Theorem ordeldif1o 44101

Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif1o	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8455	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	difeq2i 4071	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
3	2	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4		eldif 3909	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
5	3, 4	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6		0elon 6413	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
7		ordelord 6379	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
8		ordelsuc 7816	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10		ord0eln0 6414	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11	7, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12		eloni 6367	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ On → Ord ∅)
13		ordsuci 7807	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∅ → Ord suc ∅)
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Ord suc ∅
15		ordtri1 6391	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
16	14, 7, 15	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
17	9, 11, 16	3bitr3rd 313	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19	5, 18	bitrid 286	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  1_oc1o 8448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-1o 8455

This theorem is used by: (None)