Theorem ordeldif1o 43834

Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif1o	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8437	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	difeq2i 4077	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
3	2	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4		eldif 3914	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
5	3, 4	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6		0elon 6401	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
7		ordelord 6368	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
8		ordelsuc 7800	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10		ord0eln0 6402	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12		eloni 6356	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ On → Ord ∅)
13		ordsuci 7791	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∅ → Ord suc ∅)
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Ord suc ∅
15		ordtri1 6379	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
16	14, 7, 15	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
17	9, 11, 16	3bitr3rd 312	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	pm5.32da 587	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19	5, 18	bitrid 285	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  Ord word 6345  Oncon0 6346  suc csuc 6348  1_oc1o 8430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-1o 8437

This theorem is referenced by: (None)