Theorem ordne0gt0 44403

Description: Ordinal zero is less than every nonzero ordinal. Theorem 1.10 of [Schloeder] p. 2. Closely related to ord0eln0 6425. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordne0gt0	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordne0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6425	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	biimpar 483	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∅c0 4280  Ord word 6367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-ord 6371

This theorem is used by: (None)