Theorem obslbs 21683

Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obslbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obslbs	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21676	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	obsss 21677	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		obslbs.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 4, 5	ocvlsp 21629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
8	7	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
9	4, 2	obs2ocv 21680	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
10	8, 9	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = (Base‘𝑊))
11	10	eqeq2d 2745	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
12		obslbs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
13	4, 12	iscss 21636	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
15		phllvec 21582	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17		pssnel 4421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
19		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20		pssss 4048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
23	4	obselocv 21681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
25		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	25	obsne0 21678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27	19, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
28		nelsn 4621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
30		nelne1 3027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)})
31	30	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
33	24, 32	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
34		npss 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)))
35		phllmod 21583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
38	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
39	21, 38	sstrd 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
40	2, 5	lspssv 20932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
43	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
44	2, 4, 5	ocvlsp 21629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
45	43, 39, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
46	2, 4, 25	ocv1 21632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
48	45, 47	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
49	42, 48	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
50	41, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
51	34, 50	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
52	51	necon1ad 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)} → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
53	33, 52	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
54	53	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
55	54	exlimdv 1934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
56	18, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
57	56	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
58	57	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59		obslbs.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
60	2, 59, 5	islbs3 21108	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
62	60, 61	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊))))
63	62	baibd 539	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
64	16, 3, 58, 63	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
65	11, 14, 64	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  {csn 4578  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  LModclmod 20809  LSpanclspn 20920  LBasisclbs 21024  LVecclvec 21052  PreHilcphl 21577  ocvcocv 21613  ClSubSpccss 21614  OBasiscobs 21655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-ghm 19140  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-rhm 20406  df-drng 20662  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lmhm 20972  df-lbs 21025  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-phl 21579  df-ocv 21616  df-css 21617  df-obs 21658

This theorem is referenced by: (None)