Theorem leatb 40124

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32769 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leatb	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 40018	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑋)
6	5	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ ( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)))
7		opposet 40013	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
9	1, 3	op0cl 40016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	1, 10	atbase 40121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3anim123i 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
16	3, 15, 10	atcvr0 40120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17	16	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
18	1, 2, 15	cvrnbtwn4 40111	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
19	8, 14, 17, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
21	20	orbi1i 927	. . . 4 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
22	19, 21	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
23	6, 22	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24		orcom 884	. 2 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
25	23, 24	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  Posetcpo 18385  0.cp0 18499  OPcops 40004   ⋖ ccvr 40094  Atomscatm 40095

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-glb 18423  df-p0 18501  df-oposet 40008  df-covers 40098  df-ats 40099

This theorem is used by:  leat  40125  leat2  40126  meetat  40128