Theorem phllmod 21610

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21609	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21101	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  LModclmod 20855  LVecclvec 21097  PreHilcphl 21604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-iota 6455  df-fv 6507  df-ov 7370  df-lvec 21098  df-phl 21606

This theorem is referenced by:  iporthcom  21615  ip0l  21616  ip0r  21617  ipdir  21619  ipdi  21620  ip2di  21621  ipsubdir  21622  ipsubdi  21623  ip2subdi  21624  ipass  21625  ipassr  21626  ip2eq  21633  phssip  21638  phlssphl  21639  ocvlss  21652  ocvin  21654  ocvlsp  21656  ocvz  21658  ocv1  21659  lsmcss  21672  pjdm2  21691  pjff  21692  pjf2  21694  pjfo  21695  ocvpj  21697  obselocv  21708  obslbs  21710  phclm  25199  ipcau2  25201  tcphcphlem1  25202  tcphcphlem2  25203  tcphcph  25204  pjth  25406