Theorem phllmod 21759

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21758	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21206	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  LModclmod 20960  LVecclvec 21202  PreHilcphl 21753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5268

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-lvec 21203  df-phl 21755

This theorem is referenced by:  iporthcom  21764  ip0l  21765  ip0r  21766  ipdir  21768  ipdi  21769  ip2di  21770  ipsubdir  21771  ipsubdi  21772  ip2subdi  21773  ipass  21774  ipassr  21775  ip2eq  21782  phssip  21787  phlssphl  21788  ocvlss  21801  ocvin  21803  ocvlsp  21805  ocvz  21807  ocv1  21808  lsmcss  21821  pjdm2  21840  pjff  21841  pjf2  21843  pjfo  21844  ocvpj  21846  obselocv  21857  obslbs  21859  phclm  25370  ipcau2  25372  tcphcphlem1  25373  tcphcphlem2  25374  tcphcph  25375  pjth  25577