MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phclm 25280
Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
Assertion
Ref Expression
phclm (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm
StepHypRef Expression
1 tcphcph.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 phllmod 21666 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5 tcphcph.2 . . . 4 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
6 phllvec 21665 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
8 tcphcph.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
98lvecdrng 21122 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
114, 5, 10cphsubrglem 25225 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
1211simp1d 1141 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)))
1311simp3d 1143 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
148, 4isclm 25111 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂflds (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
153, 12, 13, 14syl3anbrc 1342 1 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  fldccnfld 21382  PreHilcphl 21660  ℂModcclm 25109  toℂPreHilctcph 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lvec 21120  df-cnfld 21383  df-phl 21662  df-clm 25110
This theorem is referenced by:  tcphcphlem3  25281  ipcau2  25282  tcphcphlem1  25283  tcphcphlem2  25284  tcphcph  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator