MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tcphcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tcphcph 23774
Description: The standard definition of a norm turns any pre-Hilbert space over a subfield of fld closed under square roots of nonnegative reals into a subcomplex pre-Hilbert space (which allows access to a norm, metric, and topology). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
Assertion
Ref Expression
tcphcph (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tcphcph
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 tcphval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
32tcphphl 23764 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
41, 3sylib 219 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ PreHil)
5 tcphcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.h . . . . . . 7 , = (·𝑖𝑊)
72, 5, 6tcphval 23755 . . . . . 6 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
8 eqid 2826 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
9 eqid 2826 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
10 phllmod 20709 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
111, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
12 lmodgrp 19577 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 tcphcph.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 tcphcph.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
162, 5, 14, 1, 15, 6tcphcphlem3 23770 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
17 tcphcph.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1816, 17resqrtcld 14772 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ ℝ)
1918fmpttd 6877 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉⟶ℝ)
20 oveq12 7159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2120anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑦 , 𝑦))
2221fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
23 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
24 fvex 6682 . . . . . . . . . 10 (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt3i 6772 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = (√‘(𝑦 , 𝑦)))
2726eqeq1d 2828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
28 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
29 phllvec 20708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3114lvecdrng 19813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
3328, 15, 32cphsubrglem 23715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
3433simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ))
35 inss2 4210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∩ ℂ) ⊆ ℂ
3634, 35eqsstrdi 4025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
3814, 6, 5, 28ipcl 20712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
39383anidm23 1415 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
401, 39sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
4137, 40sseldd 3972 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 , 𝑦) ∈ ℂ)
4241sqrtcld 14792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ)
43 sqeq0 13481 . . . . . . . . 9 ((√‘(𝑦 , 𝑦)) ∈ ℂ → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0))
4541sqsqrtd 14794 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = (𝑦 , 𝑦))
462, 5, 14, 1, 15phclm 23769 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
4714clm0 23610 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
4948adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 0 = (0g𝐹))
5045, 49eqeq12d 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((√‘(𝑦 , 𝑦))↑2) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
5144, 50bitr3d 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((√‘(𝑦 , 𝑦)) = 0 ↔ (𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹)))
52 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
5314, 6, 5, 52, 9ipeq0 20717 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
541, 53sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑦 , 𝑦) = (0g𝐹) ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
5527, 51, 543bitrd 306 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = (0g𝑊)))
561adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
5733simp1d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
59 3anass 1089 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
60 tcphcph.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
61 simpr2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6261recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6362sqrtcld 14792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
6460, 63jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
6564ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
6634eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
67 recn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
68 elin 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℂ))
6968rbaib 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ 𝑥𝐾))
7166, 70sylan9bb 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7271adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾))
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ↔ 𝑥𝐾)))
7473pm5.32rd 578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))))
75 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7674, 75syl6bbr 290 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
7734eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ (√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ)))
78 elin 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘𝑥) ∈ (𝐾 ∩ ℂ) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
7977, 78syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹) ↔ ((√‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (√‘𝑥) ∈ ℂ)))
8065, 76, 793imtr4d 295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8159, 80syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
8281imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8382adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
8417adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
85 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦𝑉)
86 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
872, 5, 14, 56, 58, 6, 83, 84, 28, 8, 85, 86tcphcphlem1 23772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))) ≤ ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
885, 8grpsubcl 18124 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
89883expb 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
9013, 89sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
91 oveq12 7159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) ∧ 𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9291anidms 567 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧)))
9392fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(-g𝑊)𝑧) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9493, 23, 24fvmpt3i 6772 . . . . . . . 8 ((𝑦(-g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
9590, 94syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦(-g𝑊)𝑧) , (𝑦(-g𝑊)𝑧))))
96 oveq12 7159 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9796anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑧 , 𝑧))
9897fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (√‘(𝑥 , 𝑥)) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
9998, 23, 24fvmpt3i 6772 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
10025, 99oveqan12d 7169 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑉𝑧𝑉) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
101100adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)) = ((√‘(𝑦 , 𝑦)) + (√‘(𝑧 , 𝑧))))
10287, 95, 1013brtr4d 5095 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘(𝑦(-g𝑊)𝑧)) ≤ (((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑦) + ((𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))‘𝑧)))
1037, 5, 8, 9, 13, 19, 55, 102tngngpd 23196 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
104 phllmod 20709 . . . . . 6 (𝐺 ∈ PreHil → 𝐺 ∈ LMod)
1054, 104syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ LMod)
106 cnnrg 23323 . . . . . . 7 fld ∈ NrmRing
10733simp3d 1138 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
108 eqid 2826 . . . . . . . 8 (ℂflds (Base‘𝐹)) = (ℂflds (Base‘𝐹))
109108subrgnrg 23216 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
110106, 107, 109sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂflds (Base‘𝐹)) ∈ NrmRing)
11157, 110eqeltrd 2918 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ NrmRing)
112103, 105, 1113jca 1122 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing))
1131adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
11457adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
11582adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
11617adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
117 eqid 2826 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
118 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
119 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
1202, 5, 14, 113, 114, 6, 115, 116, 28, 117, 118, 119tcphcphlem2 23773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
1215, 14, 117, 28lmodvscl 19587 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
1221213expb 1114 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
12311, 122sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
124 eqid 2826 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
1252, 124, 5, 6tcphnmval 23766 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
12613, 123, 125syl2an2r 681 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (√‘((𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧) , (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧))))
127114fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))))
128127fveq1d 6671 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦))
129 subrgsubg 19477 . . . . . . . . . 10 ((Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld) → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
130107, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld))
131 cnfldnm 23321 . . . . . . . . . 10 abs = (norm‘ℂfld)
132 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹))) = (norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))
133108, 131, 132subgnm2 23177 . . . . . . . . 9 (((Base‘𝐹) ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
134130, 118, 133syl2an2r 681 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘(ℂflds (Base‘𝐹)))‘𝑦) = (abs‘𝑦))
135128, 134eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐹)‘𝑦) = (abs‘𝑦))
1362, 124, 5, 6tcphnmval 23766 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑉) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
13713, 119, 136syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘𝑧) = (√‘(𝑧 , 𝑧)))
138135, 137oveq12d 7168 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)) = ((abs‘𝑦) · (√‘(𝑧 , 𝑧))))
139120, 126, 1383eqtr4d 2871 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑧𝑉)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
140139ralrimivva 3196 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧)))
1412, 5tcphbas 23756 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝐺)
1422, 117tcphvsca 23761 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1432, 14tcphsca 23760 . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝐺)
144 eqid 2826 . . . . 5 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
145141, 124, 142, 143, 28, 144isnlm 23218 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmMod ↔ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐺 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ NrmRing) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑧𝑉 ((norm‘𝐺)‘(𝑦( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((norm‘𝐹)‘𝑦) · ((norm‘𝐺)‘𝑧))))
146112, 140, 145sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ NrmMod)
1474, 146, 573jca 1122 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))))
148 elin 4173 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)))
149 elrege0 12837 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
150149anbi2i 622 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
151148, 150bitri 276 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)))
152151, 80syl5bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
153152ralrimiv 3186 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹))
154 sqrtf 14718 . . . . 5 √:ℂ⟶ℂ
155 ffun 6516 . . . . 5 (√:ℂ⟶ℂ → Fun √)
156154, 155ax-mp 5 . . . 4 Fun √
157 inss1 4209 . . . . . 6 ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘𝐹)
158157, 36sstrid 3982 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ ℂ)
159154fdmi 6523 . . . . 5 dom √ = ℂ
160158, 159sseqtrrdi 4022 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √)
161 funimass4 6729 . . . 4 ((Fun √ ∧ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞)) ⊆ dom √) → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
162156, 160, 161sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))(√‘𝑥) ∈ (Base‘𝐹)))
163153, 162mpbird 258 . 2 (𝜑 → (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹))
16442fmpttd 6877 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ)
1652, 5, 6tcphval 23755 . . . . 5 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
166 cnex 10612 . . . . 5 ℂ ∈ V
167165, 5, 166tngnm 23194 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))):𝑉⟶ℂ) → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
16813, 164, 167syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))) = (norm‘𝐺))
169168eqcomd 2832 . 2 (𝜑 → (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦))))
1702, 6tcphip 23762 . . 3 , = (·𝑖𝐺)
171141, 170, 124, 143, 28iscph 23708 . 2 (𝐺 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝐺 ∈ PreHil ∧ 𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹))) ∧ (√ “ ((Base‘𝐹) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘𝐹) ∧ (norm‘𝐺) = (𝑦𝑉 ↦ (√‘(𝑦 , 𝑦)))))
172147, 163, 169, 171syl3anbrc 1337 1 (𝜑𝐺 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cin 3939  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cima 5557  Fun wfun 6348  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  cle 10670  2c2 11686  [,)cico 12735  cexp 13424  csqrt 14587  abscabs 14588  Basecbs 16478  s cress 16479  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  ·𝑖cip 16565  0gc0g 16708  Grpcgrp 18048  -gcsg 18050  SubGrpcsubg 18218  DivRingcdr 19438  SubRingcsubrg 19467  LModclmod 19570  LVecclvec 19810  fldccnfld 20480  PreHilcphl 20703  normcnm 23120  NrmGrpcngp 23121  NrmRingcnrg 23123  NrmModcnlm 23124  ℂModcclm 23600  ℂPreHilccph 23704  toℂPreHilctcph 23705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-fz 12888  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-abv 19524  df-staf 19552  df-srng 19553  df-lmod 19572  df-lmhm 19730  df-lvec 19811  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-cnfld 20481  df-phl 20705  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-xms 22864  df-ms 22865  df-nm 23126  df-ngp 23127  df-tng 23128  df-nrg 23129  df-nlm 23130  df-clm 23601  df-cph 23706  df-tcph 23707
This theorem is referenced by:  rrxcph  23929
  Copyright terms: Public domain W3C validator