Theorem phllvec 20834

Description: A pre-Hilbert space is a left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllvec	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem phllvec

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (*𝑟‘(Scalar‘𝑊)) = (*𝑟‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isphl 20833	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)((𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑥 = (0g‘𝑊)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)((*𝑟‘(Scalar‘𝑊))‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑦(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
8	7	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  *_𝑟cstv 16964  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  0_gc0g 17150  *-Ringcsr 20104   LMHom clmhm 20281  LVecclvec 20364  ringLModcrglmod 20431  PreHilcphl 20829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-phl 20831

This theorem is referenced by:  phllmod  20835  phlssphl  20864  obsne0  20932  obslbs  20937  cphlvec  24339  phclm  24396  ipcau2  24398  tcphcph  24401