Theorem ord0eln0 6402

Description: A nonempty ordinal contains the empty set. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ord0eln0	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem ord0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4293	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
2		ord0 6400	. . . 4 ⊢ Ord ∅
3		noel 4290	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
4		ordtri2 6381	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 ∈ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴)))
5	4	con2bid 356	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ ∅))
6	3, 5	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord ∅) → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	2, 6	mpan2 701	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8		neor 3049	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	7, 8	sylib 220	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ≠ ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
10	1, 9	impbid2 228	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  Ord word 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349

This theorem is referenced by:  on0eln0  6403  dflim2  6404  0elsuc  7815  ordge1n0  8463  omwordi  8540  omass  8549  nnmord  8602  nnmwordi  8605  wemapwe  9652  elni2  10835  cuteq1  27907  bnj529  35034  fissorduni  35382  ordeldif1o  43834  ordne0gt0  43835  dflim7  43847