Theorem opeldifid 32758

Description: Ordered pair elementhood outside of the diagonal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
opeldifid	⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Proof of Theorem opeldifid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldif 5784	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → Rel (𝐴 ∖ I ))
2		brrelex2 5697	. . . 4 ⊢ ((Rel (𝐴 ∖ I ) ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
3	1, 2	sylan 589	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌) → 𝑌 ∈ V)
4		brrelex2 5697	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝑋𝐴𝑌) → 𝑌 ∈ V)
5	4	adantrr 727	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ V)
6		brdif 5150	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌))
7		ideqg 5819	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
8	7	necon3bbid 2993	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ V → (¬ 𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
9	8	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ V → ((𝑋𝐴𝑌 ∧ ¬ 𝑋 I 𝑌) ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
10	6, 9	bitrid 285	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
11	3, 5, 10	pm5.21nd 811	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ (𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
12		df-br 5098	. 2 ⊢ (𝑋(𝐴 ∖ I )𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ))
13		df-br 5098	. . 3 ⊢ (𝑋𝐴𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴)
14	13	anbi1i 633	. 2 ⊢ ((𝑋𝐴𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
15	11, 12, 14	3bitr3g 315	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐴 ∖ I ) ↔ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097   I cid 5537  Rel wrel 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650

This theorem is referenced by:  qtophaus  34093