Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op1le 36322
Description: If the orthoposet unit is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 29214 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l = (le‘𝐾)
ople1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op1le ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le
StepHypRef Expression
1 ople1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ople1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 ople1.u . . . 4 1 = (1.‘𝐾)
41, 2, 3ople1 36321 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 1 )
54biantrurd 535 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋 ↔ (𝑋 11 𝑋)))
6 opposet 36311 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8 simpr 487 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
91, 3op1cl 36315 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1𝐵)
109adantr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 1𝐵)
111, 2posasymb 17556 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵1𝐵) → ((𝑋 11 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
127, 8, 10, 11syl3anc 1367 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 11 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
135, 12bitrd 281 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 𝑋𝑋 = 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5059  cfv 6350  Basecbs 16477  lecple 16566  Posetcpo 17544  1.cp1 17642  OPcops 36302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-proset 17532  df-poset 17550  df-lub 17578  df-p1 17644  df-oposet 36306
This theorem is referenced by:  glb0N  36323  lhpj1  37152
  Copyright terms: Public domain W3C validator