Theorem phllmod 21183

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21182	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 20717	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  PreHilcphl 21177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-lvec 20714  df-phl 21179

This theorem is referenced by:  iporthcom  21188  ip0l  21189  ip0r  21190  ipdir  21192  ipdi  21193  ip2di  21194  ipsubdir  21195  ipsubdi  21196  ip2subdi  21197  ipass  21198  ipassr  21199  ip2eq  21206  phssip  21211  phlssphl  21212  ocvlss  21225  ocvin  21227  ocvlsp  21229  ocvz  21231  ocv1  21232  lsmcss  21245  pjdm2  21266  pjff  21267  pjf2  21269  pjfo  21270  ocvpj  21272  obselocv  21283  obslbs  21285  phclm  24749  ipcau2  24751  tcphcphlem1  24752  tcphcphlem2  24753  tcphcph  24754  pjth  24956