Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leatb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem leatb 38151
Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 31587 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
leatom.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
leatom.z 0 = (0.β€˜πΎ)
leatom.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
leatb ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
Proof of Theorem leatb
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 leatom.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
41, 2, 3op0le 38045 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ≀ 𝑋)
543adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ 𝑋)
65biantrurd 534 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ ( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃)))
7 opposet 38040 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
873ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
91, 3op0cl 38043 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
10 leatom.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
111, 10atbase 38148 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
139, 11, 123anim123i 1152 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
14133com23 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
163, 15, 10atcvr0 38147 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
17163adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃)
181, 2, 15cvrnbtwn4 38138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 0 ( β‹– β€˜πΎ)𝑃) β†’ (( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
198, 14, 17, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20 eqcom 2740 . . . . 5 ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
2120orbi1i 913 . . . 4 (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
2219, 21bitrdi 287 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (( 0 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
236, 22bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24 orcom 869 . 2 ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
2523, 24bitrdi 287 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6541  Basecbs 17141  lecple 17201  Posetcpo 18257  0.cp0 18373  OPcops 38031   β‹– ccvr 38121  Atomscatm 38122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-glb 18297  df-p0 18375  df-oposet 38035  df-covers 38125  df-ats 38126
This theorem is referenced by:  leat  38152  leat2  38153  meetat  38155
  Copyright terms: Public domain W3C validator