Theorem ipcau2 25226

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space built from a pre-Hilbert space with certain properties. The main theorem is ipcau 25230. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
tcphcph.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipcau2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ipcau2.c	⊢ 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
ipcau2.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcau2.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipcau2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem ipcau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋 , (0g‘𝑊)))
2	1	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)))
3	2	breq1d 5089	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)) ↔ ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
4		tcphval.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		tcphcph.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		tcphcph.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		tcphcph.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
8		tcphcph.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
9	4, 5, 6, 7, 8	phclm 25224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
10		tcphcph.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	6, 10	clmsscn 25071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
13		ipcau2.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		ipcau2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		tcphcph.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
16	6, 15, 5, 10	ipcl 21615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
17	7, 13, 14, 16	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
18	12, 17	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
20	6, 15, 5, 10	ipcl 21615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
21	7, 14, 13, 20	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
22	12, 21	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
24	4, 5, 6, 7, 8, 15	tcphcphlem3 25225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
25	14, 24	mpdan 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
28	6	clm0 25064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
29	9, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐹))
30	29	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ (𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹)))
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
32		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
33	6, 15, 5, 31, 32	ipeq0 21620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	7, 14, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
35	30, 34	bitrd 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
36	35	necon3bid 2979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) ≠ 0 ↔ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
37	36	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ≠ 0)
38	19, 23, 27, 37	divassd 11964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))))
39		ipcau2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
40	39	oveq2i 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
41	38, 40	eqtr4di 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
42		oveq12 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∧ 𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
43	42	anidms 571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
44	43	breq2d 5091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))))
45		tcphcph.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
46	45	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
48		phllmod 21612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
51	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
52	39	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∗‘𝐶) = (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
53	23, 27, 37	cjdivd 15183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
54	52, 53	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
55	8	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
56	10	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐾 ∈ V
57		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
58		cnfldcj 21363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
59	57, 58	ressstarv 17269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
60	56, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
61	55, 60	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
62	61	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (∗‘(𝑋 , 𝑌)))
63		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
64	6, 15, 5, 63	ipcj 21616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
65	7, 13, 14, 64	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
66	62, 65	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
68	67	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (∗‘(𝑌 , 𝑋)))
69	19	cjcjd 15159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (𝑋 , 𝑌))
70	68, 69	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑌))
71	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
72	71	cjred 15186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑌))
73	70, 72	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)))
74	19, 27, 37	divrecd 11932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
75	54, 73, 74	3eqtrd 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
76	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
77	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
78	6, 15, 5, 10	ipcl 21615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
79	7, 14, 14, 78	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
81	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
82		phllvec 21611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
83	7, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
84	6	lvecdrng 21102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐹 ∈ DivRing)
87	10, 81, 86	cphreccllem 25170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ≠ 0) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
88	80, 37, 87	mpd3an23 1471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
89	6, 10	clmmcl 25077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
90	76, 77, 88, 89	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
91	75, 90	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) ∈ 𝐾)
92	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
93		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
94	5, 6, 93, 10	lmodvscl 20875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
95	50, 91, 92, 94	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
96		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
97	5, 96	lmodvsubcl 20904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
98	50, 51, 95, 97	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
99	44, 47, 98	rspcdva 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
100		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
101		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
102	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ PreHil)
103	6, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95	ip2subdi 21626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))(-g‘𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋))))
104	81	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (+g‘𝐹) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
105		cnfldadd 21360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	57, 105	ressplusg 17252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
107	56, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾))
108	104, 107	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (+g‘𝐹) = + )
109		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
111	6, 15, 5, 10, 93, 110	ipass 21627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
112	102, 91, 92, 95, 111	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
113	81	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
114		cnfldmul 21362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
115	57, 114	ressmulr 17268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
116	56, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
117	113, 116	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (.r‘𝐹) = · )
118		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = (∗‘𝐶))
119	23, 27, 37	divrecd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
120	39, 119	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
121	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
122	6, 10	clmmcl 25077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
123	76, 121, 88, 122	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
124	120, 123	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
125	6, 15, 5, 10, 93, 110, 63	ipassr2 21629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
126	102, 92, 92, 124, 125	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
127	117	oveqd 7380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶))
128	39	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
129	23, 27, 37	divcan2d 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = (𝑌 , 𝑋))
130	128, 129	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
131	127, 130	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
132	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
133	132	fveq1d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐶) = (∗‘𝐶))
134	133	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))
135	134	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
136	126, 131, 135	3eqtr3rd 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
137	117, 118, 136	oveq123d 7384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
138	112, 137	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
139	108, 109, 138	oveq123d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
140	6, 15, 5, 10, 93, 110, 63	ipassr2 21629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
141	102, 51, 92, 124, 140	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
142	117	oveqd 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
143	134	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
144	141, 142, 143	3eqtr3rd 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
145	6, 15, 5, 10, 93, 110	ipass 21627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
146	102, 91, 92, 51, 145	syl13anc 1380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
147	117	oveqd 7380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
148	146, 147	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
149	108, 144, 148	oveq123d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋)) = (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
150	139, 149	oveq12d 7381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))(-g‘𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
151	6, 15, 5, 10	ipcl 21615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152	102, 51, 51, 151	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
153	6, 10	clmmcl 25077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
154	76, 91, 121, 153	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
155	6, 10	clmacl 25076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
156	76, 152, 154, 155	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
157	6, 10	clmmcl 25077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
158	76, 77, 124, 157	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
159	6, 10	clmacl 25076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
160	76, 158, 154, 159	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
161	6, 10	clmsub 25072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
162	76, 156, 160, 161	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
163	4, 5, 6, 7, 8, 15	tcphcphlem3 25225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
164	13, 163	mpdan 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165	164	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
166	165	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
167	18	absvalsqd 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))))
168	66	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
169	167, 168	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
170	18	abscld 15399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
171	170	resqcld 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
172	169, 171	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
174	173, 71, 37	redivcld 11981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
175	41, 174	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℝ)
176	175	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℂ)
177	76, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
178	177, 154	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
179	166, 176, 178	pnpcan2d 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
180	162, 179	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
181	103, 150, 180	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
182	99, 181	breqtrd 5105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
183	164	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184	183, 175	subge0d 11738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋)))
185	182, 184	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋))
186	41, 185	eqbrtrd 5101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋))
187		oveq12 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
188	187	anidms 571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
189	188	breq2d 5091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
190	189, 46, 14	rspcdva 3568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
191	190	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
192	71, 191, 37	ne0gt0d 11281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 < (𝑌 , 𝑌))
193		ledivmul2 12033	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 , 𝑌))) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
194	173, 183, 71, 192, 193	syl112anc 1382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
195	186, 194	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
196	6, 15, 5, 31, 32	ip0r 21619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = (0g‘𝐹))
197	7, 13, 196	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = (0g‘𝐹))
198	197, 29	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = 0)
199	198	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = (0 · (𝑌 , 𝑋)))
200	22	mul02d 11342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
201	199, 200	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
202		oveq12 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
203	202	anidms 571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
204	203	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
205	204, 46, 13	rspcdva 3568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
206	164, 25, 205, 190	mulge0d 11725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
207	201, 206	eqbrtrd 5101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
208	3, 195, 207	pm2.61ne 3020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
209	164, 205	resqrtcld 15378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210	209	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
211	25, 190	resqrtcld 15378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
212	211	recnd 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
213	210, 212	sqmuld 14118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
214	165	sqsqrtd 15402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
215	26	sqsqrtd 15402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
216	214, 215	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
217	213, 216	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
218	208, 169, 217	3brtr4d 5111	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
219	209, 211	remulcld 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
220	18	absge0d 15407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
221	164, 205	sqrtge0d 15381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
222	25, 190	sqrtge0d 15381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
223	209, 211, 221, 222	mulge0d 11725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
224	170, 219, 220, 223	le2sqd 14217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
225	218, 224	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
226		lmodgrp 20864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
227	49, 226	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
228		ipcau2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
229	4, 228, 5, 15	tcphnmval 25221	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
230	227, 13, 229	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
231	4, 228, 5, 15	tcphnmval 25221	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
232	227, 14, 231	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
233	230, 232	oveq12d 7381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
234	225, 233	breqtrrd 5107	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  2c2 12234  ↑cexp 14021  ∗ccj 15056  √csqrt 15193  abscabs 15194  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  *_𝑟cstv 17220  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  ·_𝑖cip 17223  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  -_gcsg 18909  DivRingcdr 20708  LModclmod 20857  LVecclvec 21099  ℂ_fldccnfld 21354  PreHilcphl 21606  normcnm 24566  ℂModcclm 25054  toℂPreHilctcph 25159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20859  df-lmhm 21019  df-lvec 21100  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-cnfld 21355  df-phl 21608  df-nm 24572  df-tng 24574  df-clm 25055  df-tcph 25161

This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  25227  ipcau  25230