Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon3b 39205
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 31522 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon3b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opltcon3.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
41, 2, 3oplecon3b 39201 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋)))
51, 2, 3oplecon3b 39201 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
653com23 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
76notbid 318 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
84, 7anbi12d 632 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
9 opposet 39182 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
111, 2, 10pltval3 18384 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
129, 11syl3an1 1164 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
1393ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
141, 3opoccl 39195 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
15143adant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3opoccl 39195 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
17163adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
181, 2, 10pltval3 18384 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
1913, 15, 17, 18syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
208, 12, 193bitr4d 311 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  OPcops 39173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-oposet 39177
This theorem is referenced by:  opltcon1b  39206  opltcon2b  39207  cvrcon3b  39278  1cvratex  39475  lhprelat3N  40042
  Copyright terms: Public domain W3C validator