Theorem ipcau2 23520

Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphcph.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
tcphcph.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tcphcph.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
tcphcph.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
tcphcph.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
tcphcph.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tcphcph.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tcphcph.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipcau2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
ipcau2.c	⊢ 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
ipcau2.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
ipcau2.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipcau2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem ipcau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → (𝑋 , 𝑌) = (𝑋 , (0g‘𝑊)))
2	1	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) = ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)))
3	2	breq1d 4972	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = (0g‘𝑊) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)) ↔ ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
4		tcphval.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		tcphcph.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		tcphcph.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		tcphcph.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
8		tcphcph.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
9	4, 5, 6, 7, 8	phclm 23518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
10		tcphcph.k	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	6, 10	clmsscn 23366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
13		ipcau2.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		ipcau2.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
15		tcphcph.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
16	6, 15, 5, 10	ipcl 20459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
17	7, 13, 14, 16	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
18	12, 17	sseldd 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
20	6, 15, 5, 10	ipcl 20459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
21	7, 14, 13, 20	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
22	12, 21	sseldd 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ ℂ)
24	4, 5, 6, 7, 8, 15	tcphcphlem3 23519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
25	14, 24	mpdan 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
26	25	recnd 10515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
28	6	clm0 23359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘𝐹))
29	9, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘𝐹))
30	29	eqeq2d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ (𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹)))
31		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
32		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
33	6, 15, 5, 31, 32	ipeq0 20464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
34	7, 14, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = (0g‘𝐹) ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
35	30, 34	bitrd 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) = 0 ↔ 𝑌 = (0g‘𝑊)))
36	35	necon3bid 3028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 , 𝑌) ≠ 0 ↔ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)))
37	36	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ≠ 0)
38	19, 23, 27, 37	divassd 11299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))))
39		ipcau2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))
40	39	oveq2i 7027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
41	38, 40	syl6eqr 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
42		oveq12 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∧ 𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
43	42	anidms 567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) → (𝑥 , 𝑥) = ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
44	43	breq2d 4974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))))
45		tcphcph.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
46	45	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
48		phllmod 20456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
51	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
52	39	fveq2i 6541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∗‘𝐶) = (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
53	23, 27, 37	cjdivd 14416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
54	52, 53	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))))
55	8	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
56	10	fvexi 6552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐾 ∈ V
57		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
58		cnfldcj 20234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ∗ = (*𝑟‘ℂfld)
59	57, 58	ressstarv 16455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ V → ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
60	56, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∗ = (*𝑟‘(ℂfld ↾s 𝐾))
61	55, 60	syl6eqr 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
62	61	fveq1d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (∗‘(𝑋 , 𝑌)))
63		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
64	6, 15, 5, 63	ipcj 20460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
65	7, 13, 14, 64	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
66	62, 65	eqtr3d 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑋 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
68	67	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (∗‘(𝑌 , 𝑋)))
69	19	cjcjd 14392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(∗‘(𝑋 , 𝑌))) = (𝑋 , 𝑌))
70	68, 69	eqtr3d 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑋)) = (𝑋 , 𝑌))
71	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
72	71	cjred 14419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘(𝑌 , 𝑌)) = (𝑌 , 𝑌))
73	70, 72	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘(𝑌 , 𝑋)) / (∗‘(𝑌 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)))
74	19, 27, 37	divrecd 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
75	54, 73, 74	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
76	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
77	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾)
78	6, 15, 5, 10	ipcl 20459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
79	7, 14, 14, 78	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾)
81	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
82		phllvec 20455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
83	7, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
84	6	lvecdrng 19567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐹 ∈ DivRing)
87	10, 81, 86	cphreccllem 23465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) ∧ (𝑌 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑌) ≠ 0) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
88	80, 37, 87	mpd3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾)
89	6, 10	clmmcl 23372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
90	76, 77, 88, 89	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
91	75, 90	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) ∈ 𝐾)
92	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
93		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
94	5, 6, 93, 10	lmodvscl 19341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
95	50, 91, 92, 94	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
96		eqid 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
97	5, 96	lmodvsubcl 19369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
98	50, 51, 95, 97	syl3anc 1364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∈ 𝑉)
99	44, 47, 98	rspcdva 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
100		eqid 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
101		eqid 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
102	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ PreHil)
103	6, 15, 5, 96, 100, 101, 102, 51, 95, 51, 95	ip2subdi 20470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = (((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))(-g‘𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋))))
104	81	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (+g‘𝐹) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
105		cnfldadd 20232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	57, 105	ressplusg 16441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
107	56, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝐾))
108	104, 107	syl6eqr 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (+g‘𝐹) = + )
109		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) = (𝑋 , 𝑋))
110		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
111	6, 15, 5, 10, 93, 110	ipass 20471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
112	102, 91, 92, 95, 111	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))))
113	81	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (.r‘𝐹) = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
114		cnfldmul 20233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
115	57, 114	ressmulr 16454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
116	56, 115	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
117	113, 116	syl6eqr 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (.r‘𝐹) = · )
118		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (∗‘𝐶) = (∗‘𝐶))
119	23, 27, 37	divrecd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
120	39, 119	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐶 = ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))))
121	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾)
122	6, 10	clmmcl 23372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ (1 / (𝑌 , 𝑌)) ∈ 𝐾) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
123	76, 121, 88, 122	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑋) · (1 / (𝑌 , 𝑌))) ∈ 𝐾)
124	120, 123	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
125	6, 15, 5, 10, 93, 110, 63	ipassr2 20473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
126	102, 92, 92, 124, 125	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
127	117	oveqd 7033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶))
128	39	oveq2i 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌)))
129	23, 27, 37	divcan2d 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · ((𝑌 , 𝑋) / (𝑌 , 𝑌))) = (𝑌 , 𝑋))
130	128, 129	syl5eq 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌) · 𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
131	127, 130	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑌 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑌 , 𝑋))
132	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (*𝑟‘𝐹) = ∗)
133	132	fveq1d 6540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((*𝑟‘𝐹)‘𝐶) = (∗‘𝐶))
134	133	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))
135	134	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
136	126, 131, 135	3eqtr3rd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 , 𝑋))
137	117, 118, 136	oveq123d 7037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
138	112, 137	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
139	108, 109, 138	oveq123d 7037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
140	6, 15, 5, 10, 93, 110, 63	ipassr2 20473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
141	102, 51, 92, 124, 140	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
142	117	oveqd 7033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌)(.r‘𝐹)𝐶) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
143	134	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , (((*𝑟‘𝐹)‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
144	141, 142, 143	3eqtr3rd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶))
145	6, 15, 5, 10, 93, 110	ipass 20471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
146	102, 91, 92, 51, 145	syl13anc 1365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)))
147	117	oveqd 7033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶)(.r‘𝐹)(𝑌 , 𝑋)) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
148	146, 147	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋) = ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))
149	108, 144, 148	oveq123d 7037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋)) = (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))))
150	139, 149	oveq12d 7034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋)(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))(-g‘𝐹)((𝑋 , ((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))(+g‘𝐹)(((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) , 𝑋))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
151	6, 15, 5, 10	ipcl 20459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
152	102, 51, 51, 151	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾)
153	6, 10	clmmcl 23372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (∗‘𝐶) ∈ 𝐾 ∧ (𝑌 , 𝑋) ∈ 𝐾) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
154	76, 91, 121, 153	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾)
155	6, 10	clmacl 23371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
156	76, 152, 154, 155	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
157	6, 10	clmmcl 23372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝑋 , 𝑌) ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
158	76, 77, 124, 157	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾)
159	6, 10	clmacl 23371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ 𝐾 ∧ ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
160	76, 158, 154, 159	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾)
161	6, 10	clmsub 23367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾 ∧ (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) ∈ 𝐾) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
162	76, 156, 160, 161	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))))
163	4, 5, 6, 7, 8, 15	tcphcphlem3 23519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
164	13, 163	mpdan 683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
165	164	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
166	165	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℂ)
167	18	absvalsqd 14636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))))
168	66	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (∗‘(𝑋 , 𝑌))) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
169	167, 168	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) = ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)))
170	18	abscld 14630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ∈ ℝ)
171	170	resqcld 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ∈ ℝ)
172	169, 171	eqeltrrd 2884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ)
174	173, 71, 37	redivcld 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
175	41, 174	eqeltrrd 2884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℝ)
176	175	recnd 10515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ∈ ℂ)
177	76, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
178	177, 154	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℂ)
179	166, 176, 178	pnpcan2d 10883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋))) − (((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
180	162, 179	eqtr3d 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑋) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))(-g‘𝐹)(((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) + ((∗‘𝐶) · (𝑌 , 𝑋)))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
181	103, 150, 180	3eqtrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) , (𝑋(-g‘𝑊)((∗‘𝐶)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌))) = ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
182	99, 181	breqtrd 4988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)))
183	164	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ)
184	183, 175	subge0d 11078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) − ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶)) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋)))
185	182, 184	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · 𝐶) ≤ (𝑋 , 𝑋))
186	41, 185	eqbrtrd 4984	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → (((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋))
187		oveq12 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑌 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
188	187	anidms 567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
189	188	breq2d 4974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
190	189, 46, 14	rspcdva 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
191	190	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
192	71, 191, 37	ne0gt0d 10624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → 0 < (𝑌 , 𝑌))
193		ledivmul2 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ∈ ℝ ∧ (𝑋 , 𝑋) ∈ ℝ ∧ ((𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 , 𝑌))) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
194	173, 183, 71, 192, 193	syl112anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) / (𝑌 , 𝑌)) ≤ (𝑋 , 𝑋) ↔ ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌))))
195	186, 194	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ≠ (0g‘𝑊)) → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
196	6, 15, 5, 31, 32	ip0r 20463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = (0g‘𝐹))
197	7, 13, 196	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = (0g‘𝐹))
198	197, 29	eqtr4d 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 , (0g‘𝑊)) = 0)
199	198	oveq1d 7031	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = (0 · (𝑌 , 𝑋)))
200	22	mul02d 10685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
201	199, 200	eqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) = 0)
202		oveq12 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
203	202	anidms 567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑋 , 𝑋))
204	203	breq2d 4974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑋 , 𝑋)))
205	204, 46, 13	rspcdva 3565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 , 𝑋))
206	164, 25, 205, 190	mulge0d 11065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
207	201, 206	eqbrtrd 4984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , (0g‘𝑊)) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
208	3, 195, 207	pm2.61ne 3070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 , 𝑌) · (𝑌 , 𝑋)) ≤ ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
209	164, 205	resqrtcld 14611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℝ)
210	209	recnd 10515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑋 , 𝑋)) ∈ ℂ)
211	25, 190	resqrtcld 14611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℝ)
212	211	recnd 10515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑌 , 𝑌)) ∈ ℂ)
213	210, 212	sqmuld 13372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)))
214	165	sqsqrtd 14633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) = (𝑋 , 𝑋))
215	26	sqsqrtd 14633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2) = (𝑌 , 𝑌))
216	214, 215	oveq12d 7034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋))↑2) · ((√‘(𝑌 , 𝑌))↑2)) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
217	213, 216	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2) = ((𝑋 , 𝑋) · (𝑌 , 𝑌)))
218	208, 169, 217	3brtr4d 4994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2))
219	209, 211	remulcld 10517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ∈ ℝ)
220	18	absge0d 14638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝑋 , 𝑌)))
221	164, 205	sqrtge0d 14614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑋 , 𝑋)))
222	25, 190	sqrtge0d 14614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (√‘(𝑌 , 𝑌)))
223	209, 211, 221, 222	mulge0d 11065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
224	170, 219, 220, 223	le2sqd 13470	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) ↔ ((abs‘(𝑋 , 𝑌))↑2) ≤ (((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌)))↑2)))
225	218, 224	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
226		lmodgrp 19331	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
227	49, 226	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
228		ipcau2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
229	4, 228, 5, 15	tcphnmval 23515	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
230	227, 13, 229	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (√‘(𝑋 , 𝑋)))
231	4, 228, 5, 15	tcphnmval 23515	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
232	227, 14, 231	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) = (√‘(𝑌 , 𝑌)))
233	230, 232	oveq12d 7034	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)) = ((√‘(𝑋 , 𝑋)) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
234	225, 233	breqtrrd 4990	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘𝑋) · (𝑁‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521   ≤ cle 10522   − cmin 10717   / cdiv 11145  2c2 11540  ↑cexp 13279  ∗ccj 14289  √csqrt 14426  abscabs 14427  Basecbs 16312   ↾_s cress 16313  +_gcplusg 16394  ._rcmulr 16395  *_𝑟cstv 16396  Scalarcsca 16397   ·_𝑠 cvsca 16398  ·_𝑖cip 16399  0_gc0g 16542  Grpcgrp 17861  -_gcsg 17863  DivRingcdr 19192  LModclmod 19324  LVecclvec 19564  ℂ_fldccnfld 20227  PreHilcphl 20450  normcnm 22869  ℂModcclm 23349  toℂPreHilctcph 23454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-rnghom 19157  df-drng 19194  df-subrg 19223  df-staf 19306  df-srng 19307  df-lmod 19326  df-lmhm 19484  df-lvec 19565  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-cnfld 20228  df-phl 20452  df-nm 22875  df-tng 22877  df-clm 23350  df-tcph 23456

This theorem is referenced by:  tcphcphlem1  23521  ipcau  23524