Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople0 36363
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 29204 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ople0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem ople0
StepHypRef Expression
1 op0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 op0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 op0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 36362 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 535 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 opposet 36357 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 488 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op0cl 36360 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
109adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 17540 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 282 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  Basecbs 16461  lecple 16550  Posetcpo 17528  0.cp0 17625  OPcops 36348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-proset 17516  df-poset 17534  df-glb 17563  df-p0 17627  df-oposet 36352
This theorem is referenced by:  lub0N  36365  opoc1  36378  atlatmstc  36495  cvrat4  36619  lhpocnle  37192  cdleme22b  37517  tendoid  37949  tendoex  38151
  Copyright terms: Public domain W3C validator