MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau2 24598
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space built from a pre-Hilbert space with certain properties. The main theorem is ipcau 24602. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipcau2.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ipcau2.c 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
ipcau2.3 (𝜑𝑋𝑉)
ipcau2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipcau2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑌 = (0g𝑊) → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋 , (0g𝑊)))
21oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑌 = (0g𝑊) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)))
32breq1d 5115 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑊) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)) ↔ ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
4 tcphval.n . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5 tcphcph.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 tcphcph.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
8 tcphcph.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
94, 5, 6, 7, 8phclm 24596 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
10 tcphcph.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐹)
116, 10clmsscn 24442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
15 tcphcph.h . . . . . . . . . . . . 13 , = (·𝑖𝑊)
166, 15, 5, 10ipcl 21037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
177, 13, 14, 16syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
1812, 17sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
206, 15, 5, 10ipcl 21037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
217, 14, 13, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
2212, 21sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
244, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2514, 24mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2625recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
286clm0 24435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
3029eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ (𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹)))
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐹) = (0g𝐹)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 21042 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉) → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
347, 14, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3530, 34bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3635necon3bid 2988 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) ≠ 0 ↔ 𝑌 ≠ (0g𝑊)))
3736biimpar 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ≠ 0)
3819, 23, 27, 37divassd 11966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))))
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
4039oveq2i 7368 . . . . . . . 8 ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
4138, 40eqtr4di 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
42 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∧ 𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4342anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4443breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))))
45 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4645ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
48 phllmod 21034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5113adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋𝑉)
5239fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘𝐶) = (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
5323, 27, 37cjdivd 15108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
5452, 53eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
558fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
5610fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
57 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
58 cnfldcj 20803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
5957, 58ressstarv 17189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
6056, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾))
6155, 60eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = ∗)
6261fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (∗‘(𝑋 , 𝑌)))
63 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
646, 15, 5, 63ipcj 21038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
657, 13, 14, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6662, 65eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6867fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (∗‘(𝑌 , 𝑋)))
6919cjcjd 15084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (𝑋 , 𝑌))
7068, 69eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑌))
7125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
7271cjred 15111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑌))
7370, 72oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)))
7419, 27, 37divrecd 11934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
7554, 73, 743eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
769adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7717adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
786, 15, 5, 10ipcl 21037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
797, 14, 14, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
8079adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
818adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
82 phllvec 21033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
837, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
846lvecdrng 20566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 ∈ DivRing)
8710, 81, 86cphreccllem 24542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ≠ 0) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
8880, 37, 87mpd3an23 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
896, 10clmmcl 24448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9076, 77, 88, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9175, 90eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) ∈ 𝐾)
9214adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑌𝑉)
93 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
945, 6, 93, 10lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
9550, 91, 92, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑊) = (-g𝑊)
975, 96lmodvsubcl 20367 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9850, 51, 95, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9944, 47, 98rspcdva 3582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
100 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐹) = (-g𝐹)
101 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1027adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ PreHil)
1036, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95ip2subdi 21048 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))))
10481fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
105 cnfldadd 20801 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g‘ℂfld)
10657, 105ressplusg 17171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
10756, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(ℂflds 𝐾))
108104, 107eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = + )
109 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1116, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
112102, 91, 92, 95, 111syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
11381fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
114 cnfldmul 20802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (.r‘ℂfld)
11557, 114ressmulr 17188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
11656, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
117113, 116eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = · )
118 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = (∗‘𝐶))
11923, 27, 37divrecd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12039, 119eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1226, 10clmmcl 24448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
12376, 121, 88, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
124120, 123eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶𝐾)
1256, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑌𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
126102, 92, 92, 124, 125syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
127117oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶))
12839oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
12923, 27, 37divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = (𝑌 , 𝑋))
130128, 129eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
131127, 130eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
13261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (*𝑟𝐹) = ∗)
133132fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((*𝑟𝐹)‘𝐶) = (∗‘𝐶))
134133oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))
135134oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
136126, 131, 1353eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
137117, 118, 136oveq123d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
138112, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
139108, 109, 138oveq123d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
1406, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
141102, 51, 92, 124, 140syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
142117oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
143134oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
144141, 142, 1433eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
1456, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
146102, 91, 92, 51, 145syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
147117oveqd 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
148146, 147eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
149108, 144, 148oveq123d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋)) = (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
150139, 149oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1516, 15, 5, 10ipcl 21037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152102, 51, 51, 151syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1536, 10clmmcl 24448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
15476, 91, 121, 153syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
1556, 10clmacl 24447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
15676, 152, 154, 155syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1576, 10clmmcl 24448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾𝐶𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
15876, 77, 124, 157syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
1596, 10clmacl 24447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
16076, 158, 154, 159syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1616, 10clmsub 24443 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
16276, 156, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1634, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
16413, 163mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165164recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16718absvalsqd 15327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))))
16866oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
169167, 168eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
17018abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
171170resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
172169, 171eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
174173, 71, 37redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
17541, 174eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℝ)
176175recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℂ)
17776, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
178177, 154sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
179166, 176, 178pnpcan2d 11550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
180162, 179eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
181103, 150, 1803eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
18299, 181breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
183164adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184183, 175subge0d 11745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋)))
185182, 184mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋))
18641, 185eqbrtrd 5127 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋))
187 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
188187anidms 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
189188breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
190189, 46, 14rspcdva 3582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
191190adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
19271, 191, 37ne0gt0d 11292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 < (𝑌 , 𝑌))
193 ledivmul2 12034 . . . . . . 7 ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 , 𝑌))) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
194173, 183, 71, 192, 193syl112anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
195186, 194mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
1966, 15, 5, 31, 32ip0r 21041 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
1977, 13, 196syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
198197, 29eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = 0)
199198oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = (0 · (𝑌 , 𝑋)))
20022mul02d 11353 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
201199, 200eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
202 oveq12 7366 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
203202anidms 567 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
204203breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
205204, 46, 13rspcdva 3582 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
206164, 25, 205, 190mulge0d 11732 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
207201, 206eqbrtrd 5127 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
2083, 195, 207pm2.61ne 3030 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
209164, 205resqrtcld 15302 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210209recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
21125, 190resqrtcld 15302 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
212211recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
213210, 212sqmuld 14063 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
214165sqsqrtd 15324 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
21526sqsqrtd 15324 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
216214, 215oveq12d 7375 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
217213, 216eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
218208, 169, 2173brtr4d 5137 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
219209, 211remulcld 11185 . . . 4 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
22018absge0d 15329 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
221164, 205sqrtge0d 15305 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
22225, 190sqrtge0d 15305 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
223209, 211, 221, 222mulge0d 11732 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
224170, 219, 220, 223le2sqd 14160 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
225218, 224mpbird 256 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
226 lmodgrp 20329 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
22749, 226syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
228 ipcau2.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
2294, 228, 5, 15tcphnmval 24593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
230227, 13, 229syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
2314, 228, 5, 15tcphnmval 24593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
232227, 14, 231syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
233230, 232oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
234225, 233breqtrrd 5133 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  cexp 13967  ccj 14981  csqrt 15118  abscabs 15119  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  *𝑟cstv 17135  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  ·𝑖cip 17138  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  fldccnfld 20796  PreHilcphl 21028  normcnm 23932  ℂModcclm 24425  toℂPreHilctcph 24531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-nm 23938  df-tng 23940  df-clm 24426  df-tcph 24533
This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  24599  ipcau  24602
  Copyright terms: Public domain W3C validator