Theorem riinrab 5044

Description: Relative intersection of a relative abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riinrab	⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑}

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem riinrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 5042	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = 𝐴)
2		rzal 4450	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑)
3	2	ralrimivw 3158	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑)
4		rabid2 3444	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑)
5	3, 4	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → 𝐴 = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑})
6	1, 5	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑})
7		ssrab2 4028	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
8	7	rgenw 3080	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴
9		riinn0 5043	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
10	8, 9	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑})
11		iinrab 5027	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑})
12	10, 11	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑})
13	6, 12	pm2.61ine 3038	1 ⊢ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑋 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑}) = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝜑}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-iin 4954

This theorem is used by:  acsfn1  17782  acsfn1c  17783  acsfn2  17784  cntziinsn  19498  acsfn1p  21003  csscld  25517