Theorem nsuceq0 6405

Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4297	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 6403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6		0ex 5257	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
7		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
9	8	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10		sucprc 6398	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
11	10	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
12	9, 11	mtbird 325	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
13	5, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ¬ suc 𝐴 = ∅
14	13	neir 2928	1 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444  ∅c0 4292  suc csuc 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-nul 4293  df-sn 4586  df-suc 6326

This theorem is referenced by:  0elsuc  7790  peano3  7847  2on0  8425  oelim2  8536  limenpsi  9093  enp1iOLD  9201  ttrclselem2  9655  fseqdom  9955  dfac12lem2  10074  cfsuc  10186  cfpwsdom  10513  rankcf  10706  nosgnn0  27603  sltsolem1  27620  dfrdg2  35776  dfrdg4  35932  dfsucon  43505  ensucne0  43511  ensucne0OLD  43512