Theorem phllmod 21966

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21965	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21411	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  LModclmod 21165  LVecclvec 21407  PreHilcphl 21960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446  df-lvec 21408  df-phl 21962

This theorem is used by:  iporthcom  21971  ip0l  21972  ip0r  21973  ipdir  21975  ipdi  21976  ip2di  21977  ipsubdir  21978  ipsubdi  21979  ip2subdi  21980  ipass  21981  ipassr  21982  ip2eq  21989  phssip  21994  phlssphl  21995  ocvlss  22008  ocvin  22010  ocvlsp  22012  ocvz  22014  ocv1  22015  lsmcss  22028  pjdm2  22047  pjff  22048  pjf2  22050  pjfo  22051  ocvpj  22053  obselocv  22064  obslbs  22066  phclm  25583  ipcau2  25585  tcphcphlem1  25586  tcphcphlem2  25587  tcphcph  25588  pjth  25790