MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1p 20817
Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 5089 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2 inss2 4246 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
32sseli 3991 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑌)
43biantrud 531 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌)))
5 vex 3482 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
65snss 4790 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
76bicomi 224 . . . . . . . 8 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏𝑎)
8 elin 3979 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌))
94, 7, 83bitr4g 314 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏 ∈ (𝑎𝑌)))
109imbi1d 341 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
1110ralbiia 3089 . . . . 5 (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎))
12 elpwi 4612 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
1312ssrind 4252 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
15 ralss 4070 . . . . . 6 ((𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
1711, 16bitr4id 290 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎))
1817rabbidva 3440 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
191, 18eqtrid 2787 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
20 mreacs 17703 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
2120adantr 480 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22 ssralv 4064 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋))
232, 22ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋)
24 simpll 767 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑋𝑉)
25 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝐸𝑋)
26 inss1 4245 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2726sseli 3991 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑋)
2827ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑏𝑋)
2928snssd 4814 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
30 snfi 9082 . . . . . . . . 9 {𝑏} ∈ Fin
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
32 acsfn 17704 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3324, 25, 29, 31, 32syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3433ex 412 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3534ralimdva 3165 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3623, 35syl5 34 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3736imp 406 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
38 mreriincl 17643 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3921, 37, 38syl2anc 584 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4019, 39eqeltrrd 2840 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   ciin 4997  cfv 6563  Fincfn 8984  Moorecmre 17627  ACScacs 17630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator