Theorem phllmod 21937

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21936	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21382	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  LModclmod 21136  LVecclvec 21378  PreHilcphl 21931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-lvec 21379  df-phl 21933

This theorem is used by:  iporthcom  21942  ip0l  21943  ip0r  21944  ipdir  21946  ipdi  21947  ip2di  21948  ipsubdir  21949  ipsubdi  21950  ip2subdi  21951  ipass  21952  ipassr  21953  ip2eq  21960  phssip  21965  phlssphl  21966  ocvlss  21979  ocvin  21981  ocvlsp  21983  ocvz  21985  ocv1  21986  lsmcss  21999  pjdm2  22018  pjff  22019  pjf2  22021  pjfo  22022  ocvpj  22024  obselocv  22035  obslbs  22037  phclm  25554  ipcau2  25556  tcphcphlem1  25557  tcphcphlem2  25558  tcphcph  25559  pjth  25761