Theorem opltcon3b 39222

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 31484 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltcon3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opltcon3b	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		opltcon3.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
4	1, 2, 3	oplecon3b 39218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋)))
5	1, 2, 3	oplecon3b 39218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
6	5	3com23 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
7	6	notbid 318	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌)))
8	4, 7	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
9		opposet 39199	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10		opltcon3.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
11	1, 2, 10	pltval3 18349	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
12	9, 11	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
13	9	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
14	1, 3	opoccl 39212	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 3	opoccl 39212	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
17	16	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵)
18	1, 2, 10	pltval3 18349	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑋) ∧ ¬ ( ⊥ ‘𝑋)(le‘𝐾)( ⊥ ‘𝑌))))
20	8, 12, 19	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) < ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  occoc 17279  Posetcpo 18319  ltcplt 18320  OPcops 39190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-oposet 39194

This theorem is referenced by:  opltcon1b  39223  opltcon2b  39224  cvrcon3b  39295  1cvratex  39492  lhprelat3N  40059