Theorem obsne0 21616

Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsne0	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Proof of Theorem obsne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21614	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllvec 21518	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 20951	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	drngunz 20604	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
12	11, 3, 8	obsipid 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	obsss 21615	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
16	15	sselda 3977	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
17		obsocv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	3, 11, 14, 7, 17	ipeq0 21527	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
19	1, 16, 18	syl2an2r 682	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
20	13, 19	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
21	20	necon3bid 2979	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 ≠ 0 ))
22	10, 21	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  ·_𝑖cip 17209  0_gc0g 17392  1_rcur 20084  DivRingcdr 20585  LVecclvec 20948  PreHilcphl 21513  OBasiscobs 21593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ghm 19137  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lmhm 20868  df-lvec 20949  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-phl 21515  df-obs 21596

This theorem is referenced by:  obselocv  21619  obs2ss  21620  obslbs  21621