MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ord0eln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ord0eln0 5992
Description: A nonempty ordinal contains the empty set. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
ord0eln0 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0
StepHypRef Expression
1 ne0i 4122 . 2 (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2 ord0 5990 . . . 4 Ord ∅
3 noel 4120 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 ordtri2 5971 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
54con2bid 345 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
63, 5mpbiri 249 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
72, 6mpan2 674 . . 3 (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8 neor 3069 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
97, 8sylib 209 . 2 (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
101, 9impbid2 217 1 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  c0 4116  Ord word 5935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5096
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-br 4845  df-opab 4907  df-tr 4947  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-ord 5939
This theorem is referenced by:  on0eln0  5993  dflim2  5994  0ellim  6000  0elsuc  7265  ordge1n0  7815  omwordi  7888  omass  7897  nnmord  7949  nnmwordi  7952  wemapwe  8841  elni2  9984  bnj529  31134
  Copyright terms: Public domain W3C validator