Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op1le 38791
Description: If the orthoposet unity is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 31325 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l = (le‘𝐾)
ople1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op1le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le
StepHypRef Expression
1 ople1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ople1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 ople1.u . . . 4 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3ople1 38790 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 1 )
54biantrurd 531 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋 ↔ (𝑋 11 𝑋)))
6 opposet 38780 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op1cl 38784 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
109adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
111, 2posasymb 18314 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → ((𝑋 11 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 11 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
135, 12bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋𝑋 = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  Posetcpo 18302  1.cp1 18419  OPcops 38771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-proset 18290  df-poset 18308  df-lub 18341  df-p1 18421  df-oposet 38775
This theorem is referenced by:  glb0N  38792  lhpj1  39622
  Copyright terms: Public domain W3C validator