MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 24624
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of β„‚fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
32tcphphl 24614 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
72, 5, 6tcphval 24605 . . . . . 6 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
8 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 phllmod 21057 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 lmodgrp 20372 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 24620 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ , π‘₯) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
1816, 17resqrtcld 15311 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆβ„)
20 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
24 fvex 6859 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 6957 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
29 phllvec 21056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3114lvecdrng 20610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 24564 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚) ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
3433simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚))
35 inss2 4193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ β„‚) βŠ† β„‚
3634, 35eqsstrdi 4002 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3814, 6, 5, 28ipcl 21060 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39383anidm23 1422 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
401, 39sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4137, 40sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ β„‚)
4241sqrtcld 15331 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚)
43 sqeq0 14034 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 15333 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 24619 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
4714clm0 24458 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4948adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
5045, 49eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
5144, 50bitr3d 281 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
52 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 21065 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
541, 53sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
5527, 51, 543bitrd 305 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
561adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5733simp1d 1143 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
59 3anass 1096 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6261recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6362sqrtcld 15331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6460, 63jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
6564ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
6634eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
67 recn 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
68 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
6968rbaib 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7166, 70sylan9bb 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7271adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7372ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾)))
7473pm5.32rd 579 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))))
75 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7674, 75bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7734eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
78 elin 3930 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
7977, 78bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
8065, 76, 793imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8159, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8281imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8382adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8417adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
85 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
86 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 24622 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 18835 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1121 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7370 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9291anidms 568 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9392fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 6957 . . . . . . . 8 ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
96 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 6957 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7380 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5141 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) ≀ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 24040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 21057 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil β†’ 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 24167 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
108 eqid 2733 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))
109108subrgnrg 24060 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
11457adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
11582adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
11617adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
117 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
118 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
119 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 24623 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 20383 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1121 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2733 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 24616 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
127114fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
128127fveq1d 6848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦))
129 subrgsubg 20270 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
131 cnfldnm 24165 . . . . . . . . . 10 abs = (normβ€˜β„‚fld)
132 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
133108, 131, 132subgnm2 24013 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
134130, 118, 133syl2an2r 684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
135128, 134eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 24616 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
140139ralrimivva 3194 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
1412, 5tcphbas 24606 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
1422, 117tcphvsca 24611 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
1432, 14tcphsca 24610 . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜πΊ)
144 eqid 2733 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 24062 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
146112, 140, 145sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
148 elin 3930 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 13380 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
150149anbi2i 624 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
151148, 150bitri 275 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
152151, 80biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
153152ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
154 sqrtf 15257 . . . . 5 √:β„‚βŸΆβ„‚
155 ffun 6675 . . . . 5 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4192 . . . . . 6 ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
158157, 36sstrid 3959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚)
159154fdmi 6684 . . . . 5 dom √ = β„‚
160158, 159sseqtrrdi 3999 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √)
161 funimass4 6911 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
162156, 160, 161sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
163153, 162mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
16442fmpttd 7067 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚)
1652, 5, 6tcphval 24605 . . . . 5 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 11140 . . . . 5 β„‚ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 24038 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
16813, 164, 167syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
169168eqcomd 2739 . 2 (πœ‘ β†’ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 24612 . . 3 , = (Β·π‘–β€˜πΊ)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 24557 . 2 (𝐺 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ∧ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194   ≀ cle 11198  2c2 12216  [,)cico 13275  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  abscabs 15128  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  LModclmod 20365  LVecclvec 20607  β„‚fldccnfld 20819  PreHilcphl 21051  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956  NrmRingcnrg 23958  NrmModcnlm 23959  β„‚Modcclm 24448  β„‚PreHilccph 24553  toβ„‚PreHilctcph 24554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-abv 20319  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962  df-tng 23963  df-nrg 23964  df-nlm 23965  df-clm 24449  df-cph 24555  df-tcph 24556
This theorem is referenced by:  rrxcph  24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator