MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn2 17370
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4548 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2 ralss 3996 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎)))
3 ralss 3996 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 → (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎))))
4 r19.21v 3103 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎))
5 impexp 451 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
6 vex 3435 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
7 vex 3435 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
86, 7prss 4759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎𝑏𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
98imbi1i 350 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
105, 9bitr3i 276 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
1110ralbii 3093 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
123, 4, 113bitr3g 313 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → ((𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1312ralbidv 3123 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
142, 13bitrd 278 . . . . 5 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
151, 14syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1615rabbiia 3405 . . 3 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
17 riinrab 5018 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
1816, 17eqtr4i 2771 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)})
19 mreacs 17365 . . 3 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
20 riinrab 5018 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2119ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝑋𝑉)
23 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝐸𝑋)
24 prssi 4760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑋𝑏𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2524ancoms 459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑋𝑐𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2625ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
27 prfi 9067 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29 acsfn 17366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3022, 23, 26, 28, 29syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3130expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3231ralimdva 3105 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3332imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
34 mreriincl 17305 . . . . . . . 8 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3521, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3620, 35eqeltrrid 2846 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3736ex 413 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3837ralimdva 3105 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3938imp 407 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
40 mreriincl 17305 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4119, 39, 40syl2an2r 682 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4218, 41eqeltrid 2845 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2110  wral 3066  {crab 3070  cin 3891  wss 3892  𝒫 cpw 4539  {cpr 4569   ciin 4931  cfv 6432  Fincfn 8716  Moorecmre 17289  ACScacs 17292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-om 7707  df-1o 8288  df-en 8717  df-fin 8720  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296
This theorem is referenced by:  submacs  18463  submgmacs  45327
  Copyright terms: Public domain W3C validator