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Theorem qtophaus 31319
 Description: If an open map's graph in the product space (𝐽 ×t 𝐽) is closed, then its quotient topology is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophaus.x 𝑋 = 𝐽
qtophaus.e = (𝐹𝐹)
qtophaus.h 𝐻 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
qtophaus.1 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
qtophaus.2 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
qtophaus.3 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
qtophaus.4 (𝜑 ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Assertion
Ref Expression
qtophaus (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem qtophaus
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophaus.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
2 haustop 22044 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 qtophaus.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
5 fofn 6583 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7 qtophaus.x . . . 4 𝑋 = 𝐽
87qtoptop 22413 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
93, 6, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10 txtop 22282 . . . 4 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top) → ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top)
119, 9, 10syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top)
12 idssxp 5893 . . . 4 ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹))
13 eqid 2758 . . . . . 6 (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop 𝐹)
1413, 13txuni 22305 . . . . 5 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top) → ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
159, 9, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
1612, 15sseqtrid 3946 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
177qtopuni 22415 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
183, 4, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
1918sqxpeqd 5560 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)))
2019, 15eqtr2d 2794 . . . . 5 (𝜑 ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) = (𝑌 × 𝑌))
2118eqcomd 2764 . . . . . 6 (𝜑 (𝐽 qTop 𝐹) = 𝑌)
2221reseq2d 5828 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) = ( I ↾ 𝑌))
2320, 22difeq12d 4031 . . . 4 (𝜑 → ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)))
24 qtophaus.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
25 opex 5328 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ V
2624, 25fnmpoi 7778 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn (𝑋 × 𝑋)
27 difss 4039 . . . . . . . . 9 ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
28 fvelimab 6730 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
30 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑥𝑋)
31 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑦𝑋)
32 opelxpi 5565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
34 df-br 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3533, 34sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
36 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑥) = 𝑎)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑦) = 𝑏)
3836, 37opeq12d 4774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
39 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
40 simp-8r 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
4139, 40eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
4238, 41eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
43 relxp 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rel (𝑌 × 𝑌)
44 opeldifid 30473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Rel (𝑌 × 𝑌) → (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
4642, 45sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
4746simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
486ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝐹 Fn 𝑋)
49 qtophaus.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (𝐹𝐹)
5049fcoinvbr 30482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
5148, 30, 31, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
5251necon3bbid 2988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (¬ 𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
5347, 52mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ¬ 𝑥 𝑦)
54 df-br 5037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥((𝑋 × 𝑋) ∖ )𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
55 brdif 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥((𝑋 × 𝑋) ∖ )𝑦 ↔ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ∧ ¬ 𝑥 𝑦))
5654, 55bitr3i 280 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ↔ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ∧ ¬ 𝑥 𝑦))
5735, 53, 56sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
5824, 30, 31fvproj 7839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
5938, 58, 393eqtr4d 2803 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐)
60 fveqeq2 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝐻𝑧) = 𝑐 ↔ (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐))
6160rspcev 3543 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ∧ (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
6257, 59, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
63 fofun 6582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋onto𝑌 → Fun 𝐹)
644, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐹)
6564ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → Fun 𝐹)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → Fun 𝐹)
67 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → 𝑏𝑌)
68 foima 6586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
694, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7069ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7267, 71eleqtrrd 2855 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐹𝑋))
73 fvelima 6724 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑏 ∈ (𝐹𝑋)) → ∃𝑦𝑋 (𝐹𝑦) = 𝑏)
7466, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → ∃𝑦𝑋 (𝐹𝑦) = 𝑏)
7562, 74r19.29a 3213 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
76 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → 𝑎𝑌)
7776, 70eleqtrrd 2855 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → 𝑎 ∈ (𝐹𝑋))
78 fvelima 6724 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑎 ∈ (𝐹𝑋)) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = 𝑎)
7965, 77, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = 𝑎)
8075, 79r19.29a 3213 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
81 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
8281eldifad 3872 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → 𝑐 ∈ (𝑌 × 𝑌))
83 elxp2 5552 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑌 × 𝑌) ↔ ∃𝑎𝑌𝑏𝑌 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
8482, 83sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → ∃𝑎𝑌𝑏𝑌 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
8580, 84r19.29vva 3257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
86 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
8786fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻𝑧) = (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
88 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻𝑧) = 𝑐)
89 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑥𝑋)
90 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑦𝑋)
9124, 89, 90fvproj 7839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
9287, 88, 913eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑐 = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
93 fof 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
944, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
9594ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝐹:𝑋𝑌)
9695, 89ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑌)
9795, 90ffvelrnd 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
98 opelxp 5564 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑌))
9996, 97, 98sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌))
100 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
10186, 100eqeltrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
10256simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) → ¬ 𝑥 𝑦)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ¬ 𝑥 𝑦)
1046ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝐹 Fn 𝑋)
105104, 89, 90, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
106105necon3bbid 2988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (¬ 𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
107103, 106mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
10899, 107, 45sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
10992, 108eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
110 eldifi 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) → 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋))
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) → 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋))
112 elxp2 5552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
113111, 112sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
114113adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
115109, 114r19.29vva 3257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
116115r19.29an 3212 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
11785, 116impbida 800 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐))
11829, 117bitr4id 293 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )))
119118eqrdv 2756 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
120 ssv 3918 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ V
121 xpss2 5548 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ V → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑌 × V))
122 difres 30474 . . . . . . 7 ((𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑌 × V) → ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
123120, 121, 122mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )
124119, 123eqtr4di 2811 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)))
1257toptopon 21630 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1263, 125sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
127 qtoptopon 22417 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
128126, 4, 127syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
129 qtophaus.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
130129ralrimiva 3113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐽 (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
131 imaeq2 5902 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
132131eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹)))
133132cbvralvw 3361 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐽 (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
134130, 133sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐽 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
135134r19.21bi 3137 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
1367, 7txuni 22305 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑋) = (𝐽 ×t 𝐽))
1373, 3, 136syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = (𝐽 ×t 𝐽))
138137difeq1d 4029 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) = ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ))
139 qtophaus.4 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
140 txtop 22282 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top)
1413, 3, 140syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top)
142 fcoinver 30481 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹𝐹) Er 𝑋)
1436, 142syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐹) Er 𝑋)
144 ereq1 8312 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐹𝐹) → ( Er 𝑋 ↔ (𝐹𝐹) Er 𝑋))
14549, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( Er 𝑋 ↔ (𝐹𝐹) Er 𝑋)
146143, 145sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 Er 𝑋)
147 erssxp 8328 . . . . . . . . . . 11 ( Er 𝑋 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
149148, 137sseqtrd 3934 . . . . . . . . 9 (𝜑 (𝐽 ×t 𝐽))
150 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ×t 𝐽) = (𝐽 ×t 𝐽)
151150iscld2 21741 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top ∧ (𝐽 ×t 𝐽)) → ( ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ↔ ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽)))
152141, 149, 151syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ↔ ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽)))
153139, 152mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
154138, 153eqeltrd 2852 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
15594, 94, 126, 126, 128, 128, 129, 135, 154, 24txomap 31317 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
156124, 155eqeltrrd 2853 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
15723, 156eqeltrd 2852 . . 3 (𝜑 → ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
158 eqid 2758 . . . . 5 ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))
159158iscld2 21741 . . . 4 ((((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) → (( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) ↔ ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
160159biimpar 481 . . 3 (((((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) ∧ ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
16111, 16, 157, 160syl21anc 836 . 2 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
16213hausdiag 22358 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))))
1639, 161, 162sylanbrc 586 1 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ⊆ wss 3860  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5036   I cid 5433   × cxp 5526  ◡ccnv 5527   ↾ cres 5530   “ cima 5531   ∘ ccom 5532  Rel wrel 5533  Fun wfun 6334   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  –onto→wfo 6338  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   Er wer 8302   qTop cqtop 16847  Topctop 21606  TopOnctopon 21623  Clsdccld 21729  Hauscha 22021   ×t ctx 22273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-er 8305  df-topgen 16788  df-qtop 16851  df-top 21607  df-topon 21624  df-bases 21659  df-cld 21732  df-haus 22028  df-tx 22275 This theorem is referenced by: (None)
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