Theorem phllmod 20319

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 20318	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 19871	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  LModclmod 19627  LVecclvec 19867  PreHilcphl 20313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-lvec 19868  df-phl 20315

This theorem is referenced by:  iporthcom  20324  ip0l  20325  ip0r  20326  ipdir  20328  ipdi  20329  ip2di  20330  ipsubdir  20331  ipsubdi  20332  ip2subdi  20333  ipass  20334  ipassr  20335  ip2eq  20342  phssip  20347  phlssphl  20348  ocvlss  20361  ocvin  20363  ocvlsp  20365  ocvz  20367  ocv1  20368  lsmcss  20381  pjdm2  20400  pjff  20401  pjf2  20403  pjfo  20404  ocvpj  20406  obselocv  20417  obslbs  20419  phclm  23836  ipcau2  23838  tcphcphlem1  23839  tcphcphlem2  23840  tcphcph  23841  pjth  24043