Theorem cvrcmp2 37225

Description: If two lattice elements covered by a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 20-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrcmp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrcmp.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrcmp.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrcmp2	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem cvrcmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 37122	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ Poset)
3		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝐾 ∈ OP)
4		simp22 1205	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		cvrcmp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
7	5, 6	opoccl 37135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
8	3, 4, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵)
9		simp21 1204	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	5, 6	opoccl 37135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
11	3, 9, 10	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵)
12		simp23 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13	5, 6	opoccl 37135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
14	3, 12, 13	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵)
15		cvrcmp.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
16	5, 6, 15	cvrcon3b 37218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
17	16	3adant3r2 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
18	5, 6, 15	cvrcon3b 37218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
19	18	3adant3r1 1180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌𝐶𝑍 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌))))
21	20	biimp3a 1467	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌)))
22	21	ancomd 461	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋)))
23		cvrcmp.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24	5, 23, 15	cvrcmp 37224	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍) ∈ 𝐵) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑌) ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑍)𝐶((oc‘𝐾)‘𝑋))) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
25	2, 8, 11, 14, 22, 24	syl131anc 1381	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋) ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
26	5, 23, 6	oplecon3b 37141	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
27	3, 9, 4, 26	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) ≤ ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
28	5, 6	opcon3b 37137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
29	3, 9, 4, 28	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑌) = ((oc‘𝐾)‘𝑋)))
30	25, 27, 29	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑍 ∧ 𝑌𝐶𝑍)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  occoc 16896  Posetcpo 17940  OPcops 37113   ⋖ ccvr 37203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-oposet 37117  df-covers 37207

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  37499  lplncvrlvol  37557