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Theorem qtophaus 32805
Description: If an open map's graph in the product space (𝐽 ×t 𝐽) is closed, then its quotient topology is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qtophaus.x 𝑋 = 𝐽
qtophaus.e = (𝐹𝐹)
qtophaus.h 𝐻 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
qtophaus.1 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
qtophaus.2 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
qtophaus.3 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
qtophaus.4 (𝜑 ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Assertion
Ref Expression
qtophaus (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus)
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem qtophaus
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtophaus.1 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
2 haustop 22827 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
4 qtophaus.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋onto𝑌)
5 fofn 6805 . . . 4 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
7 qtophaus.x . . . 4 𝑋 = 𝐽
87qtoptop 23196 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
93, 6, 8syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
10 txtop 23065 . . . 4 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top) → ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top)
119, 9, 10syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top)
12 idssxp 6047 . . . 4 ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹))
13 eqid 2733 . . . . . 6 (𝐽 qTop 𝐹) = (𝐽 qTop 𝐹)
1413, 13txuni 23088 . . . . 5 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top) → ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
159, 9, 14syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
1612, 15sseqtrid 4034 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
177qtopuni 23198 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
183, 4, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
1918sqxpeqd 5708 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ( (𝐽 qTop 𝐹) × (𝐽 qTop 𝐹)))
2019, 15eqtr2d 2774 . . . . 5 (𝜑 ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) = (𝑌 × 𝑌))
2118eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 (𝐽 qTop 𝐹) = 𝑌)
2221reseq2d 5980 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) = ( I ↾ 𝑌))
2320, 22difeq12d 4123 . . . 4 (𝜑 → ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)))
24 qtophaus.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
25 opex 5464 . . . . . . . . . 10 ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ V
2624, 25fnmpoi 8053 . . . . . . . . 9 𝐻 Fn (𝑋 × 𝑋)
27 difss 4131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
28 fvelimab 6962 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) → (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
30 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑥𝑋)
31 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑦𝑋)
32 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3330, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
34 df-br 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦)
36 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑥) = 𝑎)
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑦) = 𝑏)
3836, 37opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
39 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
40 simp-8r 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
4139, 40eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
4238, 41eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
43 relxp 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rel (𝑌 × 𝑌)
44 opeldifid 31818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Rel (𝑌 × 𝑌) → (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
4642, 45sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
4746simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
486ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → 𝐹 Fn 𝑋)
49 qtophaus.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (𝐹𝐹)
5049fcoinvbr 31824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝑋𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
5148, 30, 31, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
5251necon3bbid 2979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (¬ 𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
5347, 52mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ¬ 𝑥 𝑦)
54 df-br 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥((𝑋 × 𝑋) ∖ )𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
55 brdif 5201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥((𝑋 × 𝑋) ∖ )𝑦 ↔ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ∧ ¬ 𝑥 𝑦))
5654, 55bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ↔ (𝑥(𝑋 × 𝑋)𝑦 ∧ ¬ 𝑥 𝑦))
5735, 53, 56sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
5824, 30, 31fvproj 8117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
5938, 58, 393eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐)
60 fveqeq2 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((𝐻𝑧) = 𝑐 ↔ (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐))
6160rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ∧ (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑐) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
6257, 59, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝐹𝑦) = 𝑏) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
63 fofun 6804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋onto𝑌 → Fun 𝐹)
644, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐹)
6564ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → Fun 𝐹)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → Fun 𝐹)
67 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → 𝑏𝑌)
68 foima 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋onto𝑌 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
694, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7069ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
7267, 71eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐹𝑋))
73 fvelima 6955 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑏 ∈ (𝐹𝑋)) → ∃𝑦𝑋 (𝐹𝑦) = 𝑏)
7466, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → ∃𝑦𝑋 (𝐹𝑦) = 𝑏)
7562, 74r19.29a 3163 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝐹𝑥) = 𝑎) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
76 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → 𝑎𝑌)
7776, 70eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → 𝑎 ∈ (𝐹𝑋))
78 fvelima 6955 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑎 ∈ (𝐹𝑋)) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = 𝑎)
7965, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → ∃𝑥𝑋 (𝐹𝑥) = 𝑎)
8075, 79r19.29a 3163 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) ∧ 𝑎𝑌) ∧ 𝑏𝑌) ∧ 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
81 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
8281eldifad 3960 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → 𝑐 ∈ (𝑌 × 𝑌))
83 elxp2 5700 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝑌 × 𝑌) ↔ ∃𝑎𝑌𝑏𝑌 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
8482, 83sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → ∃𝑎𝑌𝑏𝑌 𝑐 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
8580, 84r19.29vva 3214 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )) → ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐)
86 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
8786fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻𝑧) = (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
88 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻𝑧) = 𝑐)
89 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑥𝑋)
90 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑦𝑋)
9124, 89, 90fvproj 8117 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐻‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
9287, 88, 913eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑐 = ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩)
93 fof 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
944, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
9594ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝐹:𝑋𝑌)
9695, 89ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑌)
9795, 90ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
98 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑌))
9996, 97, 98sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ (𝑌 × 𝑌))
100 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
10186, 100eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ))
10256simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) → ¬ 𝑥 𝑦)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ¬ 𝑥 𝑦)
1046ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝐹 Fn 𝑋)
105104, 89, 90, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
106105necon3bbid 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (¬ 𝑥 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦)))
107103, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
10899, 107, 45sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐹𝑦)⟩ ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
10992, 108eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
110 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) → 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋))
111110adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) → 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋))
112 elxp2 5700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
113111, 112sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
114113adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) → ∃𝑥𝑋𝑦𝑋 𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
115109, 114r19.29vva 3214 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∧ (𝐻𝑧) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
116115r19.29an 3159 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐) → 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
11785, 116impbida 800 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )(𝐻𝑧) = 𝑐))
11829, 117bitr4id 290 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ↔ 𝑐 ∈ ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )))
119118eqrdv 2731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
120 ssv 4006 . . . . . . 7 𝑌 ⊆ V
121 xpss2 5696 . . . . . . 7 (𝑌 ⊆ V → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑌 × V))
122 difres 31819 . . . . . . 7 ((𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑌 × V) → ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I ))
123120, 121, 122mp2b 10 . . . . . 6 ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ I )
124119, 123eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) = ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)))
1257toptopon 22411 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1263, 125sylib 217 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
127 qtoptopon 23200 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
128126, 4, 127syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
129 qtophaus.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
130129ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐽 (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
131 imaeq2 6054 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
132131eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹)))
133132cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐽 (𝐹𝑥) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ∀𝑦𝐽 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
134130, 133sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐽 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
135134r19.21bi 3249 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐽) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
1367, 7txuni 23088 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑋) = (𝐽 ×t 𝐽))
1373, 3, 136syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = (𝐽 ×t 𝐽))
138137difeq1d 4121 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) = ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ))
139 qtophaus.4 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
140 txtop 23065 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top)
1413, 3, 140syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top)
142 fcoinver 31823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹𝐹) Er 𝑋)
1436, 142syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝐹) Er 𝑋)
144 ereq1 8707 . . . . . . . . . . . . 13 ( = (𝐹𝐹) → ( Er 𝑋 ↔ (𝐹𝐹) Er 𝑋))
14549, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( Er 𝑋 ↔ (𝐹𝐹) Er 𝑋)
146143, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 Er 𝑋)
147 erssxp 8723 . . . . . . . . . . 11 ( Er 𝑋 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
149148, 137sseqtrd 4022 . . . . . . . . 9 (𝜑 (𝐽 ×t 𝐽))
150 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ×t 𝐽) = (𝐽 ×t 𝐽)
151150iscld2 22524 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top ∧ (𝐽 ×t 𝐽)) → ( ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ↔ ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽)))
152141, 149, 151syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ↔ ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽)))
153139, 152mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ( (𝐽 ×t 𝐽) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
154138, 153eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑋) ∖ ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
15594, 94, 126, 126, 128, 128, 129, 135, 154, 24txomap 32803 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ ((𝑋 × 𝑋) ∖ )) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
156124, 155eqeltrrd 2835 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌 × 𝑌) ∖ ( I ↾ 𝑌)) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
15723, 156eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))
158 eqid 2733 . . . . 5 ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) = ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))
159158iscld2 22524 . . . 4 ((((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) → (( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) ↔ ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
160159biimpar 479 . . 3 (((((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) ∧ ( ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)) ∖ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))) → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
16111, 16, 157, 160syl21anc 837 . 2 (𝜑 → ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹))))
16213hausdiag 23141 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ ( I ↾ (𝐽 qTop 𝐹)) ∈ (Clsd‘((𝐽 qTop 𝐹) ×t (𝐽 qTop 𝐹)))))
1639, 161, 162sylanbrc 584 1 (𝜑 → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3945  wss 3948  cop 4634   cuni 4908   class class class wbr 5148   I cid 5573   × cxp 5674  ccnv 5675  cres 5678  cima 5679  ccom 5680  Rel wrel 5681  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  wf 6537  ontowfo 6539  cfv 6541  (class class class)co 7406  cmpo 7408   Er wer 8697   qTop cqtop 17446  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  Clsdccld 22512  Hauscha 22804   ×t ctx 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-topgen 17386  df-qtop 17450  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cld 22515  df-haus 22811  df-tx 23058
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