Theorem op1le 37133

Description: If the orthoposet unit is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 29706 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ople1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ople1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 37132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )
5	4	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋)))
6		opposet 37122	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	op1cl 37126	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 17952	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
13	5, 12	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Posetcpo 17940  1.cp1 18057  OPcops 37113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-p1 18059  df-oposet 37117

This theorem is referenced by:  glb0N  37134  lhpj1  37963