Theorem leatb 39274

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32375 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leatb	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39168	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑋)
6	5	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ ( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)))
7		opposet 39163	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
8	7	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
9	1, 3	op0cl 39166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	1, 10	atbase 39271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3anim123i 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	3com23 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
16	3, 15, 10	atcvr0 39270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17	16	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
18	1, 2, 15	cvrnbtwn4 39261	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
19	8, 14, 17, 18	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
21	20	orbi1i 913	. . . 4 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
22	19, 21	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
23	6, 22	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24		orcom 870	. 2 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
25	23, 24	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  0.cp0 18481  OPcops 39154   ⋖ ccvr 39244  Atomscatm 39245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-oposet 39158  df-covers 39248  df-ats 39249

This theorem is referenced by:  leat  39275  leat2  39276  meetat  39278