Theorem phclm 25186

Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phclm	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphcph.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21583	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		tcphcph.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6		phllvec 21582	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9	8	lvecdrng 21055	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	4, 5, 10	cphsubrglem 25131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
12	11	simp1d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
13	11	simp3d 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
14	8, 4	isclm 25018	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	3, 12, 13, 14	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  Scalarcsca 17178  SubRingcsubrg 20500  DivRingcdr 20660  LModclmod 20809  LVecclvec 21052  ℂ_fldccnfld 21307  PreHilcphl 21577  ℂModcclm 25016  toℂPreHilctcph 25121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-seq 13923  df-exp 13983  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-lvec 21053  df-cnfld 21308  df-phl 21579  df-clm 25017

This theorem is referenced by:  tcphcphlem3  25187  ipcau2  25188  tcphcphlem1  25189  tcphcphlem2  25190  tcphcph  25191