Theorem csscld 23949

Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csscld.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csscld	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csscld.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 20449	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 20435	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 7, 8, 9, 1	ocvval 20432	. . . . 5 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
11	6, 10	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12		riinrab 4971	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	11, 12	eqtr4di 2811	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14		cphnlm 23873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16		nlmngp 23379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17		ngptps 23304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19		csscld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
20	5, 19	istps 21634	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
21	18, 20	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22		toponuni 21614	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
24	23	ineq1d 4116	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
25	4, 13, 24	3eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26		topontop 21613	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
27	21, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
28	6	sseli 3888	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29		fvex 6671	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
31	30	mptiniseg 6068	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
35	21	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
36	35	cnmptid 22361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
38	35, 35, 37	cnmptc 22362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	19, 33, 7, 34, 35, 36, 38	cnmpt1ip 23947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	33	cnfldhaus 23486	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41		cphclm 23890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
42	8	clm0 23773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45		0cn 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
46	44, 45	eqeltrrdi 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47		unicntop 23487	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
48	47	sncld 22071	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
49	40, 46, 48	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50		cnclima 21968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
51	39, 49, 50	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
52	32, 51	eqeltrrid 2857	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
53	28, 52	sylan2 595	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
54	53	ralrimiva 3113	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
56	55	riincld 21744	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
57	27, 54, 56	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
58	25, 57	eqeltrd 2852	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ∪ cuni 4798  ∩ ciin 4884   ↦ cmpt 5112  ^◡ccnv 5523   “ cima 5527  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  0cc0 10575  Basecbs 16541  Scalarcsca 16626  ·_𝑖cip 16628  TopOpenctopn 16753  0_gc0g 16771  ℂ_fldccnfld 20166  ocvcocv 20425  ClSubSpccss 20426  Topctop 21593  TopOnctopon 21610  TopSpctps 21632  Clsdccld 21716   Cn ccn 21924  Hauscha 22008  NrmGrpcngp 23279  NrmModcnlm 23282  ℂModcclm 23763  ℂPreHilccph 23867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-subrg 19601  df-staf 19684  df-srng 19685  df-lmod 19704  df-lmhm 19862  df-lvec 19943  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-phl 20391  df-ipf 20392  df-ocv 20428  df-css 20429  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-t1 22014  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-tng 23286  df-nlm 23288  df-clm 23764  df-cph 23869  df-tcph 23870

This theorem is referenced by:  cmscsscms  24073  cldcss  24141