Theorem ncvr1 39857

Description: No element covers the lattice unity. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ncvr1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ncvr1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ncvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ncvr1	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Proof of Theorem ncvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncvr1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ncvr1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 39776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾) 1 )
5		opposet 39766	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
6	5	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
7	1, 3	op1cl 39770	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
8	7	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
9		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
12	1, 2, 11	pltnle 18359	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
13	6, 8, 9, 10, 12	syl31anc 1391	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 (lt‘𝐾)𝑋) → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 )
14	13	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 (lt‘𝐾)𝑋 → ¬ 𝑋(le‘𝐾) 1 ))
15	4, 14	mt2d 136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 (lt‘𝐾)𝑋)
16		simpll 776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ OP)
17	7	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 ∈ 𝐵)
18		simplr 778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 𝐶𝑋)
20		ncvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
21	1, 11, 20	cvrlt 39855	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
22	16, 17, 18, 19, 21	syl31anc 1391	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 1 𝐶𝑋) → 1 (lt‘𝐾)𝑋)
23	15, 22	mtand 825	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 1 𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  Basecbs 17236  lecple 17284  Posetcpo 18330  ltcplt 18331  1.cp1 18445  OPcops 39757   ⋖ ccvr 39847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-p1 18447  df-oposet 39761  df-covers 39851

This theorem is referenced by:  lhp2lt  40586