Theorem ople0 39165

Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 31405 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
op0le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
op0le.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ople0	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem ople0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op0le.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		op0le.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		op0le.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	1, 2, 3	op0le 39164	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ≤ 𝑋)
5	4	biantrud 531	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ (𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋)))
6		opposet 39159	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	op0cl 39162	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 18243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 0 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  lecple 17186  Posetcpo 18231  0.cp0 18345  OPcops 39150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-proset 18218  df-poset 18237  df-glb 18269  df-p0 18347  df-oposet 39154

This theorem is referenced by:  lub0N  39167  opoc1  39180  atlatmstc  39297  cvrat4  39422  lhpocnle  39995  cdleme22b  40320  tendoid  40752  tendoex  40954