Theorem phllmod 21740

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21739	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21196	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  LModclmod 20950  LVecclvec 21192  PreHilcphl 21734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-lvec 21193  df-phl 21736

This theorem is referenced by:  iporthcom  21745  ip0l  21746  ip0r  21747  ipdir  21749  ipdi  21750  ip2di  21751  ipsubdir  21752  ipsubdi  21753  ip2subdi  21754  ipass  21755  ipassr  21756  ip2eq  21763  phssip  21768  phlssphl  21769  ocvlss  21782  ocvin  21784  ocvlsp  21786  ocvz  21788  ocv1  21789  lsmcss  21802  pjdm2  21821  pjff  21822  pjf2  21824  pjfo  21825  ocvpj  21827  obselocv  21838  obslbs  21840  phclm  25352  ipcau2  25354  tcphcphlem1  25355  tcphcphlem2  25356  tcphcph  25357  pjth  25559