Theorem phllmod 21560

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21559	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21033	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  LModclmod 20786  LVecclvec 21029  PreHilcphl 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-lvec 21030  df-phl 21556

This theorem is referenced by:  iporthcom  21565  ip0l  21566  ip0r  21567  ipdir  21569  ipdi  21570  ip2di  21571  ipsubdir  21572  ipsubdi  21573  ip2subdi  21574  ipass  21575  ipassr  21576  ip2eq  21583  phssip  21588  phlssphl  21589  ocvlss  21602  ocvin  21604  ocvlsp  21606  ocvz  21608  ocv1  21609  lsmcss  21622  pjdm2  21641  pjff  21642  pjf2  21644  pjfo  21645  ocvpj  21647  obselocv  21658  obslbs  21660  phclm  25152  ipcau2  25154  tcphcphlem1  25155  tcphcphlem2  25156  tcphcph  25157  pjth  25359