Theorem leatb 39913

Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (atss 32546 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leatb	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Proof of Theorem leatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39807	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	3adant3 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝑋)
6	5	biantrurd 540	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ ( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)))
7		opposet 39802	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
8	7	3ad2ant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
9	1, 3	op0cl 39805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10		leatom.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	1, 10	atbase 39910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	9, 11, 12	3anim123i 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
14	13	3com23 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
15		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
16	3, 15, 10	atcvr0 39909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
17	16	3adant2 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
18	1, 2, 15	cvrnbtwn4 39900	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
19	8, 14, 17, 18	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ ( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
20		eqcom 2769	. . . . 5 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
21	20	orbi1i 924	. . . 4 ⊢ (( 0 = 𝑋 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
22	19, 21	bitrdi 289	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (( 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
23	6, 22	bitrd 281	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃)))
24		orcom 881	. 2 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
25	23, 24	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  Posetcpo 18339  0.cp0 18453  OPcops 39793   ⋖ ccvr 39883  Atomscatm 39884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-glb 18377  df-p0 18455  df-oposet 39797  df-covers 39887  df-ats 39888

This theorem is referenced by:  leat  39914  leat2  39915  meetat  39917