Theorem acsfn2 17624

Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4570	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎)))
3		ralss 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))))
4		r19.21v 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎))
5		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
6		vex 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑐 ∈ V
7		vex 3451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	prss 4784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
9	8	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
10	5, 9	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
11	10	ralbii 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
12	3, 4, 11	3bitr3g 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → ((𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
13	12	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
14	2, 13	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
15	1, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
16	15	rabbiia 3409	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
17		riinrab 5048	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
18	16, 17	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
19		mreacs 17619	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
20		riinrab 5048	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
21	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝑋)
24		prssi 4785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
26	25	ad2ant2lr 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
27		prfi 9274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29		acsfn 17620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
30	22, 23, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
31	30	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
32	31	ralimdva 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
33	32	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
34		mreriincl 17559	. . . . . . . 8 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
35	21, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
36	20, 35	eqeltrrid 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
38	37	ralimdva 3145	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
39	38	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
40		mreriincl 17559	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
41	19, 39, 40	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
42	18, 41	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {cpr 4591  ∩ ciin 4956  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  Moorecmre 17543  ACScacs 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-fin 8922  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550

This theorem is referenced by:  submgmacs  18644  submacs  18754