Theorem ordne0gt0 42466

Description: Ordinal zero is less than every non-zero ordinal. Theorem 1.10 of [Schloeder] p. 2. Closely related to ord0eln0 6409. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordne0gt0	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordne0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0eln0 6409	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2	1	biimpar 477	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∅c0 4314  Ord word 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-ord 6357

This theorem is referenced by: (None)