MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn2 17606
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐸,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4609 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
2 ralss 4054 . . . . . 6 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž)))
3 ralss 4054 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))))
4 r19.21v 3179 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž))
5 impexp 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
6 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
7 vex 3478 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
86, 7prss 4823 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) ↔ {𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž)
98imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
105, 9bitr3i 276 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)) ↔ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
1110ralbii 3093 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
123, 4, 113bitr3g 312 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
1312ralbidv 3177 . . . . . 6 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
142, 13bitrd 278 . . . . 5 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
151, 14syl 17 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
1615rabbiia 3436 . . 3 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
17 riinrab 5087 . . 3 (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
1816, 17eqtr4i 2763 . 2 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)})
19 mreacs 17601 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
20 riinrab 5087 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
2119ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑋)
24 prssi 4824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
2524ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
2625ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
27 prfi 9321 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29 acsfn 17602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3022, 23, 26, 28, 29syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3130expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 ∈ 𝑋 β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3231ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3332imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
34 mreriincl 17541 . . . . . . . 8 (((ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3521, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3620, 35eqeltrrid 2838 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3736ex 413 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3837ralimdva 3167 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3938imp 407 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
40 mreriincl 17541 . . 3 (((ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
4119, 39, 40syl2an2r 683 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
4218, 41eqeltrid 2837 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {cpr 4630  βˆ© ciin 4998  β€˜cfv 6543  Fincfn 8938  Moorecmre 17525  ACScacs 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532
This theorem is referenced by:  submacs  18707  submgmacs  46564
  Copyright terms: Public domain W3C validator