Theorem opeldifid 32881

Description: Ordered pair elementhood outside of the diagonal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeldifid	⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem opeldifid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldif 5800	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → Rel (𝐴 ∖ I ))
2		brrelex2 5713	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐴 ∖ I ) ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
3	1, 2	sylan 591	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
4		brrelex2 5713	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋𝐴𝑌) → 𝑌 ∈ V)
5	4	adantrr 729	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
6		brdif 5165	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
7		ideqg 5835	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	7	necon3bbid 3001	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 641	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ((𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	6, 9	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	3, 5, 10	pm5.21nd 813	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12		df-br 5111	. 2 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ))
13		df-br 5111	. . 3 ⊢ (𝑋𝐴𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴)
14	13	anbi1i 635	. 2 ⊢ ((𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
15	11, 12, 14	3bitr3g 316	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   I cid 5553  Rel wrel 5664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666

This theorem is referenced by:  qtophaus  34167