Theorem cphlvec 25409

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlvec	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)

Proof of Theorem cphlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 25405	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllvec 21848	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  LVecclvec 21292  PreHilcphl 21843  ℂPreHilccph 25400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-phl 21845  df-cph 25402

This theorem is used by:  cphnvc  25410  cphsubrg  25414  cphreccl  25415  cphqss  25422  hlprlem  25601  ishl2  25604