Theorem obslbs 20937

Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obslbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obslbs	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 20930	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	obsss 20931	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		obslbs.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 4, 5	ocvlsp 20881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
8	7	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
9	4, 2	obs2ocv 20934	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
10	8, 9	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = (Base‘𝑊))
11	10	eqeq2d 2749	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
12		obslbs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
13	4, 12	iscss 20888	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
15		phllvec 20834	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17		pssnel 4404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
19		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20		pssss 4030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵)
21	20	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
23	4	obselocv 20935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
25		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	25	obsne0 20932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27	19, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
28		nelsn 4601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
30		nelne1 3041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)})
31	30	expcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
33	24, 32	sylbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
34		npss 4045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)))
35		phllmod 20835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
38	3	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
39	21, 38	sstrd 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
40	2, 5	lspssv 20245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
43	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
44	2, 4, 5	ocvlsp 20881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
45	43, 39, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
46	2, 4, 25	ocv1 20884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
48	45, 47	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
49	42, 48	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
50	41, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
51	34, 50	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
52	51	necon1ad 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)} → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
53	33, 52	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
54	53	expimpd 454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
55	54	exlimdv 1936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
56	18, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
57	56	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
58	57	alrimiv 1930	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59		obslbs.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
60	2, 59, 5	islbs3 20417	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61		3anan32 1096	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
62	60, 61	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊))))
63	62	baibd 540	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
64	16, 3, 58, 63	syl12anc 834	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
65	11, 14, 64	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086  ∀wal 1537   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LBasisclbs 20336  LVecclvec 20364  PreHilcphl 20829  ocvcocv 20865  ClSubSpccss 20866  OBasiscobs 20909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lbs 20337  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831  df-ocv 20868  df-css 20869  df-obs 20912

This theorem is referenced by: (None)