Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordeldif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordeldif1o 42499
Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordeldif1o (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o
StepHypRef Expression
1 df-1o 8461 . . . . 5 1o = suc ∅
21difeq2i 4111 . . . 4 (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
32eleq2i 2817 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4 eldif 3950 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
53, 4bitri 275 . 2 (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6 0elon 6408 . . . . 5 ∅ ∈ On
7 ordelord 6376 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → Ord 𝐵)
8 ordelsuc 7801 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
96, 7, 8sylancr 586 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10 ord0eln0 6409 . . . . 5 (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
117, 10syl 17 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (∅ ∈ 𝐵𝐵 ≠ ∅))
12 eloni 6364 . . . . . 6 (∅ ∈ On → Ord ∅)
13 ordsuci 7789 . . . . . 6 (Ord ∅ → Ord suc ∅)
146, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 Ord suc ∅
15 ordtri1 6387 . . . . 5 ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
1614, 7, 15sylancr 586 . . . 4 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
179, 11, 163bitr3rd 310 . . 3 ((Ord 𝐴𝐵𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1817pm5.32da 578 . 2 (Ord 𝐴 → ((𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
195, 18bitrid 283 1 (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  wne 2932  cdif 3937  wss 3940  c0 4314  Ord word 6353  Oncon0 6354  suc csuc 6356  1oc1o 8454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-tr 5256  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-1o 8461
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator