MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau2 24131
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space built from a pre-Hilbert space with certain properties. The main theorem is ipcau 24135. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipcau2.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ipcau2.c 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
ipcau2.3 (𝜑𝑋𝑉)
ipcau2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipcau2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 7221 . . . . . . 7 (𝑌 = (0g𝑊) → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋 , (0g𝑊)))
21oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝑌 = (0g𝑊) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)))
32breq1d 5063 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑊) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)) ↔ ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
4 tcphval.n . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5 tcphcph.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 tcphcph.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
8 tcphcph.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
94, 5, 6, 7, 8phclm 24129 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
10 tcphcph.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐹)
116, 10clmsscn 23976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
15 tcphcph.h . . . . . . . . . . . . 13 , = (·𝑖𝑊)
166, 15, 5, 10ipcl 20595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
177, 13, 14, 16syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
1812, 17sseldd 3902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
1918adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
206, 15, 5, 10ipcl 20595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
217, 14, 13, 20syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
2212, 21sseldd 3902 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
2322adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
244, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2514, 24mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2625recnd 10861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
2726adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
286clm0 23969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
3029eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ (𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹)))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐹) = (0g𝐹)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 20600 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉) → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
347, 14, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3530, 34bitrd 282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3635necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) ≠ 0 ↔ 𝑌 ≠ (0g𝑊)))
3736biimpar 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ≠ 0)
3819, 23, 27, 37divassd 11643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))))
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
4039oveq2i 7224 . . . . . . . 8 ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
4138, 40eqtr4di 2796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
42 oveq12 7222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∧ 𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4342anidms 570 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4443breq2d 5065 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))))
45 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4645ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4746adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
48 phllmod 20592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5049adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5113adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋𝑉)
5239fveq2i 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘𝐶) = (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
5323, 27, 37cjdivd 14786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
5452, 53syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
558fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
5610fvexi 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
58 cnfldcj 20370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
5957, 58ressstarv 16849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
6056, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾))
6155, 60eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = ∗)
6261fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (∗‘(𝑋 , 𝑌)))
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
646, 15, 5, 63ipcj 20596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
657, 13, 14, 64syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6662, 65eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6867fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (∗‘(𝑌 , 𝑋)))
6919cjcjd 14762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (𝑋 , 𝑌))
7068, 69eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑌))
7125adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
7271cjred 14789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑌))
7370, 72oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)))
7419, 27, 37divrecd 11611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
7554, 73, 743eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
769adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7717adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
786, 15, 5, 10ipcl 20595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
797, 14, 14, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
8079adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
818adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
82 phllvec 20591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
837, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
846lvecdrng 20142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
8685adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 ∈ DivRing)
8710, 81, 86cphreccllem 24075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ≠ 0) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
8880, 37, 87mpd3an23 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
896, 10clmmcl 23982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9076, 77, 88, 89syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9175, 90eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) ∈ 𝐾)
9214adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑌𝑉)
93 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
945, 6, 93, 10lmodvscl 19916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
9550, 91, 92, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑊) = (-g𝑊)
975, 96lmodvsubcl 19944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9850, 51, 95, 97syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9944, 47, 98rspcdva 3539 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
100 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐹) = (-g𝐹)
101 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1027adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ PreHil)
1036, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95ip2subdi 20606 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))))
10481fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
105 cnfldadd 20368 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g‘ℂfld)
10657, 105ressplusg 16834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
10756, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(ℂflds 𝐾))
108104, 107eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = + )
109 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1116, 15, 5, 10, 93, 110ipass 20607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
112102, 91, 92, 95, 111syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
11381fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
114 cnfldmul 20369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (.r‘ℂfld)
11557, 114ressmulr 16848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
11656, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
117113, 116eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = · )
118 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = (∗‘𝐶))
11923, 27, 37divrecd 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12039, 119syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1226, 10clmmcl 23982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
12376, 121, 88, 122syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
124120, 123eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶𝐾)
1256, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 20609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑌𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
126102, 92, 92, 124, 125syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
127117oveqd 7230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶))
12839oveq2i 7224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
12923, 27, 37divcan2d 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = (𝑌 , 𝑋))
130128, 129syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
131127, 130eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
13261adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (*𝑟𝐹) = ∗)
133132fveq1d 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((*𝑟𝐹)‘𝐶) = (∗‘𝐶))
134133oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))
135134oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
136126, 131, 1353eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
137117, 118, 136oveq123d 7234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
138112, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
139108, 109, 138oveq123d 7234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
1406, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 20609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
141102, 51, 92, 124, 140syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
142117oveqd 7230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
143134oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
144141, 142, 1433eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
1456, 15, 5, 10, 93, 110ipass 20607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
146102, 91, 92, 51, 145syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
147117oveqd 7230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
148146, 147eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
149108, 144, 148oveq123d 7234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋)) = (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
150139, 149oveq12d 7231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1516, 15, 5, 10ipcl 20595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152102, 51, 51, 151syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1536, 10clmmcl 23982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
15476, 91, 121, 153syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
1556, 10clmacl 23981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
15676, 152, 154, 155syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1576, 10clmmcl 23982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾𝐶𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
15876, 77, 124, 157syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
1596, 10clmacl 23981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
16076, 158, 154, 159syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1616, 10clmsub 23977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
16276, 156, 160, 161syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1634, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
16413, 163mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165164recnd 10861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
166165adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16718absvalsqd 15006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))))
16866oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
169167, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
17018abscld 15000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
171170resqcld 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
172169, 171eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
173172adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
174173, 71, 37redivcld 11660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
17541, 174eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℝ)
176175recnd 10861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℂ)
17776, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
178177, 154sseldd 3902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
179166, 176, 178pnpcan2d 11227 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
180162, 179eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
181103, 150, 1803eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
18299, 181breqtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
183164adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184183, 175subge0d 11422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋)))
185182, 184mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋))
18641, 185eqbrtrd 5075 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋))
187 oveq12 7222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
188187anidms 570 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
189188breq2d 5065 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
190189, 46, 14rspcdva 3539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
191190adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
19271, 191, 37ne0gt0d 10969 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 < (𝑌 , 𝑌))
193 ledivmul2 11711 . . . . . . 7 ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 , 𝑌))) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
194173, 183, 71, 192, 193syl112anc 1376 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
195186, 194mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
1966, 15, 5, 31, 32ip0r 20599 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
1977, 13, 196syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
198197, 29eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = 0)
199198oveq1d 7228 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = (0 · (𝑌 , 𝑋)))
20022mul02d 11030 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
201199, 200eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
202 oveq12 7222 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
203202anidms 570 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
204203breq2d 5065 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
205204, 46, 13rspcdva 3539 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
206164, 25, 205, 190mulge0d 11409 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
207201, 206eqbrtrd 5075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
2083, 195, 207pm2.61ne 3027 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
209164, 205resqrtcld 14981 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210209recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
21125, 190resqrtcld 14981 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
212211recnd 10861 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
213210, 212sqmuld 13728 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
214165sqsqrtd 15003 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
21526sqsqrtd 15003 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
216214, 215oveq12d 7231 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
217213, 216eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
218208, 169, 2173brtr4d 5085 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
219209, 211remulcld 10863 . . . 4 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
22018absge0d 15008 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
221164, 205sqrtge0d 14984 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
22225, 190sqrtge0d 14984 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
223209, 211, 221, 222mulge0d 11409 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
224170, 219, 220, 223le2sqd 13826 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
225218, 224mpbird 260 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
226 lmodgrp 19906 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
22749, 226syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
228 ipcau2.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
2294, 228, 5, 15tcphnmval 24126 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
230227, 13, 229syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
2314, 228, 5, 15tcphnmval 24126 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
232227, 14, 231syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
233230, 232oveq12d 7231 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
234225, 233breqtrrd 5081 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  cexp 13635  ccj 14659  csqrt 14796  abscabs 14797  Basecbs 16760  s cress 16784  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  *𝑟cstv 16804  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  ·𝑖cip 16807  0gc0g 16944  Grpcgrp 18365  -gcsg 18367  DivRingcdr 19767  LModclmod 19899  LVecclvec 20139  fldccnfld 20363  PreHilcphl 20586  normcnm 23474  ℂModcclm 23959  toℂPreHilctcph 24064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-staf 19881  df-srng 19882  df-lmod 19901  df-lmhm 20059  df-lvec 20140  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-cnfld 20364  df-phl 20588  df-nm 23480  df-tng 23482  df-clm 23960  df-tcph 24066
This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  24132  ipcau  24135
  Copyright terms: Public domain W3C validator