Theorem csscld 25575

Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csscld.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csscld	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csscld.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21995	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21981	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 7, 8, 9, 1	ocvval 21978	. . . . 5 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
11	6, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12		riinrab 5043	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	11, 12	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14		cphnlm 25498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16		nlmngp 25001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17		ngptps 24926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19		csscld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
20	5, 19	istps 23257	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
21	18, 20	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22		toponuni 23237	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
24	23	ineq1d 4116	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
25	4, 13, 24	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26		topontop 23236	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
27	21, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
28	6	sseli 3904	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
31	30	mptiniseg 6240	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
35	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
36	35	cnmptid 23985	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
38	35, 35, 37	cnmptc 23986	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	19, 33, 7, 34, 35, 36, 38	cnmpt1ip 25573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	33	cnfldhaus 25108	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41		cphclm 25515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
42	8	clm0 25398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45		0cn 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
46	44, 45	eqeltrrdi 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47		unicntop 25109	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
48	47	sncld 23694	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
49	40, 46, 48	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50		cnclima 23591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
51	39, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
52	32, 51	eqeltrrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
53	28, 52	sylan2 605	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
54	53	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
56	55	riincld 23367	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
57	27, 54, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
58	25, 57	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4584  ∪ cuni 4866  ∩ ciin 4951   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  Basecbs 17392  Scalarcsca 17436  ·_𝑖cip 17438  TopOpenctopn 17597  0_gc0g 17615  ℂ_fldccnfld 21683  ocvcocv 21971  ClSubSpccss 21972  Topctop 23216  TopOnctopon 23233  TopSpctps 23255  Clsdccld 23339   Cn ccn 23547  Hauscha 23631  NrmGrpcngp 24901  NrmModcnlm 24904  ℂModcclm 25388  ℂPreHilccph 25492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-rhm 20707  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-drng 20987  df-staf 21101  df-srng 21102  df-lmod 21142  df-lmhm 21302  df-lvec 21383  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-phl 21937  df-ipf 21938  df-ocv 21974  df-css 21975  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-t1 23637  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-nm 24906  df-ngp 24907  df-tng 24908  df-nlm 24910  df-clm 25389  df-cph 25494  df-tcph 25495

This theorem is used by:  cmscsscms  25699  cldcss  25767