Theorem nsuceq0 6417

Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4301	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 6415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2817	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6		0ex 5262	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
7		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
9	8	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10		sucprc 6410	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
11	10	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
12	9, 11	mtbird 325	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
13	5, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ¬ suc 𝐴 = ∅
14	13	neir 2928	1 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296  suc csuc 6334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-nul 4297  df-sn 4590  df-suc 6338

This theorem is referenced by:  0elsuc  7810  peano3  7867  2on0  8448  oelim2  8559  limenpsi  9116  enp1iOLD  9225  ttrclselem2  9679  fseqdom  9979  dfac12lem2  10098  cfsuc  10210  cfpwsdom  10537  rankcf  10730  nosgnn0  27570  sltsolem1  27587  dfrdg2  35783  dfrdg4  35939  dfsucon  43512  ensucne0  43518  ensucne0OLD  43519