Theorem phllmod 20835

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 20834	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20368	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  LModclmod 20123  LVecclvec 20364  PreHilcphl 20829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-nul 5230

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-lvec 20365  df-phl 20831

This theorem is referenced by:  iporthcom  20840  ip0l  20841  ip0r  20842  ipdir  20844  ipdi  20845  ip2di  20846  ipsubdir  20847  ipsubdi  20848  ip2subdi  20849  ipass  20850  ipassr  20851  ip2eq  20858  phssip  20863  phlssphl  20864  ocvlss  20877  ocvin  20879  ocvlsp  20881  ocvz  20883  ocv1  20884  lsmcss  20897  pjdm2  20918  pjff  20919  pjf2  20921  pjfo  20922  ocvpj  20924  obselocv  20935  obslbs  20937  phclm  24396  ipcau2  24398  tcphcphlem1  24399  tcphcphlem2  24400  tcphcph  24401  pjth  24603