Theorem phllmod 21546

Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phllmod	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllvec 21545	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21020	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  LModclmod 20773  LVecclvec 21016  PreHilcphl 21540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-lvec 21017  df-phl 21542

This theorem is referenced by:  iporthcom  21551  ip0l  21552  ip0r  21553  ipdir  21555  ipdi  21556  ip2di  21557  ipsubdir  21558  ipsubdi  21559  ip2subdi  21560  ipass  21561  ipassr  21562  ip2eq  21569  phssip  21574  phlssphl  21575  ocvlss  21588  ocvin  21590  ocvlsp  21592  ocvz  21594  ocv1  21595  lsmcss  21608  pjdm2  21627  pjff  21628  pjf2  21630  pjfo  21631  ocvpj  21633  obselocv  21644  obslbs  21646  phclm  25139  ipcau2  25141  tcphcphlem1  25142  tcphcphlem2  25143  tcphcph  25144  pjth  25346