Theorem opltcon3b 40077

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 31984 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltcon3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opltcon3b	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opltcon3.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	oplecon3b 40073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)))
5	1, 2, 3	oplecon3b 40073	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
6	5	3com23 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
7	6	notbid 321	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
8	4, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
9		opposet 40054	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10		opltcon3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
11	1, 2, 10	pltval3 18425	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
12	9, 11	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
13	9	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
14	1, 3	opoccl 40067	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	14	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	opoccl 40067	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	16	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 10	pltval3 18425	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
20	8, 12, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301  lecple 17349  occoc 17350  Posetcpo 18395  ltcplt 18396  OPcops 40045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-oposet 40049

This theorem is used by:  opltcon1b  40078  opltcon2b  40079  cvrcon3b  40150  1cvratex  40346  lhprelat3N  40913