MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau2 25268
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space built from a pre-Hilbert space with certain properties. The main theorem is ipcau 25272. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tcphcph.h , = (·𝑖𝑊)
tcphcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipcau2.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ipcau2.c 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
ipcau2.3 (𝜑𝑋𝑉)
ipcau2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipcau2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑌 = (0g𝑊) → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋 , (0g𝑊)))
21oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑌 = (0g𝑊) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)))
32breq1d 5153 . . . . 5 (𝑌 = (0g𝑊) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)) ↔ ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
4 tcphval.n . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5 tcphcph.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 tcphcph.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 tcphcph.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
8 tcphcph.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
94, 5, 6, 7, 8phclm 25266 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
10 tcphcph.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐹)
116, 10clmsscn 25112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
15 tcphcph.h . . . . . . . . . . . . 13 , = (·𝑖𝑊)
166, 15, 5, 10ipcl 21651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
177, 13, 14, 16syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
1812, 17sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
206, 15, 5, 10ipcl 21651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
217, 14, 13, 20syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
2212, 21sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
244, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 25267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2514, 24mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
2625recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
286clm0 25105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g𝐹))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 = (0g𝐹))
3029eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ (𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹)))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐹) = (0g𝐹)
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑊) = (0g𝑊)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 21656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉) → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
347, 14, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = (0g𝐹) ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3530, 34bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = (0g𝑊)))
3635necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) ≠ 0 ↔ 𝑌 ≠ (0g𝑊)))
3736biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ≠ 0)
3819, 23, 27, 37divassd 12078 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))))
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
4039oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
4138, 40eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
42 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∧ 𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4342anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
4443breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))))
45 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4645ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
48 phllmod 21648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
5113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑋𝑉)
5239fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘𝐶) = (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
5323, 27, 37cjdivd 15262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
5452, 53eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
558fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
5610fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
58 cnfldcj 21373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
5957, 58ressstarv 17352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾)))
6056, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∗ = (*𝑟‘(ℂflds 𝐾))
6155, 60eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (*𝑟𝐹) = ∗)
6261fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (∗‘(𝑋 , 𝑌)))
63 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
646, 15, 5, 63ipcj 21652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
657, 13, 14, 64syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((*𝑟𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6662, 65eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
6867fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (∗‘(𝑌 , 𝑋)))
6919cjcjd 15238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (𝑋 , 𝑌))
7068, 69eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑌))
7125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
7271cjred 15265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑌))
7370, 72oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)))
7419, 27, 37divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
7554, 73, 743eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
769adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
7717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
786, 15, 5, 10ipcl 21651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
797, 14, 14, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
818adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
82 phllvec 21647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
837, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
846lvecdrng 21104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐹 ∈ DivRing)
8710, 81, 86cphreccllem 25212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ≠ 0) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
8880, 37, 87mpd3an23 1465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
896, 10clmmcl 25118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9076, 77, 88, 89syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
9175, 90eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) ∈ 𝐾)
9214adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑌𝑉)
93 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
945, 6, 93, 10lmodvscl 20876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
9550, 91, 92, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑊) = (-g𝑊)
975, 96lmodvsubcl 20905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9850, 51, 95, 97syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
9944, 47, 98rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
100 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐹) = (-g𝐹)
101 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1027adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ PreHil)
1036, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95ip2subdi 21662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))))
10481fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
105 cnfldadd 21370 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+g‘ℂfld)
10657, 105ressplusg 17334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ V → + = (+g‘(ℂflds 𝐾)))
10756, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g‘(ℂflds 𝐾))
108104, 107eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (+g𝐹) = + )
109 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝐹) = (.r𝐹)
1116, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
112102, 91, 92, 95, 111syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))))
11381fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
114 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 · = (.r‘ℂfld)
11557, 114ressmulr 17351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
11656, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
117113, 116eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (.r𝐹) = · )
118 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (∗‘𝐶) = (∗‘𝐶))
11923, 27, 37divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12039, 119eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
12121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1226, 10clmmcl 25118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
12376, 121, 88, 122syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
124120, 123eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐶𝐾)
1256, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑌𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
126102, 92, 92, 124, 125syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
127117oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶))
12839oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
12923, 27, 37divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = (𝑌 , 𝑋))
130128, 129eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
131127, 130eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
13261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (*𝑟𝐹) = ∗)
133132fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((*𝑟𝐹)‘𝐶) = (∗‘𝐶))
134133oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))
135134oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
136126, 131, 1353eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
137117, 118, 136oveq123d 7452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
138112, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
139108, 109, 138oveq123d 7452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
1406, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21665 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝐶𝐾)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
141102, 51, 92, 124, 140syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
142117oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r𝐹)𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
143134oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , (((*𝑟𝐹)‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))
144141, 142, 1433eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
1456, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
146102, 91, 92, 51, 145syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
147117oveqd 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r𝐹)(𝑌 , 𝑋)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
148146, 147eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
149108, 144, 148oveq123d 7452 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋)) = (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
150139, 149oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋)(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)))(-g𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))(+g𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1516, 15, 5, 10ipcl 21651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152102, 51, 51, 151syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1536, 10clmmcl 25118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
15476, 91, 121, 153syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
1556, 10clmacl 25117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
15676, 152, 154, 155syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1576, 10clmmcl 25118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾𝐶𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
15876, 77, 124, 157syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
1596, 10clmacl 25117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
16076, 158, 154, 159syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1616, 10clmsub 25113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
16276, 156, 160, 161syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
1634, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 25267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑋𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
16413, 163mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165164recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
16718absvalsqd 15481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))))
16866oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
169167, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
17018abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
171170resqcld 14165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
172169, 171eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
173172adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
174173, 71, 37redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
17541, 174eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℝ)
176175recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℂ)
17776, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
178177, 154sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
179166, 176, 178pnpcan2d 11658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
180162, 179eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
181103, 150, 1803eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
18299, 181breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
183164adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184183, 175subge0d 11853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋)))
185182, 184mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋))
18641, 185eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋))
187 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
188187anidms 566 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
189188breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
190189, 46, 14rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
191190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
19271, 191, 37ne0gt0d 11398 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → 0 < (𝑌 , 𝑌))
193 ledivmul2 12147 . . . . . . 7 ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 , 𝑌))) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
194173, 183, 71, 192, 193syl112anc 1376 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
195186, 194mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ≠ (0g𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
1966, 15, 5, 31, 32ip0r 21655 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
1977, 13, 196syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = (0g𝐹))
198197, 29eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 , (0g𝑊)) = 0)
199198oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = (0 · (𝑌 , 𝑋)))
20022mul02d 11459 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
201199, 200eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
202 oveq12 7440 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
203202anidms 566 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
204203breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
205204, 46, 13rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
206164, 25, 205, 190mulge0d 11840 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
207201, 206eqbrtrd 5165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 , (0g𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
2083, 195, 207pm2.61ne 3027 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
209164, 205resqrtcld 15456 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210209recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
21125, 190resqrtcld 15456 . . . . . . 7 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
212211recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
213210, 212sqmuld 14198 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
214165sqsqrtd 15478 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
21526sqsqrtd 15478 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
216214, 215oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
217213, 216eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
218208, 169, 2173brtr4d 5175 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
219209, 211remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
22018absge0d 15483 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
221164, 205sqrtge0d 15459 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
22225, 190sqrtge0d 15459 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
223209, 211, 221, 222mulge0d 11840 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
224170, 219, 220, 223le2sqd 14296 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
225218, 224mpbird 257 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
226 lmodgrp 20865 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
22749, 226syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
228 ipcau2.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
2294, 228, 5, 15tcphnmval 25263 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
230227, 13, 229syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
2314, 228, 5, 15tcphnmval 25263 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
232227, 14, 231syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
233230, 232oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
234225, 233breqtrrd 5171 1 (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁𝑋) · (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cexp 14102  ccj 15135  csqrt 15272  abscabs 15273  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  *𝑟cstv 17299  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  fldccnfld 21364  PreHilcphl 21642  normcnm 24589  ℂModcclm 25095  toℂPreHilctcph 25201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-nm 24595  df-tng 24597  df-clm 25096  df-tcph 25203
This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  25269  ipcau  25272
  Copyright terms: Public domain W3C validator