MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 25284
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
32tcphphl 25274 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 218 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (·𝑖𝑊)
72, 5, 6tcphval 25265 . . . . . 6 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
8 eqid 2734 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
9 eqid 2734 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 phllmod 21665 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lmodgrp 20881 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 25280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1816, 17resqrtcld 15452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶ℝ)
20 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
24 fvex 6919 . . . . . . . . . 10 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 7020 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
29 phllvec 21664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3114lvecdrng 21121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 25224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
3433simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ))
35 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ ℂ) ⊆ ℂ
3634, 35eqsstrdi 4049 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3814, 6, 5, 28ipcl 21668 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
39383anidm23 1420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
401, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
4137, 40sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ ℂ)
4241sqrtcld 15472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ)
43 sqeq0 14156 . . . . . . . . 9 ((√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 15474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 25279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
4714clm0 25118 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
4948adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 0 = (0g𝐹))
5045, 49eqeq12d 2750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
5144, 50bitr3d 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
52 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 21673 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
541, 53sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
5527, 51, 543bitrd 305 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
561adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
5733simp1d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
59 3anass 1094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6362sqrtcld 15472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
6460, 63jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
6564ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
6634eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
67 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
68 elin 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℂ))
6968rbaib 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7166, 70sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7271adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾)))
7473pm5.32rd 578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))))
75 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7674, 75bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7734eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ (√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
78 elin 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
8065, 76, 793imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8159, 80biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8281imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8382adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8417adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
85 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
86 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 25282 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))) ≤ ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 19050 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1119 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9291anidms 566 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9392fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 7020 . . . . . . . 8 ((𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
96 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 7020 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑧𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5179 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) ≤ (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 24689 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 21665 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil → 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 24816 . . . . . . 7 fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1143 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
108 eqid 2734 . . . . . . . 8 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
109108subrgnrg 24709 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1127 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
11457adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
11582adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
11617adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
117 eqid 2734 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
118 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
119 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 25283 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 20892 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2734 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 25276 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
127114fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
128127fveq1d 6908 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦))
129 subrgsubg 20593 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
131 cnfldnm 24814 . . . . . . . . . 10 abs = (norm‘ℂfld)
132 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))
133108, 131, 132subgnm2 24662 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
134130, 118, 133syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
135128, 134eqtrd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 25276 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2784 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
140139ralrimivva 3199 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
1412, 5tcphbas 25266 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
1422, 117tcphvsca 25271 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1432, 14tcphsca 25270 . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
144 eqid 2734 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 24711 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧))))
146112, 140, 145sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))))
148 elin 3978 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 13490 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
150149anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
151148, 150bitri 275 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
152151, 80biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
153152ralrimiv 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
154 sqrtf 15398 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
155 ffun 6739 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4244 . . . . . 6 ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘𝐹)
158157, 36sstrid 4006 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ)
159154fdmi 6747 . . . . 5 dom √ = ℂ
160158, 159sseqtrrdi 4046 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √)
161 funimass4 6972 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √) → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
162156, 160, 161sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
163153, 162mpbird 257 . 2 (𝜑 → (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹))
16442fmpttd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ)
1652, 5, 6tcphval 25265 . . . . 5 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 11233 . . . . 5 ℂ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 24687 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ) → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
16813, 164, 167syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
169168eqcomd 2740 . 2 (𝜑 → (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 25272 . . 3 , = (·𝑖𝐺)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 25217 . 2 (𝐺 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))) ∧ (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ∧ (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1342 1 (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cima 5691  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  cle 11293  2c2 12318  [,)cico 13385  cexp 14098  csqrt 15268  abscabs 15269  Basecbs 17244  s cress 17273  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  SubGrpcsubg 19150  SubRingcsubrg 20585  DivRingcdr 20745  LModclmod 20874  LVecclvec 21118  fldccnfld 21381  PreHilcphl 21659  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  NrmRingcnrg 24607  NrmModcnlm 24608  ℂModcclm 25108  ℂPreHilccph 25213  toℂPreHilctcph 25214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-abv 20826  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lmhm 21038  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-phl 21661  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-tng 24612  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-clm 25109  df-cph 25215  df-tcph 25216
This theorem is referenced by:  rrxcph  25439
  Copyright terms: Public domain W3C validator