Theorem nsuceq0 6450

Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4294	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 6448	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2855	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6		0ex 5273	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
7		eleq1 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
9	8	con3i 155	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10		sucprc 6443	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
11	10	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
12	9, 11	mtbird 328	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
13	5, 12	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ¬ suc 𝐴 = ∅
14	13	neir 2964	1 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-nul 4290  df-sn 4593  df-suc 6370

This theorem is used by:  0elsuc  7833  peano3OLD  7890  2on0  8470  1n0  8474  oelim2  8583  limenpsi  9142  ttrclselem2  9697  fseqdom  10021  dfac12lem2  10139  cfsuc  10251  cfpwsdom  10579  rankcf  10772  nosgnn0  27837  ltssolem1  27854  dfrdg2  36297  dfrdg4  36455  dfsucon  44281  ensucne0  44287  ensucne0OLD  44288