Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon3b 36815
 Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 29399 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon3b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2758 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opltcon3.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
41, 2, 3oplecon3b 36811 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋)))
51, 2, 3oplecon3b 36811 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
653com23 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
76notbid 321 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
84, 7anbi12d 633 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
9 opposet 36792 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
111, 2, 10pltval3 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
129, 11syl3an1 1160 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
1393ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
141, 3opoccl 36805 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
15143adant2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3opoccl 36805 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
17163adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
181, 2, 10pltval3 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
1913, 15, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
208, 12, 193bitr4d 314 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  Basecbs 16555  lecple 16644  occoc 16645  Posetcpo 17630  ltcplt 17631  OPcops 36783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fv 6348  df-ov 7159  df-proset 17618  df-poset 17636  df-plt 17648  df-oposet 36787 This theorem is referenced by:  opltcon1b  36816  opltcon2b  36817  cvrcon3b  36888  1cvratex  37084  lhprelat3N  37651
 Copyright terms: Public domain W3C validator