Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opposet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opposet 38354
Description: Every orthoposet is a poset. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
opposet (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)

Proof of Theorem opposet
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
2 eqid 2732 . . 3 (lubโ€˜๐พ) = (lubโ€˜๐พ)
3 eqid 2732 . . 3 (glbโ€˜๐พ) = (glbโ€˜๐พ)
4 eqid 2732 . . 3 (leโ€˜๐พ) = (leโ€˜๐พ)
5 eqid 2732 . . 3 (ocโ€˜๐พ) = (ocโ€˜๐พ)
6 eqid 2732 . . 3 (joinโ€˜๐พ) = (joinโ€˜๐พ)
7 eqid 2732 . . 3 (meetโ€˜๐พ) = (meetโ€˜๐พ)
8 eqid 2732 . . 3 (0.โ€˜๐พ) = (0.โ€˜๐พ)
9 eqid 2732 . . 3 (1.โ€˜๐พ) = (1.โ€˜๐พ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isopos 38353 . 2 (๐พ โˆˆ OP โ†” ((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))))
11 simpl1 1191 . 2 (((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
1210, 11sylbi 216 1 (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  occoc 17209  Posetcpo 18264  lubclub 18266  glbcglb 18267  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18380  1.cp1 18381  OPcops 38345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oposet 38349
This theorem is referenced by:  ople0  38360  op1le  38365  opltcon3b  38377  olposN  38388  ncvr1  38445  cvrcmp2  38457  leatb  38465  dalemcea  38834
  Copyright terms: Public domain W3C validator