Theorem cvrcmp2 39277

Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrcmp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrcmp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrcmp2	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem cvrcmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 39174	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Poset)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OP)
4		simp22 1208	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		cvrcmp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7	5, 6	opoccl 39187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp21 1207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6	opoccl 39187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	3, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		simp23 1209	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	5, 6	opoccl 39187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
14	3, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		cvrcmp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
16	5, 6, 15	cvrcon3b 39270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	16	3adant3r2 1184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
18	5, 6, 15	cvrcon3b 39270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
19	18	3adant3r1 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))))
21	20	biimp3a 1471	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
22	21	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23		cvrcmp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	5, 23, 15	cvrcmp 39276	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	2, 8, 11, 14, 22, 24	syl131anc 1385	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	5, 23, 6	oplecon3b 39193	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	3, 9, 4, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
28	5, 6	opcon3b 39189	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
29	3, 9, 4, 28	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	25, 27, 29	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  lecple 17227  occoc 17228  Posetcpo 18268  OPcops 39165   ⋖ ccvr 39255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-oposet 39169  df-covers 39259

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39552  lplncvrlvol  39610