Theorem obslbs 21750

Description: An orthogonal basis is a linear basis iff the span of the basis elements is closed (which is usually not true). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obslbs.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
obslbs.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
obslbs.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obslbs	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem obslbs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21743	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	obsss 21744	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
5		obslbs.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	2, 4, 5	ocvlsp 21694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)) = ((ocv‘𝑊)‘𝐵))
8	7	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)))
9	4, 2	obs2ocv 21747	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝐵)) = (Base‘𝑊))
10	8, 9	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) = (Base‘𝑊))
11	10	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵))) ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
12		obslbs.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
13	4, 12	iscss 21701	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
14	1, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ (𝑁‘𝐵) = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝐵)))))
15		phllvec 21647	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LVec)
17		pssnel 4471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
19		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
20		pssss 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ⊊ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐵)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
23	4	obselocv 21748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
26	25	obsne0 21745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27	19, 22, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
28		nelsn 4666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ≠ (0g‘𝑊) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)})
30		nelne1 3039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∧ ¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)}) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)})
31	30	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ {(0g‘𝑊)} → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
33	24, 32	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)}))
34		npss 4113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) ↔ ((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)))
35		phllmod 21648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ LMod)
37	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
38	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
39	21, 38	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
40	2, 5	lspssv 20981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
41	37, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊))
42		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)))
43	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
44	2, 4, 5	ocvlsp 21694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
45	43, 39, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘𝑥))
46	2, 4, 25	ocv1 21697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) = {(0g‘𝑊)})
48	45, 47	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘(𝑁‘𝑥)) = ((ocv‘𝑊)‘(Base‘𝑊)) ↔ ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
49	42, 48	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
50	41, 49	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁‘𝑥) ⊆ (Base‘𝑊) → (𝑁‘𝑥) = (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
51	34, 50	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) = {(0g‘𝑊)}))
52	51	necon1ad 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((ocv‘𝑊)‘𝑥) ≠ {(0g‘𝑊)} → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
53	33, 52	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
54	53	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
55	54	exlimdv 1933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
56	18, 55	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))
57	56	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
58	57	alrimiv 1927	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))
59		obslbs.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
60	2, 59, 5	islbs3 21157	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))))
61		3anan32 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
62	60, 61	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ ((𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊))))
63	62	baibd 539	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥(𝑥 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑥) ⊊ (Base‘𝑊)))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
64	16, 3, 58, 63	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) = (Base‘𝑊)))
65	11, 14, 64	3bitr4rd 312	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑁‘𝐵) ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LBasisclbs 21073  LVecclvec 21101  PreHilcphl 21642  ocvcocv 21678  ClSubSpccss 21679  OBasiscobs 21722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rhm 20472  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644  df-ocv 21681  df-css 21682  df-obs 21725

This theorem is referenced by: (None)