MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obslbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obslbs 20561
Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
obslbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obslbs (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 obsrcl 20554 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2795 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32obsss 20555 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4 eqid 2795 . . . . . . 7 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5 obslbs.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
62, 4, 5ocvlsp 20507 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
71, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
87fveq2d 6547 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
94, 2obs2ocv 20558 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
108, 9eqtrd 2831 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = (Base‘𝑊))
1110eqeq2d 2805 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
12 obslbs.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
134, 12iscss 20514 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
141, 13syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
15 phllvec 20460 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
161, 15syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17 pssnel 4338 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
19 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20 pssss 3997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
2120ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
234obselocv 20559 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
25 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2625obsne0 20556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
2719, 22, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
28 nelsn 4514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ≠ (0g𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
30 nelne1 3081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)})
3130expcom 414 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ {(0g𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3324, 32sylbird 261 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
34 npss 4012 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)))
35 phllmod 20461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
383ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
3921, 38sstrd 3903 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
402, 5lspssv 19450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42 fveq2 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
431ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
442, 4, 5ocvlsp 20507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
4543, 39, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
462, 4, 25ocv1 20510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4845, 47eqeq12d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
4942, 48syl5ib 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5041, 49embantd 59 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5134, 50syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5251necon1ad 3001 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)} → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5333, 52syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5453expimpd 454 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5554exlimdv 1911 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5618, 55mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
5756ex 413 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5857alrimiv 1905 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59 obslbs.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
602, 59, 5islbs3 19622 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61 3anan32 1090 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6260, 61syl6bb 288 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊))))
6362baibd 540 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6416, 3, 58, 63syl12anc 833 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6511, 14, 643bitr4rd 313 1 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wal 1520   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wne 2984  wss 3863  wpss 3864  {csn 4476  cfv 6230  Basecbs 16317  0gc0g 16547  LModclmod 19329  LSpanclspn 19438  LBasisclbs 19541  LVecclvec 19569  PreHilcphl 20455  ocvcocv 20491  ClSubSpccss 20492  OBasiscobs 20533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-0g 16549  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-ghm 18102  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-rnghom 19162  df-drng 19199  df-staf 19311  df-srng 19312  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-lmhm 19489  df-lbs 19542  df-lvec 19570  df-sra 19639  df-rgmod 19640  df-phl 20457  df-ocv 20494  df-css 20495  df-obs 20536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator