Theorem obsne0 21664

Description: A basis element is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsne0	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Proof of Theorem obsne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		obsrcl 21662	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		phllvec 21566	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
3		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4	3	lvecdrng 20995	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
6	5	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
7		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	7, 8	drngunz 20648	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
11		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
12	11, 3, 8	obsipid 21661	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
13	12	eqeq1d 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	obsss 21663	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
16	15	sselda 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
17		obsocv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
18	3, 11, 14, 7, 17	ipeq0 21575	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
19	1, 16, 18	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(·𝑖‘𝑊)𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
20	13, 19	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
21	20	necon3bid 2981	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 ≠ 0 ))
22	10, 21	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2936  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  Scalarcsca 17241  ·_𝑖cip 17243  0_gc0g 17426  1_rcur 20126  DivRingcdr 20629  LVecclvec 20992  PreHilcphl 21561  OBasiscobs 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-ghm 19173  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-phl 21563  df-obs 21644

This theorem is referenced by:  obselocv  21667  obs2ss  21668  obslbs  21669