Theorem obsne0 21832

Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsne0	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Proof of Theorem obsne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21830	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllvec 21736	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 21192	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 2, 4	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	drngunz 20819	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10	6, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
12	11, 3, 8	obsipid 21829	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	obsss 21831	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
16	15	sselda 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
17		obsocv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	3, 11, 14, 7, 17	ipeq0 21745	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
19	1, 16, 18	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
20	13, 19	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
21	20	necon3bid 3004	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 ≠ 0 ))
22	10, 21	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301  ·_𝑖cip 17303  0_gc0g 17480  1_rcur 20251  DivRingcdr 20801  LVecclvec 21189  PreHilcphl 21731  OBasiscobs 21809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-ghm 19272  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lmhm 21109  df-lvec 21190  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-phl 21733  df-obs 21812

This theorem is referenced by:  obselocv  21835  obs2ss  21836  obslbs  21837