Theorem ord0eln0 6445

Description: A nonempty ordinal contains the empty set. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4290	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ord0 6443	. . . 4 ⊢ Ord ∅
3		noel 4286	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		ordtri2 6424	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
5	4	con2bid 357	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
6	3, 5	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	2, 6	mpan2 704	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8		neor 3051	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	7, 8	sylib 221	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	1, 9	impbid2 229	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  Ord word 6387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391

This theorem is used by:  on0eln0  6446  dflim2  6447  0elsuc  7880  ordge1n0  8540  omwordi  8617  omass  8626  nnmord  8679  nnmwordi  8682  fissorduni  9320  wemapwe  9735  elni2  11001  cuteq1  28260  bnj529  35483  ordeldif1o  44523  ordne0gt0  44524  dflim7  44536