Theorem ncvr1 39931

Description: No element covers the lattice unity. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ncvr1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ncvr1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 39850	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5		opposet 39840	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
6	5	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
7	1, 3	op1cl 39844	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	7	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
9		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
12	1, 2, 11	pltnle 18388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
13	6, 8, 9, 10, 12	syl31anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
14	13	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
15	4, 14	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
17	7	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
18		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20		ncvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
21	1, 11, 20	cvrlt 39929	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
23	15, 22	mtand 827	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  lecple 17313  Posetcpo 18359  ltcplt 18360  1.cp1 18474  OPcops 39831   ⋖ ccvr 39921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-lub 18396  df-p1 18476  df-oposet 39835  df-covers 39925

This theorem is referenced by:  lhp2lt  40660