Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opposet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opposet 38099
Description: Every orthoposet is a poset. (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
opposet (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)

Proof of Theorem opposet
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
2 eqid 2733 . . 3 (lubโ€˜๐พ) = (lubโ€˜๐พ)
3 eqid 2733 . . 3 (glbโ€˜๐พ) = (glbโ€˜๐พ)
4 eqid 2733 . . 3 (leโ€˜๐พ) = (leโ€˜๐พ)
5 eqid 2733 . . 3 (ocโ€˜๐พ) = (ocโ€˜๐พ)
6 eqid 2733 . . 3 (joinโ€˜๐พ) = (joinโ€˜๐พ)
7 eqid 2733 . . 3 (meetโ€˜๐พ) = (meetโ€˜๐พ)
8 eqid 2733 . . 3 (0.โ€˜๐พ) = (0.โ€˜๐พ)
9 eqid 2733 . . 3 (1.โ€˜๐พ) = (1.โ€˜๐พ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9isopos 38098 . 2 (๐พ โˆˆ OP โ†” ((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))))
11 simpl1 1192 . 2 (((๐พ โˆˆ Poset โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (lubโ€˜๐พ) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ dom (glbโ€˜๐พ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)((((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ((ocโ€˜๐พ)โ€˜((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(leโ€˜๐พ)๐‘ฆ โ†’ ((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฆ)(leโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ(joinโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (1.โ€˜๐พ) โˆง (๐‘ฅ(meetโ€˜๐พ)((ocโ€˜๐พ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0.โ€˜๐พ))) โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
1210, 11sylbi 216 1 (๐พ โˆˆ OP โ†’ ๐พ โˆˆ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  Posetcpo 18260  lubclub 18262  glbcglb 18263  joincjn 18264  meetcmee 18265  0.cp0 18376  1.cp1 18377  OPcops 38090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oposet 38094
This theorem is referenced by:  ople0  38105  op1le  38110  opltcon3b  38122  olposN  38133  ncvr1  38190  cvrcmp2  38202  leatb  38210  dalemcea  38579
  Copyright terms: Public domain W3C validator