Theorem ordeldif1o 43709

Description: Membership in the difference of ordinal and ordinal one. (Contributed by RP, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordeldif1o	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem ordeldif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 8399	. . . . 5 ⊢ 1o = suc ∅
2	1	difeq2i 4064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 1o) = (𝐴 ∖ suc ∅)
3	2	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅))
4		eldif 3900	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
5	3, 4	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
6		0elon 6373	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
7		ordelord 6340	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → Ord 𝐵)
8		ordelsuc 7765	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐵) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐵))
10		ord0eln0 6374	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12		eloni 6328	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ On → Ord ∅)
13		ordsuci 7756	. . . . . 6 ⊢ (Ord ∅ → Ord suc ∅)
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ Ord suc ∅
15		ordtri1 6351	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc ∅ ∧ Ord 𝐵) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
16	14, 7, 15	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (suc ∅ ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅))
17	9, 11, 16	3bitr3rd 310	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵 ∈ suc ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
18	17	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ suc ∅) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19	5, 18	bitrid 283	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∖ 1o) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  1_oc1o 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-1o 8399

This theorem is referenced by: (None)