Theorem opeldifid 32695

Description: Ordered pair elementhood outside of the diagonal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeldifid	⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem opeldifid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldif 5765	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → Rel (𝐴 ∖ I ))
2		brrelex2 5679	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐴 ∖ I ) ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
3	1, 2	sylan 586	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
4		brrelex2 5679	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋𝐴𝑌) → 𝑌 ∈ V)
5	4	adantrr 723	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
6		brdif 5132	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
7		ideqg 5800	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	7	necon3bbid 2972	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 636	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ((𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	6, 9	bitrid 284	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	3, 5, 10	pm5.21nd 807	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12		df-br 5080	. 2 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ))
13		df-br 5080	. . 3 ⊢ (𝑋𝐴𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴)
14	13	anbi1i 630	. 2 ⊢ ((𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
15	11, 12, 14	3bitr3g 314	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079   I cid 5519  Rel wrel 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632

This theorem is referenced by:  qtophaus  34027