Theorem phclm 25461

Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phclm	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphcph.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21844	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		tcphcph.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6		phllvec 21843	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9	8	lvecdrng 21290	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	4, 5, 10	cphsubrglem 25406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
12	11	simp1d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
13	11	simp3d 1162	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
14	8, 4	isclm 25293	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	3, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  Scalarcsca 17349  SubRingcsubrg 20732  DivRingcdr 20891  LModclmod 21045  LVecclvec 21287  ℂ_fldccnfld 21586  PreHilcphl 21838  ℂModcclm 25291  toℂPreHilctcph 25396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-seq 14068  df-exp 14128  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-lvec 21288  df-cnfld 21587  df-phl 21840  df-clm 25292

This theorem is used by:  tcphcphlem3  25462  ipcau2  25463  tcphcphlem1  25464  tcphcphlem2  25465  tcphcph  25466