MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 24753
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of β„‚fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
32tcphphl 24743 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
72, 5, 6tcphval 24734 . . . . . 6 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
8 eqid 2732 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
9 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 phllmod 21182 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 lmodgrp 20477 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 24749 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ , π‘₯) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
1816, 17resqrtcld 15363 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆβ„)
20 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
24 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 7003 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
29 phllvec 21181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3114lvecdrng 20715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 24693 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚) ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
3433simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚))
35 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ β„‚) βŠ† β„‚
3634, 35eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3814, 6, 5, 28ipcl 21185 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39383anidm23 1421 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
401, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4137, 40sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ β„‚)
4241sqrtcld 15383 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚)
43 sqeq0 14084 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 15385 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 24748 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
4714clm0 24587 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4948adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
5045, 49eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
5144, 50bitr3d 280 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
52 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 21190 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
541, 53sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
5527, 51, 543bitrd 304 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
561adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5733simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
59 3anass 1095 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6261recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6362sqrtcld 15383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6460, 63jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
6564ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
6634eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
67 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
68 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
6968rbaib 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7166, 70sylan9bb 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7271adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾)))
7473pm5.32rd 578 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))))
75 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7674, 75bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7734eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
78 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
7977, 78bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
8065, 76, 793imtr4d 293 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8159, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8281imp 407 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8382adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8417adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
85 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
86 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 24751 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 18902 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1120 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7417 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9291anidms 567 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9392fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 7003 . . . . . . . 8 ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
96 oveq12 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 7003 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7427 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) ≀ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 24169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 21182 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil β†’ 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 24296 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
108 eqid 2732 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))
109108subrgnrg 24189 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
11457adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
11582adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
11617adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
117 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
118 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
119 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 24752 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 20488 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1120 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2732 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 24745 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 683 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
127114fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
128127fveq1d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦))
129 subrgsubg 20324 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
131 cnfldnm 24294 . . . . . . . . . 10 abs = (normβ€˜β„‚fld)
132 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
133108, 131, 132subgnm2 24142 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
134130, 118, 133syl2an2r 683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
135128, 134eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 24745 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
140139ralrimivva 3200 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
1412, 5tcphbas 24735 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
1422, 117tcphvsca 24740 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
1432, 14tcphsca 24739 . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜πΊ)
144 eqid 2732 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 24191 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
146112, 140, 145sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
148 elin 3964 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 13430 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
150149anbi2i 623 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
151148, 150bitri 274 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
152151, 80biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
153152ralrimiv 3145 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
154 sqrtf 15309 . . . . 5 √:β„‚βŸΆβ„‚
155 ffun 6720 . . . . 5 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4228 . . . . . 6 ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
158157, 36sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚)
159154fdmi 6729 . . . . 5 dom √ = β„‚
160158, 159sseqtrrdi 4033 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √)
161 funimass4 6956 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
162156, 160, 161sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
163153, 162mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
16442fmpttd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚)
1652, 5, 6tcphval 24734 . . . . 5 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 11190 . . . . 5 β„‚ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 24167 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
16813, 164, 167syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
169168eqcomd 2738 . 2 (πœ‘ β†’ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 24741 . . 3 , = (Β·π‘–β€˜πΊ)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 24686 . 2 (𝐺 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ∧ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1343 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  2c2 12266  [,)cico 13325  β†‘cexp 14026  βˆšcsqrt 15179  abscabs 15180  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  Β·π‘–cip 17201  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  LModclmod 20470  LVecclvec 20712  β„‚fldccnfld 20943  PreHilcphl 21176  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085  NrmRingcnrg 24087  NrmModcnlm 24088  β„‚Modcclm 24577  β„‚PreHilccph 24682  toβ„‚PreHilctcph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-abv 20424  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-phl 21178  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nrg 24093  df-nlm 24094  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685
This theorem is referenced by:  rrxcph  24908
  Copyright terms: Public domain W3C validator