Theorem ncvr1 40079

Description: No element covers the lattice unity. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ncvr1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ncvr1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 39998	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5		opposet 39988	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
6	5	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
7	1, 3	op1cl 39992	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	7	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
12	1, 2, 11	pltnle 18410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
13	6, 8, 9, 10, 12	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
14	13	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
15	4, 14	mt2d 137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
17	7	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
18		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20		ncvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
21	1, 11, 20	cvrlt 40077	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
23	15, 22	mtand 828	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17287  lecple 17335  Posetcpo 18381  ltcplt 18382  1.cp1 18496  OPcops 39979   ⋖ ccvr 40069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-p1 18498  df-oposet 39983  df-covers 40073

This theorem is used by:  lhp2lt  40808