Theorem opeldifid 33072

Description: Ordered pair elementhood outside of the diagonal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeldifid	⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem opeldifid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldif 5796	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → Rel (𝐴 ∖ I ))
2		brrelex2 5709	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐴 ∖ I ) ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
4		brrelex2 5709	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋𝐴𝑌) → 𝑌 ∈ V)
5	4	adantrr 730	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
6		brdif 5158	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
7		ideqg 5831	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	7	necon3bbid 2992	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ((𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	6, 9	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	3, 5, 10	pm5.21nd 814	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12		df-br 5104	. 2 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ))
13		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝑋𝐴𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴)
14	13	anbi1i 636	. 2 ⊢ ((𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
15	11, 12, 14	3bitr3g 316	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   I cid 5549  Rel wrel 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662

This theorem is used by:  qtophaus  34346