Theorem nsuceq0 6408

Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
nsuceq0	⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4278	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		sucidg 6406	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		eleq2 2825	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ ∅))
4	2, 3	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
5	1, 4	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6		0ex 5242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
7		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
9	8	con3i 154	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10		sucprc 6401	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
11	10	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
12	9, 11	mtbird 325	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
13	5, 12	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ¬ suc 𝐴 = ∅
14	13	neir 2935	1 ⊢ suc 𝐴 ≠ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429  ∅c0 4273  suc csuc 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-nul 4274  df-sn 4568  df-suc 6329

This theorem is referenced by:  0elsuc  7786  peano3  7842  2on0  8419  oelim2  8531  limenpsi  9090  ttrclselem2  9647  fseqdom  9948  dfac12lem2  10067  cfsuc  10179  cfpwsdom  10507  rankcf  10700  nosgnn0  27622  ltssolem1  27639  dfrdg2  35975  dfrdg4  36133  dfsucon  43950  ensucne0  43956  ensucne0OLD  43957