlin  33879  slttrieq2  33880  slttrine  33881  sleloe  33884  sltletr  33886  slelttr  33887