Theorem phllmod 21791

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21790	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21238	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  LModclmod 20992  LVecclvec 21234  PreHilcphl 21785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-lvec 21235  df-phl 21787

This theorem is used by:  iporthcom  21796  ip0l  21797  ip0r  21798  ipdir  21800  ipdi  21801  ip2di  21802  ipsubdir  21803  ipsubdi  21804  ip2subdi  21805  ipass  21806  ipassr  21807  ip2eq  21814  phssip  21819  phlssphl  21820  ocvlss  21833  ocvin  21835  ocvlsp  21837  ocvz  21839  ocv1  21840  lsmcss  21853  pjdm2  21872  pjff  21873  pjf2  21875  pjfo  21876  ocvpj  21878  obselocv  21889  obslbs  21891  phclm  25402  ipcau2  25404  tcphcphlem1  25405  tcphcphlem2  25406  tcphcph  25407  pjth  25609