Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opposet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opposet 37646
Description: Every orthoposet is a poset. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
opposet (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)

Proof of Theorem opposet
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
2 eqid 2737 . . 3 (lubโ€˜๐พ) = (lubโ€˜๐พ)
3 eqid 2737 . . 3 (glbโ€˜๐พ) = (glbโ€˜๐พ)
4 eqid 2737 . . 3 (leโ€˜๐พ) = (leโ€˜๐พ)
5 eqid 2737 . . 3 (ocโ€˜๐พ) = (ocโ€˜๐พ)
6 eqid 2737 . . 3 (joinโ€˜๐พ) = (joinโ€˜๐พ)
7 eqid 2737 . . 3 (meetโ€˜๐พ) = (meetโ€˜๐พ)
8 eqid 2737 . . 3 (0.โ€˜๐พ) = (0.โ€˜๐พ)
9 eqid 2737 . . 3 (1.โ€˜๐พ) = (1.โ€˜๐พ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isopos 37645 . 2 (๐พ โˆˆ OP โ†” ((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))))
11 simpl1 1192 . 2 (((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
1210, 11sylbi 216 1 (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  occoc 17142  Posetcpo 18197  lubclub 18199  glbcglb 18200  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  1.cp1 18314  OPcops 37637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-nul 5264
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oposet 37641
This theorem is referenced by:  ople0  37652  op1le  37657  opltcon3b  37669  olposN  37680  ncvr1  37737  cvrcmp2  37749  leatb  37757  dalemcea  38126
  Copyright terms: Public domain W3C validator