MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcau2 24621
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space built from a pre-Hilbert space with certain properties. The main theorem is ipcau 24625. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tcphval.n 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
tcphcph.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
tcphcph.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
tcphcph.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
tcphcph.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
tcphcph.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
tcphcph.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
tcphcph.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
tcphcph.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipcau2.n 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
ipcau2.c 𝐢 = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
ipcau2.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcau2.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipcau2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
Distinct variable groups:   π‘₯, ,   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . . . 7 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑋 , π‘Œ) = (𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)))
21oveq1d 7376 . . . . . 6 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) = ((𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
32breq1d 5119 . . . . 5 (π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)) ↔ ((𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
4 tcphval.n . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (toβ„‚PreHilβ€˜π‘Š)
5 tcphcph.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 tcphcph.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 tcphcph.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
8 tcphcph.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
94, 5, 6, 7, 8phclm 24619 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
10 tcphcph.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
116, 10clmsscn 24465 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
15 tcphcph.h . . . . . . . . . . . . 13 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
166, 15, 5, 10ipcl 21060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
177, 13, 14, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
1812, 17sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
1918adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ β„‚)
206, 15, 5, 10ipcl 21060 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
217, 14, 13, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
2212, 21sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
2322adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ β„‚)
244, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24620 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2514, 24mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
2625recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ β„‚)
286clm0 24458 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
299, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜πΉ))
3029eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) = 0 ↔ (π‘Œ , π‘Œ) = (0gβ€˜πΉ)))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 21065 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) = (0gβ€˜πΉ) ↔ π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š)))
347, 14, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) = (0gβ€˜πΉ) ↔ π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š)))
3530, 34bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) = 0 ↔ π‘Œ = (0gβ€˜π‘Š)))
3635necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) β‰  0 ↔ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)))
3736biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) β‰  0)
3819, 23, 27, 37divassd 11974 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))))
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9 𝐢 = ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))
4039oveq2i 7372 . . . . . . . 8 ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)))
4138, 40eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢))
42 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∧ π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
4342anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
4443breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))))
45 tcphcph.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4645ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 0 ≀ (π‘₯ , π‘₯))
48 phllmod 21057 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5113adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5239fveq2i 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ—β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)))
5323, 27, 37cjdivd 15117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))) = ((βˆ—β€˜(π‘Œ , 𝑋)) / (βˆ—β€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
5452, 53eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜πΆ) = ((βˆ—β€˜(π‘Œ , 𝑋)) / (βˆ—β€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
558fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5610fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
58 cnfldcj 20826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜β„‚fld)
5957, 58ressstarv 17197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ V β†’ βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6056, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
6155, 60eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = βˆ—)
6261fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
646, 15, 5, 63ipcj 21061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
657, 13, 14, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
6662, 65eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
6867fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (βˆ—β€˜(π‘Œ , 𝑋)))
6919cjcjd 15093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = (𝑋 , π‘Œ))
7068, 69eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜(π‘Œ , 𝑋)) = (𝑋 , π‘Œ))
7125adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ)
7271cjred 15120 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜(π‘Œ , π‘Œ)) = (π‘Œ , π‘Œ))
7370, 72oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜(π‘Œ , 𝑋)) / (βˆ—β€˜(π‘Œ , π‘Œ))) = ((𝑋 , π‘Œ) / (π‘Œ , π‘Œ)))
7419, 27, 37divrecd 11942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))))
7554, 73, 743eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜πΆ) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))))
769adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
7717adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾)
786, 15, 5, 10ipcl 21060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
797, 14, 14, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾)
818adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
82 phllvec 21056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
837, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
846lvecdrng 20610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8685adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
8710, 81, 86cphreccllem 24565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Œ , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , π‘Œ) β‰  0) β†’ (1 / (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
8880, 37, 87mpd3an23 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (1 / (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾)
896, 10clmmcl 24471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))) ∈ 𝐾)
9076, 77, 88, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))) ∈ 𝐾)
9175, 90eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜πΆ) ∈ 𝐾)
9214adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
93 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
945, 6, 93, 10lmodvscl 20383 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (βˆ—β€˜πΆ) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
9550, 91, 92, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
96 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
975, 96lmodvsubcl 20411 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ 𝑉)
9850, 51, 95, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ 𝑉)
9944, 47, 98rspcdva 3584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ≀ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
100 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
101 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1027adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1036, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95ip2subdi 21071 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋))))
10481fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
105 cnfldadd 20824 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gβ€˜β„‚fld)
10657, 105ressplusg 17179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
10756, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
108104, 107eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (+gβ€˜πΉ) = + )
109 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
1116, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
112102, 91, 92, 95, 111syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))))
11381fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
114 cnfldmul 20825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
11557, 114ressmulr 17196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
11656, 115ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
117113, 116eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (.rβ€˜πΉ) = Β· )
118 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (βˆ—β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜πΆ))
11923, 27, 37divrecd 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)) = ((π‘Œ , 𝑋) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))))
12039, 119eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐢 = ((π‘Œ , 𝑋) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))))
12121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾)
1226, 10clmmcl 24471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ 𝐾) β†’ ((π‘Œ , 𝑋) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))) ∈ 𝐾)
12376, 121, 88, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , 𝑋) Β· (1 / (π‘Œ , π‘Œ))) ∈ 𝐾)
124120, 123eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
1256, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = (π‘Œ , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
126102, 92, 92, 124, 125syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = (π‘Œ , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
127117oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = ((π‘Œ , π‘Œ) Β· 𝐢))
12839oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œ , π‘Œ) Β· 𝐢) = ((π‘Œ , π‘Œ) Β· ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ)))
12923, 27, 37divcan2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) Β· ((π‘Œ , 𝑋) / (π‘Œ , π‘Œ))) = (π‘Œ , 𝑋))
130128, 129eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ) Β· 𝐢) = (π‘Œ , 𝑋))
131127, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Œ , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = (π‘Œ , 𝑋))
13261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = βˆ—)
133132fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ) = (βˆ—β€˜πΆ))
134133oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
135134oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = (π‘Œ , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
136126, 131, 1353eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Œ , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = (π‘Œ , 𝑋))
137117, 118, 136oveq123d 7382 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
138112, 137eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
139108, 109, 138oveq123d 7382 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))))
1406, 15, 5, 10, 93, 110, 63ipassr2 21074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = (𝑋 , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
141102, 51, 92, 124, 140syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = (𝑋 , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
142117oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ)(.rβ€˜πΉ)𝐢) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢))
143134oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , (((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = (𝑋 , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
144141, 142, 1433eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢))
1456, 15, 5, 10, 93, 110ipass 21072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋) = ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
146102, 91, 92, 51, 145syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋) = ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)))
147117oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ)(.rβ€˜πΉ)(π‘Œ , 𝑋)) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
148146, 147eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋) = ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
149108, 144, 148oveq123d 7382 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋)) = (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))))
150139, 149oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , 𝑋)(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))(-gβ€˜πΉ)((𝑋 , ((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))(+gβ€˜πΉ)(((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))(-gβ€˜πΉ)(((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))))
1516, 15, 5, 10ipcl 21060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152102, 51, 51, 151syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
1536, 10clmmcl 24471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (βˆ—β€˜πΆ) ∈ 𝐾 ∧ (π‘Œ , 𝑋) ∈ 𝐾) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
15476, 91, 121, 153syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾)
1556, 10clmacl 24470 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾)
15676, 152, 154, 155syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1576, 10clmmcl 24471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝑋 , π‘Œ) ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ∈ 𝐾)
15876, 77, 124, 157syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ∈ 𝐾)
1596, 10clmacl 24470 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ∈ 𝐾 ∧ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾)
16076, 158, 154, 159syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾)
1616, 10clmsub 24466 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) ∈ 𝐾) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) βˆ’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))(-gβ€˜πΉ)(((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))))
16276, 156, 160, 161syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) βˆ’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))(-gβ€˜πΉ)(((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))))
1634, 5, 6, 7, 8, 15tcphcphlem3 24620 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
16413, 163mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165164recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
166165adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ β„‚)
16718absvalsqd 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))↑2) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))))
16866oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (βˆ—β€˜(𝑋 , π‘Œ))) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
169167, 168eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))↑2) = ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))
17018abscld 15330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ∈ ℝ)
171170resqcld 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))↑2) ∈ ℝ)
172169, 171eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ ℝ)
173172adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ ℝ)
174173, 71, 37redivcld 11991 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
17541, 174eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ∈ ℝ)
176175recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ∈ β„‚)
17776, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
178177, 154sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ β„‚)
179166, 176, 178pnpcan2d 11558 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋))) βˆ’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢)))
180162, 179eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , 𝑋) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))(-gβ€˜πΉ)(((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) + ((βˆ—β€˜πΆ) Β· (π‘Œ , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢)))
181103, 150, 1803eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) , (𝑋(-gβ€˜π‘Š)((βˆ—β€˜πΆ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))) = ((𝑋 , 𝑋) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢)))
18299, 181breqtrd 5135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢)))
183164adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184183, 175subge0d 11753 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) βˆ’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢)) ↔ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ≀ (𝑋 , 𝑋)))
185182, 184mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· 𝐢) ≀ (𝑋 , 𝑋))
18641, 185eqbrtrd 5131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) ≀ (𝑋 , 𝑋))
187 oveq12 7370 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = π‘Œ ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
188187anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (π‘Œ , π‘Œ))
189188breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ)))
190189, 46, 14rspcdva 3584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
191190adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 0 ≀ (π‘Œ , π‘Œ))
19271, 191, 37ne0gt0d 11300 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 0 < (π‘Œ , π‘Œ))
193 ledivmul2 12042 . . . . . . 7 ((((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((π‘Œ , π‘Œ) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘Œ , π‘Œ))) β†’ ((((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) ≀ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
194173, 183, 71, 192, 193syl112anc 1375 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) / (π‘Œ , π‘Œ)) ≀ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ))))
195186, 194mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
1966, 15, 5, 31, 32ip0r 21064 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜πΉ))
1977, 13, 196syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜πΉ))
198197, 29eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) = 0)
199198oveq1d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) Β· (π‘Œ , 𝑋)) = (0 Β· (π‘Œ , 𝑋)))
20022mul02d 11361 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0 Β· (π‘Œ , 𝑋)) = 0)
201199, 200eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) Β· (π‘Œ , 𝑋)) = 0)
202 oveq12 7370 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑋 ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
203202anidms 568 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝑋 , 𝑋))
204203breq2d 5121 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (0 ≀ (π‘₯ , π‘₯) ↔ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋)))
205204, 46, 13rspcdva 3584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 , 𝑋))
206164, 25, 205, 190mulge0d 11740 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
207201, 206eqbrtrd 5131 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , (0gβ€˜π‘Š)) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
2083, 195, 207pm2.61ne 3027 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑋 , π‘Œ) Β· (π‘Œ , 𝑋)) ≀ ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
209164, 205resqrtcld 15311 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210209recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) ∈ β„‚)
21125, 190resqrtcld 15311 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ ℝ)
212211recnd 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)) ∈ β„‚)
213210, 212sqmuld 14072 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) Β· ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)))
214165sqsqrtd 15333 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
21526sqsqrtd 15333 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2) = (π‘Œ , π‘Œ))
216214, 215oveq12d 7379 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋))↑2) Β· ((βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
217213, 216eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) Β· (π‘Œ , π‘Œ)))
218208, 169, 2173brtr4d 5141 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2))
219209, 211remulcld 11193 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ∈ ℝ)
22018absge0d 15338 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)))
221164, 205sqrtge0d 15314 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
22225, 190sqrtge0d 15314 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
223209, 211, 221, 222mulge0d 11740 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
224170, 219, 220, 223le2sqd 14169 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))) ↔ ((absβ€˜(𝑋 , π‘Œ))↑2) ≀ (((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))↑2)))
225218, 224mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
226 lmodgrp 20372 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
22749, 226syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
228 ipcau2.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
2294, 228, 5, 15tcphnmval 24616 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
230227, 13, 229syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)))
2314, 228, 5, 15tcphnmval 24616 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
232227, 14, 231syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘Œ) = (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ)))
233230, 232oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)) = ((βˆšβ€˜(𝑋 , 𝑋)) Β· (βˆšβ€˜(π‘Œ , π‘Œ))))
234225, 233breqtrrd 5137 1 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝑋 , π‘Œ)) ≀ ((π‘β€˜π‘‹) Β· (π‘β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β†‘cexp 13976  βˆ—ccj 14990  βˆšcsqrt 15127  abscabs 15128  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  *π‘Ÿcstv 17143  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Β·π‘–cip 17146  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  DivRingcdr 20219  LModclmod 20365  LVecclvec 20607  β„‚fldccnfld 20819  PreHilcphl 21051  normcnm 23955  β„‚Modcclm 24448  toβ„‚PreHilctcph 24554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-phl 21053  df-nm 23961  df-tng 23963  df-clm 24449  df-tcph 24556
This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  24622  ipcau  24625
  Copyright terms: Public domain W3C validator