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Theorem cvrcmp2 37792
Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem cvrcmp2
StepHypRef Expression
1 opposet 37689 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
4 simp22 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 cvrcmp.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2733 . . . . 5 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
75, 6opoccl 37702 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
83, 4, 7syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 simp21 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
105, 6opoccl 37702 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
113, 9, 10syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
12 simp23 1209 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
135, 6opoccl 37702 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
143, 12, 13syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
15 cvrcmp.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
165, 6, 15cvrcon3b 37785 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
17163adant3r2 1184 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐢𝑍 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
185, 6, 15cvrcon3b 37785 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
19183adant3r1 1183 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ŒπΆπ‘ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2017, 19anbi12d 632 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ))))
2120biimp3a 1470 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ)))
2221ancomd 463 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
23 cvrcmp.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
245, 23, 15cvrcmp 37791 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ∧ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘)𝐢((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹))) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
252, 8, 11, 14, 22, 24syl131anc 1384 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹) ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
265, 23, 6oplecon3b 37708 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
273, 9, 4, 26syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) ≀ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
285, 6opcon3b 37704 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
293, 9, 4, 28syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Œ) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)))
3025, 27, 293bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋𝐢𝑍 ∧ π‘ŒπΆπ‘)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  occoc 17146  Posetcpo 18201  OPcops 37680   β‹– ccvr 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-oposet 37684  df-covers 37774
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  38067  lplncvrlvol  38125
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