Theorem ncvr1 37286

Description: No element covers the lattice unit. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ncvr1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ncvr1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 37205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5		opposet 37195	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
6	5	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
7	1, 3	op1cl 37199	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	7	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
9		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
12	1, 2, 11	pltnle 18056	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
13	6, 8, 9, 10, 12	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
14	13	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
15	4, 14	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
17	7	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
18		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20		ncvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
21	1, 11, 20	cvrlt 37284	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
23	15, 22	mtand 813	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Posetcpo 18025  ltcplt 18026  1.cp1 18142  OPcops 37186   ⋖ ccvr 37276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-p1 18144  df-oposet 37190  df-covers 37280

This theorem is referenced by:  lhp2lt  38015