MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 24985
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of β„‚fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
32tcphphl 24975 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
72, 5, 6tcphval 24966 . . . . . 6 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))))
8 eqid 2730 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
9 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
10 phllmod 21402 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 lmodgrp 20621 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 24981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ , π‘₯) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
1816, 17resqrtcld 15368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 7115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))):π‘‰βŸΆβ„)
20 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 565 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))
24 fvex 6903 . . . . . . . . . 10 (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 7002 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2732 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
29 phllvec 21401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3114lvecdrng 20860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 24925 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∧ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚) ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
3433simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐾 ∩ β„‚))
35 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ β„‚) βŠ† β„‚
3634, 35eqsstrdi 4035 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
3814, 6, 5, 28ipcl 21405 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
39383anidm23 1419 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
401, 39sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
4137, 40sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 , 𝑦) ∈ β„‚)
4241sqrtcld 15388 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚)
43 sqeq0 14089 . . . . . . . . 9 ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) ∈ β„‚ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 15390 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 24980 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
4714clm0 24819 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
4948adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
5045, 49eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
5144, 50bitr3d 280 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ)))
52 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 21410 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
541, 53sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 , 𝑦) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
5527, 51, 543bitrd 304 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 = (0gβ€˜π‘Š)))
561adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
5733simp1d 1140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
5857adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
59 3anass 1093 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6261recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6362sqrtcld 15388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6460, 63jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
6564ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
6634eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
67 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
68 elin 3963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ β„‚))
6968rbaib 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7166, 70sylan9bb 508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7271adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾))
7372ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ π‘₯ ∈ 𝐾)))
7473pm5.32rd 576 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))))
75 3anass 1093 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7674, 75bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
7734eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚)))
78 elin 3963 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (𝐾 ∩ β„‚) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚))
7977, 78bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ↔ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)))
8065, 76, 793imtr4d 293 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8159, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
8281imp 405 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8382adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
8417adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
85 simprl 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
86 simprr 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 24983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 18939 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1118 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 578 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∧ π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9291anidms 565 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)))
9392fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 7002 . . . . . . . 8 ((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧))))
96 oveq12 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 565 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 7002 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)) = ((βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)) + (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜(𝑦(-gβ€˜π‘Š)𝑧)) ≀ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘¦) + ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯ , π‘₯)))β€˜π‘§)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 24390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 21402 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil β†’ 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 24517 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
108 eqid 2730 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))
109108subrgnrg 24410 . . . . . . 7 ((β„‚fld ∈ NrmRing ∧ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1126 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
11457adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
11582adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
11617adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
117 eqid 2730 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
118 simprl 767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
119 simprr 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 24984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 20632 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1118 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2730 . . . . . . . 8 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 24977 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 681 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (βˆšβ€˜((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) , (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
127114fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
128127fveq1d 6892 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦))
129 subrgsubg 20467 . . . . . . . . . 10 ((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
131 cnfldnm 24515 . . . . . . . . . 10 abs = (normβ€˜β„‚fld)
132 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) = (normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))
133108, 131, 132subgnm2 24363 . . . . . . . . 9 (((Baseβ€˜πΉ) ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
134130, 118, 133syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜(β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ)))β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
135128, 134eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘¦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 24977 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§) = (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (βˆšβ€˜(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
140139ralrimivva 3198 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§)))
1412, 5tcphbas 24967 . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜πΊ)
1422, 117tcphvsca 24972 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜πΊ)
1432, 14tcphsca 24971 . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜πΊ)
144 eqid 2730 . . . . 5 (normβ€˜πΉ) = (normβ€˜πΉ)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 24412 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΉ)βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((normβ€˜πΊ)β€˜(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((normβ€˜πΉ)β€˜π‘¦) Β· ((normβ€˜πΊ)β€˜π‘§))))
146112, 140, 145sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))))
148 elin 3963 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 13435 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
150149anbi2i 621 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
151148, 150bitri 274 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)))
152151, 80biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
153152ralrimiv 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
154 sqrtf 15314 . . . . 5 √:β„‚βŸΆβ„‚
155 ffun 6719 . . . . 5 (√:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4227 . . . . . 6 ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† (Baseβ€˜πΉ)
158157, 36sstrid 3992 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† β„‚)
159154fdmi 6728 . . . . 5 dom √ = β„‚
160158, 159sseqtrrdi 4032 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √)
161 funimass4 6955 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞)) βŠ† dom √) β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
162156, 160, 161sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))(βˆšβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΉ)))
163153, 162mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ))
16442fmpttd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚)
1652, 5, 6tcphval 24966 . . . . 5 𝐺 = (π‘Š toNrmGrp (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 24388 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))):π‘‰βŸΆβ„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
16813, 164, 167syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))) = (normβ€˜πΊ))
169168eqcomd 2736 . 2 (πœ‘ β†’ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 24973 . . 3 , = (Β·π‘–β€˜πΊ)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 24918 . 2 (𝐺 ∈ β„‚PreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs (Baseβ€˜πΉ))) ∧ (√ β€œ ((Baseβ€˜πΉ) ∩ (0[,)+∞))) βŠ† (Baseβ€˜πΉ) ∧ (normβ€˜πΊ) = (𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (βˆšβ€˜(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1341 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  2c2 12271  [,)cico 13330  β†‘cexp 14031  βˆšcsqrt 15184  abscabs 15185  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Β·π‘–cip 17206  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  SubRingcsubrg 20457  DivRingcdr 20500  LModclmod 20614  LVecclvec 20857  β„‚fldccnfld 21144  PreHilcphl 21396  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306  NrmRingcnrg 24308  NrmModcnlm 24309  β„‚Modcclm 24809  β„‚PreHilccph 24914  toβ„‚PreHilctcph 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-abv 20568  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916  df-tcph 24917
This theorem is referenced by:  rrxcph  25140
  Copyright terms: Public domain W3C validator