MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsuceq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsuceq0 6469
Description: No successor is empty. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
nsuceq0 suc 𝐴 ≠ ∅

Proof of Theorem nsuceq0
StepHypRef Expression
1 noel 4344 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 sucidg 6467 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 eleq2 2828 . . . . 5 (suc 𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ∈ ∅))
42, 3syl5ibcom 245 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ ∅))
51, 4mtoi 199 . . 3 (𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
6 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
7 eleq1 2827 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
86, 7mpbiri 258 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ V)
98con3i 154 . . . 4 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 = ∅)
10 sucprc 6462 . . . . 5 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1110eqeq1d 2737 . . . 4 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))
129, 11mtbird 325 . . 3 𝐴 ∈ V → ¬ suc 𝐴 = ∅)
135, 12pm2.61i 182 . 2 ¬ suc 𝐴 = ∅
1413neir 2941 1 suc 𝐴 ≠ ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  suc csuc 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-nul 4340  df-sn 4632  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  0elsuc  7855  peano3  7914  2on0  8521  oelim2  8632  limenpsi  9191  enp1iOLD  9312  ttrclselem2  9764  fseqdom  10064  dfac12lem2  10183  cfsuc  10295  cfpwsdom  10622  rankcf  10815  nosgnn0  27718  sltsolem1  27735  dfrdg2  35777  dfrdg4  35933  dfsucon  43513  ensucne0  43519  ensucne0OLD  43520
  Copyright terms: Public domain W3C validator