Theorem ord0eln0 6373

Description: A nonempty ordinal contains the empty set. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4293	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ord0 6371	. . . 4 ⊢ Ord ∅
3		noel 4290	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		ordtri2 6352	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
5	4	con2bid 354	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
6	3, 5	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	2, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8		neor 3024	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	7, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	1, 9	impbid2 226	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  Ord word 6316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320

This theorem is referenced by:  on0eln0  6374  dflim2  6375  0elsuc  7777  ordge1n0  8421  omwordi  8498  omass  8507  nnmord  8560  nnmwordi  8563  wemapwe  9606  elni2  10788  cuteq1  27813  bnj529  34897  fissorduni  35246  ordeldif1o  43502  ordne0gt0  43503  dflim7  43515