Theorem ord0eln0 6379

Description: A nonempty ordinal contains the empty set. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4281	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ord0 6377	. . . 4 ⊢ Ord ∅
3		noel 4278	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		ordtri2 6358	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
5	4	con2bid 354	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
6	3, 5	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	2, 6	mpan2 692	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8		neor 3024	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	7, 8	sylib 218	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	1, 9	impbid2 226	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  Ord word 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-tr 5193  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326

This theorem is referenced by:  on0eln0  6380  dflim2  6381  0elsuc  7786  ordge1n0  8429  omwordi  8506  omass  8515  nnmord  8568  nnmwordi  8571  wemapwe  9618  elni2  10800  cuteq1  27809  bnj529  34884  fissorduni  35233  ordeldif1o  43688  ordne0gt0  43689  dflim7  43701