Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acsfn1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1p 38295
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4730 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2 elpwi 4307 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
32ssrind 3988 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
43adantl 467 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
5 ralss 3817 . . . . . 6 ((𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
7 inss2 3982 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
87sseli 3748 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑌)
98biantrud 515 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌)))
10 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
1110snss 4451 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
1211bicomi 214 . . . . . . . 8 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏𝑎)
13 elin 3947 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌))
149, 12, 133bitr4g 303 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏 ∈ (𝑎𝑌)))
1514imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
1615ralbiia 3128 . . . . 5 (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎))
176, 16syl6rbbr 279 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎))
1817rabbidva 3338 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
191, 18syl5eq 2817 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
20 mreacs 16526 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
2120adantr 466 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22 ssralv 3815 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋))
237, 22ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋)
24 simpll 742 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑋𝑉)
25 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝐸𝑋)
26 inss1 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2726sseli 3748 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑋)
2827ad2antlr 698 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑏𝑋)
2928snssd 4475 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
30 snfi 8194 . . . . . . . . 9 {𝑏} ∈ Fin
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
32 acsfn 16527 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3324, 25, 29, 31, 32syl22anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3433ex 397 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3534ralimdva 3111 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3623, 35syl5 34 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3736imp 393 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
38 mreriincl 16466 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3921, 37, 38syl2anc 565 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4019, 39eqeltrrd 2851 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297  {csn 4316   ciin 4655  cfv 6031  Fincfn 8109  Moorecmre 16450  ACScacs 16453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-en 8110  df-fin 8113  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator