MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 25271
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
32tcphphl 25261 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 218 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (·𝑖𝑊)
72, 5, 6tcphval 25252 . . . . . 6 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
8 eqid 2737 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 phllmod 21648 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lmodgrp 20865 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 25267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1816, 17resqrtcld 15456 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶ℝ)
20 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
24 fvex 6919 . . . . . . . . . 10 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
29 phllvec 21647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3114lvecdrng 21104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 25211 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
3433simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ))
35 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ ℂ) ⊆ ℂ
3634, 35eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3814, 6, 5, 28ipcl 21651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
39383anidm23 1423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
401, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
4137, 40sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ ℂ)
4241sqrtcld 15476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ)
43 sqeq0 14160 . . . . . . . . 9 ((√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 15478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 25266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
4714clm0 25105 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
4948adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 0 = (0g𝐹))
5045, 49eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
5144, 50bitr3d 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
52 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 21656 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
541, 53sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
5527, 51, 543bitrd 305 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
561adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
5733simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
59 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6362sqrtcld 15476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
6460, 63jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
6564ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
6634eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
67 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
68 elin 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℂ))
6968rbaib 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7166, 70sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7271adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾)))
7473pm5.32rd 578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))))
75 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7674, 75bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7734eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ (√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
78 elin 3967 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
8065, 76, 793imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8159, 80biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8281imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8382adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8417adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
85 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
86 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 25269 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))) ≤ ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 19038 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7440 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9291anidms 566 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9392fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 7021 . . . . . . . 8 ((𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
96 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7450 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑧𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5175 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) ≤ (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 24674 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 21648 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil → 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 24801 . . . . . . 7 fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1145 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
108 eqid 2737 . . . . . . . 8 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
109108subrgnrg 24694 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1129 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
11457adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
11582adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
11617adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
117 eqid 2737 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
118 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
119 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 25270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 20876 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2737 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 25263 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
127114fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
128127fveq1d 6908 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦))
129 subrgsubg 20577 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
131 cnfldnm 24799 . . . . . . . . . 10 abs = (norm‘ℂfld)
132 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))
133108, 131, 132subgnm2 24647 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
134130, 118, 133syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
135128, 134eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 25263 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
140139ralrimivva 3202 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
1412, 5tcphbas 25253 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
1422, 117tcphvsca 25258 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1432, 14tcphsca 25257 . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
144 eqid 2737 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 24696 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧))))
146112, 140, 145sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))))
148 elin 3967 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 13494 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
150149anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
151148, 150bitri 275 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
152151, 80biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
153152ralrimiv 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
154 sqrtf 15402 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
155 ffun 6739 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4237 . . . . . 6 ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘𝐹)
158157, 36sstrid 3995 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ)
159154fdmi 6747 . . . . 5 dom √ = ℂ
160158, 159sseqtrrdi 4025 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √)
161 funimass4 6973 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √) → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
162156, 160, 161sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
163153, 162mpbird 257 . 2 (𝜑 → (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹))
16442fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ)
1652, 5, 6tcphval 25252 . . . . 5 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 11236 . . . . 5 ℂ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 24672 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ) → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
16813, 164, 167syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
169168eqcomd 2743 . 2 (𝜑 → (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 25259 . . 3 , = (·𝑖𝐺)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 25204 . 2 (𝐺 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))) ∧ (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ∧ (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1344 1 (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  cle 11296  2c2 12321  [,)cico 13389  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  SubRingcsubrg 20569  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  fldccnfld 21364  PreHilcphl 21642  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  NrmRingcnrg 24592  NrmModcnlm 24593  ℂModcclm 25095  ℂPreHilccph 25200  toℂPreHilctcph 25201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-tng 24597  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202  df-tcph 25203
This theorem is referenced by:  rrxcph  25426
  Copyright terms: Public domain W3C validator