Theorem phclm 25402

Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phclm	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphcph.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21791	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		tcphcph.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6		phllvec 21790	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9	8	lvecdrng 21237	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	4, 5, 10	cphsubrglem 25347	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
12	11	simp1d 1159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
13	11	simp3d 1161	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
14	8, 4	isclm 25234	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	3, 12, 13, 14	syl3anbrc 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  Scalarcsca 17319  SubRingcsubrg 20679  DivRingcdr 20838  LModclmod 20992  LVecclvec 21234  ℂ_fldccnfld 21533  PreHilcphl 21785  ℂModcclm 25232  toℂPreHilctcph 25337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-seq 14045  df-exp 14105  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-lvec 21235  df-cnfld 21534  df-phl 21787  df-clm 25233

This theorem is used by:  tcphcphlem3  25403  ipcau2  25404  tcphcphlem1  25405  tcphcphlem2  25406  tcphcph  25407