Theorem phllmod 21666

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21665	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21123	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  PreHilcphl 21660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-lvec 21120  df-phl 21662

This theorem is referenced by:  iporthcom  21671  ip0l  21672  ip0r  21673  ipdir  21675  ipdi  21676  ip2di  21677  ipsubdir  21678  ipsubdi  21679  ip2subdi  21680  ipass  21681  ipassr  21682  ip2eq  21689  phssip  21694  phlssphl  21695  ocvlss  21708  ocvin  21710  ocvlsp  21712  ocvz  21714  ocv1  21715  lsmcss  21728  pjdm2  21749  pjff  21750  pjf2  21752  pjfo  21753  ocvpj  21755  obselocv  21766  obslbs  21768  phclm  25280  ipcau2  25282  tcphcphlem1  25283  tcphcphlem2  25284  tcphcph  25285  pjth  25487