Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldif1o 43249
Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldif1o (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o
StepHypRef Expression
1 df-1o 8504 . . . . 5 1o = suc ∅
21difeq2i 4132 . . . 4 (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
32eleq2i 2830 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4 eldif 3972 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
53, 4bitri 275 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6 0elon 6439 . . . . 5 ∅ ∈ On
7 ordelord 6407 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
8 ordelsuc 7839 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
96, 7, 8sylancr 587 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10 ord0eln0 6440 . . . . 5 (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
117, 10syl 17 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
12 eloni 6395 . . . . . 6 (∅ ∈ On → Ord ∅)
13 ordsuci 7827 . . . . . 6 (Ord ∅ → Ord suc ∅)
146, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 Ord suc ∅
15 ordtri1 6418 . . . . 5 ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
1614, 7, 15sylancr 587 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
179, 11, 163bitr3rd 310 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1817pm5.32da 579 . 2 (Ord 𝐴 → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
195, 18bitrid 283 1 (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962  c0 4338  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  1oc1o 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-1o 8504
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator