MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obslbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obslbs 21768
Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
obslbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obslbs (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 obsrcl 21761 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32obsss 21762 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5 obslbs.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
62, 4, 5ocvlsp 21712 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
71, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
87fveq2d 6911 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
94, 2obs2ocv 21765 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
108, 9eqtrd 2775 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = (Base‘𝑊))
1110eqeq2d 2746 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
12 obslbs.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
134, 12iscss 21719 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
141, 13syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
15 phllvec 21665 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
161, 15syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17 pssnel 4477 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
19 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20 pssss 4108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
2120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
234obselocv 21766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
25 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2625obsne0 21763 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
2719, 22, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
28 nelsn 4671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ≠ (0g𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
30 nelne1 3037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)})
3130expcom 413 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ {(0g𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3324, 32sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
34 npss 4123 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)))
35 phllmod 21666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
383ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
3921, 38sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
402, 5lspssv 20999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
4137, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
431ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
442, 4, 5ocvlsp 21712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
4543, 39, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
462, 4, 25ocv1 21715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4845, 47eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
4942, 48imbitrid 244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5041, 49embantd 59 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5134, 50biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5251necon1ad 2955 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)} → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5333, 52syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5453expimpd 453 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5554exlimdv 1931 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5618, 55mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
5756ex 412 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5857alrimiv 1925 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59 obslbs.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
602, 59, 5islbs3 21175 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61 3anan32 1096 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6260, 61bitrdi 287 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊))))
6362baibd 539 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6416, 3, 58, 63syl12anc 837 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6511, 14, 643bitr4rd 312 1 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wal 1535   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  wpss 3964  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  0gc0g 17486  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  LBasisclbs 21091  LVecclvec 21119  PreHilcphl 21660  ocvcocv 21696  ClSubSpccss 21697  OBasiscobs 21740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-drng 20748  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-phl 21662  df-ocv 21699  df-css 21700  df-obs 21743
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator