Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon3b 35006
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 28696 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon3b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2770 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opltcon3.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
41, 2, 3oplecon3b 35002 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋)))
51, 2, 3oplecon3b 35002 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
653com23 1119 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
76notbid 307 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
84, 7anbi12d 608 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
9 opposet 34983 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
111, 2, 10pltval3 17174 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
129, 11syl3an1 1165 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
1393ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
141, 3opoccl 34996 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
15143adant2 1124 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3opoccl 34996 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
17163adant3 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
181, 2, 10pltval3 17174 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
1913, 15, 17, 18syl3anc 1475 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
208, 12, 193bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  occoc 16156  Posetcpo 17147  ltcplt 17148  OPcops 34974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-oposet 34978
This theorem is referenced by:  opltcon1b  35007  opltcon2b  35008  cvrcon3b  35079  1cvratex  35274  lhprelat3N  35841
  Copyright terms: Public domain W3C validator