Theorem phllmod 20747

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 20746	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20283	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  PreHilcphl 20741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-lvec 20280  df-phl 20743

This theorem is referenced by:  iporthcom  20752  ip0l  20753  ip0r  20754  ipdir  20756  ipdi  20757  ip2di  20758  ipsubdir  20759  ipsubdi  20760  ip2subdi  20761  ipass  20762  ipassr  20763  ip2eq  20770  phssip  20775  phlssphl  20776  ocvlss  20789  ocvin  20791  ocvlsp  20793  ocvz  20795  ocv1  20796  lsmcss  20809  pjdm2  20828  pjff  20829  pjf2  20831  pjfo  20832  ocvpj  20834  obselocv  20845  obslbs  20847  phclm  24301  ipcau2  24303  tcphcphlem1  24304  tcphcphlem2  24305  tcphcph  24306  pjth  24508