Theorem phclm 25187

Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phclm	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphcph.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21599	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		tcphcph.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6		phllvec 21598	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9	8	lvecdrng 21089	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	4, 5, 10	cphsubrglem 25132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
12	11	simp1d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
13	11	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
14	8, 4	isclm 25019	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	3, 12, 13, 14	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3884  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  Scalarcsca 17212  SubRingcsubrg 20535  DivRingcdr 20695  LModclmod 20844  LVecclvec 21086  ℂ_fldccnfld 21341  PreHilcphl 21593  ℂModcclm 25017  toℂPreHilctcph 25122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-seq 13953  df-exp 14013  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-lvec 21087  df-cnfld 21342  df-phl 21595  df-clm 25018

This theorem is referenced by:  tcphcphlem3  25188  ipcau2  25189  tcphcphlem1  25190  tcphcphlem2  25191  tcphcph  25192