Theorem obslbs 21690

Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obslbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obslbs	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21683	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	obsss 21684	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		obslbs.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 4, 5	ocvlsp 21636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
8	7	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
9	4, 2	obs2ocv 21687	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
10	8, 9	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = (Base‘𝑊))
11	10	eqeq2d 2746	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
12		obslbs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
13	4, 12	iscss 21643	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
15		phllvec 21589	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17		pssnel 4446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
19		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20		pssss 4073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
23	4	obselocv 21688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	25	obsne0 21685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27	19, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
28		nelsn 4642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
30		nelne1 3029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)})
31	30	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
33	24, 32	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
34		npss 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)))
35		phllmod 21590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
38	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
39	21, 38	sstrd 3969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
40	2, 5	lspssv 20940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
43	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
44	2, 4, 5	ocvlsp 21636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
45	43, 39, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
46	2, 4, 25	ocv1 21639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
48	45, 47	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
49	42, 48	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
50	41, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
51	34, 50	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
52	51	necon1ad 2949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)} → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
53	33, 52	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
54	53	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
55	54	exlimdv 1933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
56	18, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
57	56	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
58	57	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59		obslbs.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
60	2, 59, 5	islbs3 21116	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
62	60, 61	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊))))
63	62	baibd 539	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
64	16, 3, 58, 63	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
65	11, 14, 64	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927  {csn 4601  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928  LBasisclbs 21032  LVecclvec 21060  PreHilcphl 21584  ocvcocv 21620  ClSubSpccss 21621  OBasiscobs 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rhm 20432  df-drng 20691  df-staf 20799  df-srng 20800  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lmhm 20980  df-lbs 21033  df-lvec 21061  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-phl 21586  df-ocv 21623  df-css 21624  df-obs 21665

This theorem is referenced by: (None)