Theorem obsne0 21680

Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsne0	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Proof of Theorem obsne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21678	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllvec 21584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21057	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	drngunz 20680	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
12	11, 3, 8	obsipid 21677	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	obsss 21679	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
16	15	sselda 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
17		obsocv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	3, 11, 14, 7, 17	ipeq0 21593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
19	1, 16, 18	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
20	13, 19	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
21	20	necon3bid 2976	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 ≠ 0 ))
22	10, 21	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180  ·_𝑖cip 17182  0_gc0g 17359  1_rcur 20116  DivRingcdr 20662  LVecclvec 21054  PreHilcphl 21579  OBasiscobs 21657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lmhm 20974  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-phl 21581  df-obs 21660

This theorem is referenced by:  obselocv  21683  obs2ss  21684  obslbs  21685