Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leatb 36500
Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 30127 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leatb ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 36394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
543adant3 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝑋)
65biantrurd 536 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ ( 0 𝑋𝑋 𝑃)))
7 opposet 36389 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
873ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
91, 3op0cl 36392 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
10 leatom.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
111, 10atbase 36497 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
139, 11, 123anim123i 1148 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
14133com23 1123 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
15 eqid 2824 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
163, 15, 10atcvr0 36496 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17163adant2 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
181, 2, 15cvrnbtwn4 36487 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
198, 14, 17, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
20 eqcom 2831 . . . . 5 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
2120orbi1i 911 . . . 4 (( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
2219, 21syl6bb 290 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
236, 22bitrd 282 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
24 orcom 867 . 2 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
2523, 24syl6bb 290 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  Basecbs 16481  lecple 16570  Posetcpo 17548  0.cp0 17645  OPcops 36380  ccvr 36470  Atomscatm 36471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-glb 17583  df-p0 17647  df-oposet 36384  df-covers 36474  df-ats 36475
This theorem is referenced by:  leat  36501  leat2  36502  meetat  36504
  Copyright terms: Public domain W3C validator