Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople0 38663
Description: An element less than or equal to zero equals zero. (chle0 31271 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0le.l = (le‘𝐾)
op0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ople0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem ople0
StepHypRef Expression
1 op0le.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 op0le.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 op0le.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3op0le 38662 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
54biantrud 530 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ↔ (𝑋 00 𝑋)))
6 opposet 38657 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op0cl 38660 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
109adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
111, 2posasymb 18316 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 00 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
135, 12bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5150  cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  Posetcpo 18304  0.cp0 18420  OPcops 38648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-proset 18292  df-poset 18310  df-glb 18344  df-p0 18422  df-oposet 38652
This theorem is referenced by:  lub0N  38665  opoc1  38678  atlatmstc  38795  cvrat4  38920  lhpocnle  39493  cdleme22b  39818  tendoid  40250  tendoex  40452
  Copyright terms: Public domain W3C validator