Theorem acsfn2 17569

Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4558	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 4010	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎)))
3		ralss 4010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))))
4		r19.21v 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎))
5		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
6		vex 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑐 ∈ V
7		vex 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	prss 4771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
9	8	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
10	5, 9	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
11	10	ralbii 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
12	3, 4, 11	3bitr3g 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → ((𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
13	12	ralbidv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
14	2, 13	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
15	1, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
16	15	rabbiia 3398	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
17		riinrab 5033	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
18	16, 17	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
19		mreacs 17564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
20		riinrab 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
21	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝑋)
24		prssi 4772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
26	25	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
27		prfi 9213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29		acsfn 17565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
30	22, 23, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
31	30	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
32	31	ralimdva 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
33	32	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
34		mreriincl 17500	. . . . . . . 8 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
35	21, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
36	20, 35	eqeltrrid 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
38	37	ralimdva 3141	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
39	38	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
40		mreriincl 17500	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
41	19, 39, 40	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
42	18, 41	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ∩ ciin 4942  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  Moorecmre 17484  ACScacs 17487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873  df-fin 8876  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491

This theorem is referenced by:  submgmacs  18591  submacs  18701