MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn2 17607
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐸,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4610 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
2 ralss 4055 . . . . . 6 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž)))
3 ralss 4055 . . . . . . . 8 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))))
4 r19.21v 3180 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž))
5 impexp 452 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
6 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
7 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
86, 7prss 4824 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) ↔ {𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž)
98imbi1i 350 . . . . . . . . . 10 (((𝑐 ∈ π‘Ž ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
105, 9bitr3i 277 . . . . . . . . 9 ((𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)) ↔ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
1110ralbii 3094 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž))
123, 4, 113bitr3g 313 . . . . . . 7 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ ((𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
1312ralbidv 3178 . . . . . 6 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
142, 13bitrd 279 . . . . 5 (π‘Ž βŠ† 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
151, 14syl 17 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)))
1615rabbiia 3437 . . 3 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
17 riinrab 5088 . . 3 (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
1816, 17eqtr4i 2764 . 2 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)})
19 mreacs 17602 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
20 riinrab 5088 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}
2119ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑋)
24 prssi 4825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
2524ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
2625ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋)
27 prfi 9322 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29 acsfn 17603 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} βŠ† 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3022, 23, 26, 28, 29syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3130expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 ∈ 𝑋 β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3231ralimdva 3168 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3332imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
34 mreriincl 17542 . . . . . . . 8 (((ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3521, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3620, 35eqeltrrid 2839 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
3736ex 414 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3837ralimdva 3168 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)))
3938imp 408 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
40 mreriincl 17542 . . 3 (((ACSβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
4119, 39, 40syl2an2r 684 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} βŠ† π‘Ž β†’ 𝐸 ∈ π‘Ž)}) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
4218, 41eqeltrid 2838 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑋 βˆ€π‘ ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝐸 ∈ π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {cpr 4631  βˆ© ciin 4999  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Moorecmre 17526  ACScacs 17529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533
This theorem is referenced by:  submacs  18708  submgmacs  46622
  Copyright terms: Public domain W3C validator