MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obslbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obslbs 21657
Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
obslbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obslbs (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 obsrcl 21650 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32obsss 21651 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5 obslbs.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
62, 4, 5ocvlsp 21601 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
71, 3, 6syl2anc 583 . . . . 5 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
87fveq2d 6895 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
94, 2obs2ocv 21654 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
108, 9eqtrd 2768 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) = (Base‘𝑊))
1110eqeq2d 2739 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵))) ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
12 obslbs.c . . . 4 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
134, 12iscss 21608 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
141, 13syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝐵)))))
15 phllvec 21554 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
161, 15syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17 pssnel 4466 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
19 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20 pssss 4091 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐵𝑥𝐵)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
234obselocv 21655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
2419, 21, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦𝑥))
25 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2625obsne0 21652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
2719, 22, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
28 nelsn 4664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ≠ (0g𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)})
30 nelne1 3035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)})
3130expcom 413 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ {(0g𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
3324, 32sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)}))
34 npss 4106 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)))
35 phllmod 21555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
361, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
383ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
3921, 38sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
402, 5lspssv 20860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
4137, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
431ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
442, 4, 5ocvlsp 21601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
4543, 39, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
462, 4, 25ocv1 21604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g𝑊)})
4845, 47eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
4942, 48imbitrid 243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5041, 49embantd 59 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5134, 50biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g𝑊)}))
5251necon1ad 2953 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g𝑊)} → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5333, 52syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (¬ 𝑦𝑥 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5453expimpd 453 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5554exlimdv 1929 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5618, 55mpd 15 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
5756ex 412 . . . 4 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
5857alrimiv 1923 . . 3 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59 obslbs.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
602, 59, 5islbs3 21036 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61 3anan32 1095 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6260, 61bitrdi 287 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝐵𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊))))
6362baibd 539 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵 → (𝑁𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6416, 3, 58, 63syl12anc 836 . 2 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) = (Base‘𝑊)))
6511, 14, 643bitr4rd 312 1 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵𝐽 ↔ (𝑁𝐵) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085  wal 1532   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2936  wss 3945  wpss 3946  {csn 4624  cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  LModclmod 20736  LSpanclspn 20848  LBasisclbs 20952  LVecclvec 20980  PreHilcphl 21549  ocvcocv 21585  ClSubSpccss 21586  OBasiscobs 21629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-rhm 20404  df-drng 20619  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lmhm 20900  df-lbs 20953  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551  df-ocv 21588  df-css 21589  df-obs 21632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator