Theorem op1le 40515

Description: If the orthoposet unity is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 32102 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ople1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ople1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 40514	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )
5	4	biantrurd 542	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋)))
6		opposet 40504	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	op1cl 40508	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 18543	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
13	5, 12	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  Posetcpo 18531  1.cp1 18646  OPcops 40495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-proset 18518  df-poset 18537  df-lub 18568  df-p1 18648  df-oposet 40499

This theorem is used by:  glb0N  40516  lhpj1  41345