Theorem phllmod 21555

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21554	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20984	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  LModclmod 20736  LVecclvec 20980  PreHilcphl 21549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-nul 5300

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417  df-lvec 20981  df-phl 21551

This theorem is referenced by:  iporthcom  21560  ip0l  21561  ip0r  21562  ipdir  21564  ipdi  21565  ip2di  21566  ipsubdir  21567  ipsubdi  21568  ip2subdi  21569  ipass  21570  ipassr  21571  ip2eq  21578  phssip  21583  phlssphl  21584  ocvlss  21597  ocvin  21599  ocvlsp  21601  ocvz  21603  ocv1  21604  lsmcss  21617  pjdm2  21638  pjff  21639  pjf2  21641  pjfo  21642  ocvpj  21644  obselocv  21655  obslbs  21657  phclm  25153  ipcau2  25155  tcphcphlem1  25156  tcphcphlem2  25157  tcphcph  25158  pjth  25360