Theorem phllmod 21402

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21401	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  LModclmod 20614  LVecclvec 20857  PreHilcphl 21396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7414  df-lvec 20858  df-phl 21398

This theorem is referenced by:  iporthcom  21407  ip0l  21408  ip0r  21409  ipdir  21411  ipdi  21412  ip2di  21413  ipsubdir  21414  ipsubdi  21415  ip2subdi  21416  ipass  21417  ipassr  21418  ip2eq  21425  phssip  21430  phlssphl  21431  ocvlss  21444  ocvin  21446  ocvlsp  21448  ocvz  21450  ocv1  21451  lsmcss  21464  pjdm2  21485  pjff  21486  pjf2  21488  pjfo  21489  ocvpj  21491  obselocv  21502  obslbs  21504  phclm  24973  ipcau2  24975  tcphcphlem1  24976  tcphcphlem2  24977  tcphcph  24978  pjth  25180