Theorem phllmod 21648

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21647	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21105	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  PreHilcphl 21642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lvec 21102  df-phl 21644

This theorem is referenced by:  iporthcom  21653  ip0l  21654  ip0r  21655  ipdir  21657  ipdi  21658  ip2di  21659  ipsubdir  21660  ipsubdi  21661  ip2subdi  21662  ipass  21663  ipassr  21664  ip2eq  21671  phssip  21676  phlssphl  21677  ocvlss  21690  ocvin  21692  ocvlsp  21694  ocvz  21696  ocv1  21697  lsmcss  21710  pjdm2  21731  pjff  21732  pjf2  21734  pjfo  21735  ocvpj  21737  obselocv  21748  obslbs  21750  phclm  25266  ipcau2  25268  tcphcphlem1  25269  tcphcphlem2  25270  tcphcph  25271  pjth  25473