Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople0 34996
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 28642 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ople0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem ople0
StepHypRef Expression
1 op0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 op0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 op0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 34995 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 521 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 opposet 34990 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 466 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 471 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op0cl 34993 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
109adantr 466 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 17160 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  Posetcpo 17148  0.cp0 17245  OPcops 34981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-preset 17136  df-poset 17154  df-glb 17183  df-p0 17247  df-oposet 34985
This theorem is referenced by:  lub0N  34998  opoc1  35011  atlatmstc  35128  cvrat4  35251  lhpocnle  35824  cdleme22b  36150  tendoid  36582  tendoex  36784
  Copyright terms: Public domain W3C validator