Theorem leatb 39271

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32290 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leatb	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39165	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑋)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ ( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)))
7		opposet 39160	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
9	1, 3	op0cl 39163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	1, 10	atbase 39268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3anim123i 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	3com23 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
16	3, 15, 10	atcvr0 39267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17	16	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
18	1, 2, 15	cvrnbtwn4 39258	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
19	8, 14, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
21	20	orbi1i 913	. . . 4 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
22	19, 21	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
23	6, 22	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24		orcom 870	. 2 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
25	23, 24	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  0.cp0 18327  OPcops 39151   ⋖ ccvr 39241  Atomscatm 39242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-glb 18251  df-p0 18329  df-oposet 39155  df-covers 39245  df-ats 39246

This theorem is referenced by:  leat  39272  leat2  39273  meetat  39275