Theorem acsfn2 17721

Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4629	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎)))
3		ralss 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))))
4		r19.21v 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑎 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎))
5		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
6		vex 3492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑐 ∈ V
7		vex 3492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑏 ∈ V
8	6, 7	prss 4845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
9	8	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑐 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
10	5, 9	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
11	10	ralbii 3099	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑐 ∈ 𝑎 → (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
12	3, 4, 11	3bitr3g 313	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → ((𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
13	12	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
14	2, 13	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
15	1, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
16	15	rabbiia 3447	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
17		riinrab 5107	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
18	16, 17	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
19		mreacs 17716	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
20		riinrab 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
21	19	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → 𝐸 ∈ 𝑋)
24		prssi 4846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
26	25	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
27		prfi 9391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
29		acsfn 17717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
30	22, 23, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
31	30	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
32	31	ralimdva 3173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
33	32	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
34		mreriincl 17656	. . . . . . . 8 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
35	21, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑐 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
36	20, 35	eqeltrrid 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
38	37	ralimdva 3173	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
39	38	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
40		mreriincl 17656	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
41	19, 39, 40	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
42	18, 41	eqeltrid 2848	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ∩ ciin 5016  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  Moorecmre 17640  ACScacs 17643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-fin 9007  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647

This theorem is referenced by:  submgmacs  18755  submacs  18862