Theorem ordeldif1o 44371

Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif1o	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8483	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	difeq2i 4059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
3	2	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4		eldif 4048	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
5	3, 4	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6		0elon 6421	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
7		ordelord 6387	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
8		ordelsuc 7835	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10		ord0eln0 6422	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11	7, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12		eloni 6375	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ On → Ord ∅)
13		ordsuci 7826	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∅ → Ord suc ∅)
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Ord suc ∅
15		ordtri1 6399	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
16	14, 7, 15	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
17	9, 11, 16	3bitr3rd 313	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19	5, 18	bitrid 286	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  Ord word 6364  Oncon0 6365  suc csuc 6367  1_oc1o 8476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-1o 8483

This theorem is used by: (None)