Theorem op1le 40249

Description: If the orthoposet unity is less than or equal to an element, the element equals the unit. (chle0 32045 analog.) (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ople1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ople1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
op1le	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

Proof of Theorem op1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ople1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ople1.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ople1.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
4	1, 2, 3	ople1 40248	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ 1 )
5	4	biantrurd 542	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋)))
6		opposet 40238	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 3	op1cl 40242	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11	1, 2	posasymb 18493	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑋) ↔ 𝑋 = 1 ))
13	5, 12	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋 = 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  Posetcpo 18481  1.cp1 18596  OPcops 40229

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-proset 18468  df-poset 18487  df-lub 18518  df-p1 18598  df-oposet 40233

This theorem is used by:  glb0N  40250  lhpj1  41079