Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ncvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncvr1 37780
Description: No element covers the lattice unity. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ncvr1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ncvr1.u 1 = (1.β€˜πΎ)
ncvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ncvr1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 𝐢𝑋)

Proof of Theorem ncvr1
StepHypRef Expression
1 ncvr1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 ncvr1.u . . . 4 1 = (1.β€˜πΎ)
41, 2, 3ople1 37699 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
5 opposet 37689 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 𝐾 ∈ Poset)
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
71, 3op1cl 37693 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 1 ∈ 𝐡)
87ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 1 ∈ 𝐡)
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 simpr 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
121, 2, 11pltnle 18232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
136, 8, 9, 10, 12syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 )
1413ex 414 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋 β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ) 1 ))
154, 14mt2d 136 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
16 simpll 766 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 𝐾 ∈ OP)
177ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 ∈ 𝐡)
18 simplr 768 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpr 486 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 𝐢𝑋)
20 ncvr1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
211, 11, 20cvrlt 37778 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2216, 17, 18, 19, 21syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 1 𝐢𝑋) β†’ 1 (ltβ€˜πΎ)𝑋)
2315, 22mtand 815 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ Β¬ 1 𝐢𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  1.cp1 18318  OPcops 37680   β‹– ccvr 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-p1 18320  df-oposet 37684  df-covers 37774
This theorem is referenced by:  lhp2lt  38510
  Copyright terms: Public domain W3C validator