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Theorem cvrcmp2 38149
Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem cvrcmp2
StepHypRef Expression
1 opposet 38046 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
213ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 cvrcmp.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2732 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
75, 6opoccl 38059 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
83, 4, 7syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp21 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
105, 6opoccl 38059 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
113, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 simp23 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
135, 6opoccl 38059 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
143, 12, 13syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
15 cvrcmp.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
165, 6, 15cvrcon3b 38142 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
17163adant3r2 1183 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
185, 6, 15cvrcon3b 38142 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
19183adant3r1 1182 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2017, 19anbi12d 631 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
2120biimp3a 1469 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2221ancomd 462 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
23 cvrcmp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
245, 23, 15cvrcmp 38148 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
252, 8, 11, 14, 22, 24syl131anc 1383 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
265, 23, 6oplecon3b 38065 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
273, 9, 4, 26syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
285, 6opcon3b 38061 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
293, 9, 4, 28syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3025, 27, 293bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  Posetcpo 18259  OPcops 38037   β‹– ccvr 38127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-oposet 38041  df-covers 38131
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  38424  lplncvrlvol  38482
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