Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldif1o 43273
Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldif1o (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o
StepHypRef Expression
1 df-1o 8506 . . . . 5 1o = suc ∅
21difeq2i 4123 . . . 4 (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
32eleq2i 2833 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4 eldif 3961 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
53, 4bitri 275 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6 0elon 6438 . . . . 5 ∅ ∈ On
7 ordelord 6406 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
8 ordelsuc 7840 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
96, 7, 8sylancr 587 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10 ord0eln0 6439 . . . . 5 (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
117, 10syl 17 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
12 eloni 6394 . . . . . 6 (∅ ∈ On → Ord ∅)
13 ordsuci 7828 . . . . . 6 (Ord ∅ → Ord suc ∅)
146, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 Ord suc ∅
15 ordtri1 6417 . . . . 5 ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
1614, 7, 15sylancr 587 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
179, 11, 163bitr3rd 310 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1817pm5.32da 579 . 2 (Ord 𝐴 → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
195, 18bitrid 283 1 (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  1oc1o 8499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-1o 8506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator