Proof of Theorem cvrcmp2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | opposet 39182 | . . . 4
⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 2 | 1 | 3ad2ant1 1134 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Poset) | 
| 3 |  | simp1 1137 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OP) | 
| 4 |  | simp22 1208 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵) | 
| 5 |  | cvrcmp.b | . . . . 5
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) | 
| 6 |  | eqid 2737 | . . . . 5
⊢
(oc‘𝐾) =
(oc‘𝐾) | 
| 7 | 5, 6 | opoccl 39195 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) | 
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵) | 
| 9 |  | simp21 1207 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵) | 
| 10 | 5, 6 | opoccl 39195 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) | 
| 11 | 3, 9, 10 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵) | 
| 12 |  | simp23 1209 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵) | 
| 13 | 5, 6 | opoccl 39195 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) | 
| 14 | 3, 12, 13 | syl2anc 584 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) | 
| 15 |  | cvrcmp.c | . . . . . . . 8
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾) | 
| 16 | 5, 6, 15 | cvrcon3b 39278 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 17 | 16 | 3adant3r2 1184 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 18 | 5, 6, 15 | cvrcon3b 39278 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))) | 
| 19 | 18 | 3adant3r1 1183 | . . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))) | 
| 20 | 17, 19 | anbi12d 632 | . . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))) | 
| 21 | 20 | biimp3a 1471 | . . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))) | 
| 22 | 21 | ancomd 461 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 23 |  | cvrcmp.l | . . . 4
⊢  ≤ =
(le‘𝐾) | 
| 24 | 5, 23, 15 | cvrcmp 39284 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧
(((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 25 | 2, 8, 11, 14, 22, 24 | syl131anc 1385 | . 2
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 26 | 5, 23, 6 | oplecon3b 39201 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 27 | 3, 9, 4, 26 | syl3anc 1373 | . 2
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 28 | 5, 6 | opcon3b 39197 | . . 3
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 29 | 3, 9, 4, 28 | syl3anc 1373 | . 2
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋))) | 
| 30 | 25, 27, 29 | 3bitr4d 311 | 1
⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌)) |