Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ncvr1.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
3 | | ncvr1.u |
. . . 4
β’ 1 =
(1.βπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | ople1 37699 |
. . 3
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β π(leβπΎ) 1 ) |
5 | | opposet 37689 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β OP β πΎ β Poset) |
6 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β πΎ β Poset) |
7 | 1, 3 | op1cl 37693 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β OP β 1 β π΅) |
8 | 7 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β 1 β π΅) |
9 | | simplr 768 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β π β π΅) |
10 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β 1 (ltβπΎ)π) |
11 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(ltβπΎ) =
(ltβπΎ) |
12 | 1, 2, 11 | pltnle 18232 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ 1 β π΅ β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β Β¬ π(leβπΎ) 1 ) |
13 | 6, 8, 9, 10, 12 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 (ltβπΎ)π) β Β¬ π(leβπΎ) 1 ) |
14 | 13 | ex 414 |
. . 3
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β ( 1 (ltβπΎ)π β Β¬ π(leβπΎ) 1 )) |
15 | 4, 14 | mt2d 136 |
. 2
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β Β¬ 1 (ltβπΎ)π) |
16 | | simpll 766 |
. . 3
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β πΎ β OP) |
17 | 7 | ad2antrr 725 |
. . 3
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β 1 β π΅) |
18 | | simplr 768 |
. . 3
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β π β π΅) |
19 | | simpr 486 |
. . 3
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β 1 πΆπ) |
20 | | ncvr1.c |
. . . 4
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
21 | 1, 11, 20 | cvrlt 37778 |
. . 3
β’ (((πΎ β OP β§ 1 β π΅ β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β 1 (ltβπΎ)π) |
22 | 16, 17, 18, 19, 21 | syl31anc 1374 |
. 2
β’ (((πΎ β OP β§ π β π΅) β§ 1 πΆπ) β 1 (ltβπΎ)π) |
23 | 15, 22 | mtand 815 |
1
β’ ((πΎ β OP β§ π β π΅) β Β¬ 1 πΆπ) |