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Theorem cvrcmp2 38788
Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem cvrcmp2
StepHypRef Expression
1 opposet 38685 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 cvrcmp.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
75, 6opoccl 38698 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
83, 4, 7syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp21 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
105, 6opoccl 38698 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
113, 9, 10syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 simp23 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
135, 6opoccl 38698 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
143, 12, 13syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
15 cvrcmp.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
165, 6, 15cvrcon3b 38781 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
17163adant3r2 1180 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
185, 6, 15cvrcon3b 38781 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
19183adant3r1 1179 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2017, 19anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
2120biimp3a 1465 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2221ancomd 460 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
23 cvrcmp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
245, 23, 15cvrcmp 38787 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
252, 8, 11, 14, 22, 24syl131anc 1380 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
265, 23, 6oplecon3b 38704 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
273, 9, 4, 26syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
285, 6opcon3b 38700 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
293, 9, 4, 28syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3025, 27, 293bitr4d 310 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  occoc 17248  Posetcpo 18306  OPcops 38676   β‹– ccvr 38766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-oposet 38680  df-covers 38770
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39063  lplncvrlvol  39121
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