MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phllmod 20317
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 20316 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19869 . 2 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  LModclmod 19625  LVecclvec 19865  PreHilcphl 20311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-nul 5186
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-iota 6293  df-fv 6342  df-ov 7143  df-lvec 19866  df-phl 20313
This theorem is referenced by:  iporthcom  20322  ip0l  20323  ip0r  20324  ipdir  20326  ipdi  20327  ip2di  20328  ipsubdir  20329  ipsubdi  20330  ip2subdi  20331  ipass  20332  ipassr  20333  ip2eq  20340  phssip  20345  phlssphl  20346  ocvlss  20359  ocvin  20361  ocvlsp  20363  ocvz  20365  ocv1  20366  lsmcss  20379  pjdm2  20398  pjff  20399  pjf2  20401  pjfo  20402  ocvpj  20404  obselocv  20415  obslbs  20417  phclm  23834  ipcau2  23836  tcphcphlem1  23837  tcphcphlem2  23838  tcphcph  23839  pjth  24041
  Copyright terms: Public domain W3C validator