Theorem cvrcmp2 40165

Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrcmp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrcmp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrcmp2	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem cvrcmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 40062	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Poset)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OP)
4		simp22 1226	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		cvrcmp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7	5, 6	opoccl 40075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp21 1225	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6	opoccl 40075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	3, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		simp23 1227	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	5, 6	opoccl 40075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
14	3, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		cvrcmp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
16	5, 6, 15	cvrcon3b 40158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	16	3adant3r2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
18	5, 6, 15	cvrcon3b 40158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
19	18	3adant3r1 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))))
21	20	biimp3a 1498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
22	21	ancomd 467	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23		cvrcmp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	5, 23, 15	cvrcmp 40164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	2, 8, 11, 14, 22, 24	syl131anc 1410	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	5, 23, 6	oplecon3b 40081	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	3, 9, 4, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
28	5, 6	opcon3b 40077	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
29	3, 9, 4, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	25, 27, 29	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  lecple 17355  occoc 17356  Posetcpo 18401  OPcops 40053   ⋖ ccvr 40143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-oposet 40057  df-covers 40147

This theorem is used by:  llncvrlpln  40439  lplncvrlvol  40497