Theorem phllmod 21585

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21584	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21058	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  LModclmod 20811  LVecclvec 21054  PreHilcphl 21579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-lvec 21055  df-phl 21581

This theorem is referenced by:  iporthcom  21590  ip0l  21591  ip0r  21592  ipdir  21594  ipdi  21595  ip2di  21596  ipsubdir  21597  ipsubdi  21598  ip2subdi  21599  ipass  21600  ipassr  21601  ip2eq  21608  phssip  21613  phlssphl  21614  ocvlss  21627  ocvin  21629  ocvlsp  21631  ocvz  21633  ocv1  21634  lsmcss  21647  pjdm2  21666  pjff  21667  pjf2  21669  pjfo  21670  ocvpj  21672  obselocv  21683  obslbs  21685  phclm  25188  ipcau2  25190  tcphcphlem1  25191  tcphcphlem2  25192  tcphcph  25193  pjth  25395