Theorem csscld 25389

Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csscld.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csscld	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csscld.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21815	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21801	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 7, 8, 9, 1	ocvval 21798	. . . . 5 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
11	6, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12		riinrab 5051	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	11, 12	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14		cphnlm 25312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16		nlmngp 24815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17		ngptps 24740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19		csscld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
20	5, 19	istps 23072	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
21	18, 20	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22		toponuni 23052	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
24	23	ineq1d 4173	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
25	4, 13, 24	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26		topontop 23051	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
27	21, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
28	6	sseli 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
31	30	mptiniseg 6242	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
35	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
36	35	cnmptid 23799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
38	35, 35, 37	cnmptc 23800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	19, 33, 7, 34, 35, 36, 38	cnmpt1ip 25387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	33	cnfldhaus 24922	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41		cphclm 25329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
42	8	clm0 25212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45		0cn 11199	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
46	44, 45	eqeltrrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47		unicntop 24923	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
48	47	sncld 23509	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
49	40, 46, 48	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50		cnclima 23406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
51	39, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
52	32, 51	eqeltrrid 2868	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
53	28, 52	sylan2 604	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
54	53	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
56	55	riincld 23182	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
57	27, 54, 56	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
58	25, 57	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ∪ cuni 4873  ∩ ciin 4958   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314  ·_𝑖cip 17316  TopOpenctopn 17475  0_gc0g 17493  ℂ_fldccnfld 21503  ocvcocv 21791  ClSubSpccss 21792  Topctop 23031  TopOnctopon 23048  TopSpctps 23070  Clsdccld 23154   Cn ccn 23362  Hauscha 23446  NrmGrpcngp 24715  NrmModcnlm 24718  ℂModcclm 25202  ℂPreHilccph 25306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-drng 20816  df-staf 20923  df-srng 20924  df-lmod 20964  df-lmhm 21124  df-lvec 21205  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-phl 21757  df-ipf 21758  df-ocv 21794  df-css 21795  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-t1 23452  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-tng 24722  df-nlm 24724  df-clm 25203  df-cph 25308  df-tcph 25309

This theorem is referenced by:  cmscsscms  25513  cldcss  25581