Theorem phllmod 21549

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21548	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20980	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  LModclmod 20732  LVecclvec 20976  PreHilcphl 21543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-nul 5300

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417  df-lvec 20977  df-phl 21545

This theorem is referenced by:  iporthcom  21554  ip0l  21555  ip0r  21556  ipdir  21558  ipdi  21559  ip2di  21560  ipsubdir  21561  ipsubdi  21562  ip2subdi  21563  ipass  21564  ipassr  21565  ip2eq  21572  phssip  21577  phlssphl  21578  ocvlss  21591  ocvin  21593  ocvlsp  21595  ocvz  21597  ocv1  21598  lsmcss  21611  pjdm2  21632  pjff  21633  pjf2  21635  pjfo  21636  ocvpj  21638  obselocv  21649  obslbs  21651  phclm  25147  ipcau2  25149  tcphcphlem1  25150  tcphcphlem2  25151  tcphcph  25152  pjth  25354