Theorem acsfn1p 21003

Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1p	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riinrab 5044	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
2		inss2 4183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
3	2	sseli 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑏 ∈ 𝑌)
4	3	biantrud 541	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑌)))
5		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑏 ∈ V
6	5	snss 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
7	6	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑏} ⊆ 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ 𝑎)
8		elin 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑏 ∈ 𝑌))
9	4, 7, 8	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → ({𝑏} ⊆ 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)))
10	9	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → (({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑎)))
11	10	ralbiia 3106	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑎))
12		elpwi 4564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
13	12	ssrind 4189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
15		ralss 4004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑌) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → (∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑎)))
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑎)))
17	11, 16	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎))
18	17	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎})
19	1, 18	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎})
20		mreacs 17779	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
22		ssralv 4000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑋))
23	2, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑋)
24		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝑋)
26		inss1 4182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
27	26	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝑏 ∈ 𝑋)
28	27	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑋)
29	28	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
30		snfi 9050	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑏} ∈ Fin
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
32		acsfn 17780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
33	24, 25, 29, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
34	33	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
35	34	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
36	23, 35	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
37	36	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
38		mreriincl 17715	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
39	21, 37, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ (𝑋 ∩ 𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
40	19, 39	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑌 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎 ∩ 𝑌)𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6528  Fincfn 8952  Moorecmre 17699  ACScacs 17702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-om 7862  df-1o 8455  df-en 8953  df-fin 8956  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706

This theorem is used by: (None)