Theorem phllmod 20773

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 20772	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19877	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  LModclmod 19633  LVecclvec 19873  PreHilcphl 20767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-nul 5209

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-iota 6313  df-fv 6362  df-ov 7158  df-lvec 19874  df-phl 20769

This theorem is referenced by:  iporthcom  20778  ip0l  20779  ip0r  20780  ipdir  20782  ipdi  20783  ip2di  20784  ipsubdir  20785  ipsubdi  20786  ip2subdi  20787  ipass  20788  ipassr  20789  ip2eq  20796  phssip  20801  phlssphl  20802  ocvlss  20815  ocvin  20817  ocvlsp  20819  ocvz  20821  ocv1  20822  lsmcss  20835  pjdm2  20854  pjff  20855  pjf2  20857  pjfo  20858  ocvpj  20860  obselocv  20871  obslbs  20873  phclm  23834  ipcau2  23836  tcphcphlem1  23837  tcphcphlem2  23838  tcphcph  23839  pjth  24041