Theorem phllmod 21589

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21588	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21062	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  LModclmod 20815  LVecclvec 21058  PreHilcphl 21583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363  df-lvec 21059  df-phl 21585

This theorem is referenced by:  iporthcom  21594  ip0l  21595  ip0r  21596  ipdir  21598  ipdi  21599  ip2di  21600  ipsubdir  21601  ipsubdi  21602  ip2subdi  21603  ipass  21604  ipassr  21605  ip2eq  21612  phssip  21617  phlssphl  21618  ocvlss  21631  ocvin  21633  ocvlsp  21635  ocvz  21637  ocv1  21638  lsmcss  21651  pjdm2  21670  pjff  21671  pjf2  21673  pjfo  21674  ocvpj  21676  obselocv  21687  obslbs  21689  phclm  25192  ipcau2  25194  tcphcphlem1  25195  tcphcphlem2  25196  tcphcph  25197  pjth  25399