Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phclm 23814
 Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
Assertion
Ref Expression
phclm (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 20749 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5 tcphcph.2 . . . 4 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
6 phllvec 20748 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
98lvecdrng 19852 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
114, 5, 10cphsubrglem 23760 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
1211simp1d 1139 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
1311simp3d 1141 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
148, 4isclm 23647 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
153, 12, 13, 14syl3anbrc 1340 1 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3909  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  Basecbs 16461   ↾s cress 16462  Scalarcsca 16546  DivRingcdr 19477  SubRingcsubrg 19506  LModclmod 19609  LVecclvec 19849  ℂfldccnfld 20520  PreHilcphl 20743  ℂModcclm 23645  toℂPreHilctcph 23750 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-subg 18254  df-cmn 18886  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-drng 19479  df-subrg 19508  df-lvec 19850  df-cnfld 20521  df-phl 20745  df-clm 23646 This theorem is referenced by:  tcphcphlem3  23815  ipcau2  23816  tcphcphlem1  23817  tcphcphlem2  23818  tcphcph  23819
 Copyright terms: Public domain W3C validator