Theorem op1le 35266

Description: If the orthoposet unit is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 28856 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ople1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ople1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 35265	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )
5	4	biantrurd 530	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋)))
6		opposet 35255	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	op1cl 35259	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 17304	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
13	5, 12	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  ‘cfv 6122  Basecbs 16221  lecple 16311  Posetcpo 17292  1.cp1 17390  OPcops 35246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-proset 17280  df-poset 17298  df-lub 17326  df-p1 17392  df-oposet 35250

This theorem is referenced by:  glb0N  35267  lhpj1  36096