Theorem phclm 25514

Description: A pre-Hilbert space whose field of scalars is a restriction of the field of complex numbers is a subcomplex module. TODO: redundant hypotheses. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
phclm	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem phclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphcph.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllmod 21897	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		tcphcph.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
6		phllvec 21896	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
7	1, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		tcphcph.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
9	8	lvecdrng 21341	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
11	4, 5, 10	cphsubrglem 25459	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
12	11	simp1d 1160	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)))
13	11	simp3d 1162	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld))
14	8, 4	isclm 25346	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 = (ℂfld ↾s (Base‘𝐹)) ∧ (Base‘𝐹) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
15	3, 12, 13, 14	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3897  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  Scalarcsca 17392  SubRingcsubrg 20782  DivRingcdr 20941  LModclmod 21096  LVecclvec 21338  ℂ_fldccnfld 21639  PreHilcphl 21891  ℂModcclm 25344  toℂPreHilctcph 25449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-seq 14113  df-exp 14173  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-subrg 20783  df-drng 20943  df-lvec 21339  df-cnfld 21640  df-phl 21893  df-clm 25345

This theorem is used by:  tcphcphlem3  25515  ipcau2  25516  tcphcphlem1  25517  tcphcphlem2  25518  tcphcph  25519