Theorem phllmod 21182

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21181	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20716	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  LModclmod 20470  LVecclvec 20712  PreHilcphl 21176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-iota 6495  df-fv 6551  df-ov 7411  df-lvec 20713  df-phl 21178

This theorem is referenced by:  iporthcom  21187  ip0l  21188  ip0r  21189  ipdir  21191  ipdi  21192  ip2di  21193  ipsubdir  21194  ipsubdi  21195  ip2subdi  21196  ipass  21197  ipassr  21198  ip2eq  21205  phssip  21210  phlssphl  21211  ocvlss  21224  ocvin  21226  ocvlsp  21228  ocvz  21230  ocv1  21231  lsmcss  21244  pjdm2  21265  pjff  21266  pjf2  21268  pjfo  21269  ocvpj  21271  obselocv  21282  obslbs  21284  phclm  24748  ipcau2  24750  tcphcphlem1  24751  tcphcphlem2  24752  tcphcph  24753  pjth  24955