Theorem phllmod 21595

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21594	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21069	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  LModclmod 20822  LVecclvec 21065  PreHilcphl 21589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-nul 5281

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-iota 6489  df-fv 6544  df-ov 7413  df-lvec 21066  df-phl 21591

This theorem is referenced by:  iporthcom  21600  ip0l  21601  ip0r  21602  ipdir  21604  ipdi  21605  ip2di  21606  ipsubdir  21607  ipsubdi  21608  ip2subdi  21609  ipass  21610  ipassr  21611  ip2eq  21618  phssip  21623  phlssphl  21624  ocvlss  21637  ocvin  21639  ocvlsp  21641  ocvz  21643  ocv1  21644  lsmcss  21657  pjdm2  21676  pjff  21677  pjf2  21679  pjfo  21680  ocvpj  21682  obselocv  21693  obslbs  21695  phclm  25189  ipcau2  25191  tcphcphlem1  25192  tcphcphlem2  25193  tcphcph  25194  pjth  25396