Theorem leatb 39668

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32434 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leatb	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39562	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑋)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ ( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)))
7		opposet 39557	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
8	7	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
9	1, 3	op0cl 39560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	1, 10	atbase 39665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3anim123i 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	3com23 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
16	3, 15, 10	atcvr0 39664	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17	16	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
18	1, 2, 15	cvrnbtwn4 39655	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
19	8, 14, 17, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
21	20	orbi1i 914	. . . 4 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
22	19, 21	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
23	6, 22	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24		orcom 871	. 2 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
25	23, 24	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  Posetcpo 18242  0.cp0 18356  OPcops 39548   ⋖ ccvr 39638  Atomscatm 39639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-glb 18280  df-p0 18358  df-oposet 39552  df-covers 39642  df-ats 39643

This theorem is referenced by:  leat  39669  leat2  39670  meetat  39672