Theorem ordeldif1o 43444

Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif1o	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8395	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	difeq2i 4073	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
3	2	eleq2i 2826	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4		eldif 3909	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6		0elon 6370	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
7		ordelord 6337	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
8		ordelsuc 7760	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10		ord0eln0 6371	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12		eloni 6325	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ On → Ord ∅)
13		ordsuci 7751	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∅ → Ord suc ∅)
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Ord suc ∅
15		ordtri1 6348	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
16	14, 7, 15	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
17	9, 11, 16	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19	5, 18	bitrid 283	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  Ord word 6314  Oncon0 6315  suc csuc 6317  1_oc1o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-1o 8395

This theorem is referenced by: (None)