Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ncvr1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ncvr1 38445
Description: No element covers the lattice unity. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ncvr1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
ncvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ncvr1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 𝐢𝑋)
Proof of Theorem ncvr1
StepHypRef Expression
1 ncvr1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 ncvr1.u . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
41, 2, 3ople1 38364 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
5 opposet 38354 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
65ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
71, 3op1cl 38358 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
87ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 1 ∈ 𝐡)
9 simplr 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 simpr 485 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
121, 2, 11pltnle 18295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
136, 8, 9, 10, 12syl31anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
1413ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 ))
154, 14mt2d 136 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
16 simpll 765 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 𝐾 ∈ OP)
177ad2antrr 724 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 ∈ 𝐡)
18 simplr 767 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 𝐢𝑋)
20 ncvr1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
211, 11, 20cvrlt 38443 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2315, 22mtand 814 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 𝐢𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  Posetcpo 18264  ltcplt 18265  1.cp1 18381  OPcops 38345   β‹– ccvr 38435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-p1 18383  df-oposet 38349  df-covers 38439
This theorem is referenced by:  lhp2lt  39175
  Copyright terms: Public domain W3C validator