Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leatb 39294
Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32366 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leatb ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 39188 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
543adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 𝑋)
65biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ ( 0 𝑋𝑋 𝑃)))
7 opposet 39183 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
873ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
91, 3op0cl 39186 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
10 leatom.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
111, 10atbase 39291 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
139, 11, 123anim123i 1151 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴𝑋𝐵) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
14133com23 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵))
15 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
163, 15, 10atcvr0 39290 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17163adant2 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
181, 2, 15cvrnbtwn4 39281 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
198, 14, 17, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃)))
20 eqcom 2743 . . . . 5 ( 0 = 𝑋𝑋 = 0 )
2120orbi1i 913 . . . 4 (( 0 = 𝑋𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
2219, 21bitrdi 287 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (( 0 𝑋𝑋 𝑃) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
236, 22bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃)))
24 orcom 870 . 2 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
2523, 24bitrdi 287 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  Basecbs 17248  lecple 17305  Posetcpo 18354  0.cp0 18469  OPcops 39174  ccvr 39264  Atomscatm 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-glb 18393  df-p0 18471  df-oposet 39178  df-covers 39268  df-ats 39269
This theorem is referenced by:  leat  39295  leat2  39296  meetat  39298
  Copyright terms: Public domain W3C validator