Theorem csscld 25550

Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csscld.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csscld	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csscld.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21970	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21956	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 7, 8, 9, 1	ocvval 21953	. . . . 5 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
11	6, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12		riinrab 5044	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	11, 12	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14		cphnlm 25473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16		nlmngp 24976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17		ngptps 24901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19		csscld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
20	5, 19	istps 23232	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
21	18, 20	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22		toponuni 23212	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
24	23	ineq1d 4165	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
25	4, 13, 24	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26		topontop 23211	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
27	21, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
28	6	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29		fvex 6890	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
31	30	mptiniseg 6233	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
35	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
36	35	cnmptid 23960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
38	35, 35, 37	cnmptc 23961	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	19, 33, 7, 34, 35, 36, 38	cnmpt1ip 25548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	33	cnfldhaus 25083	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41		cphclm 25490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
42	8	clm0 25373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45		0cn 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
46	44, 45	eqeltrrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47		unicntop 25084	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
48	47	sncld 23669	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
49	40, 46, 48	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50		cnclima 23566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
51	39, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
52	32, 51	eqeltrrid 2866	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
53	28, 52	sylan2 605	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
54	53	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
56	55	riincld 23342	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
57	27, 54, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
58	25, 57	eqeltrd 2861	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ∩ ciin 4952   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411  ·_𝑖cip 17413  TopOpenctopn 17572  0_gc0g 17590  ℂ_fldccnfld 21658  ocvcocv 21946  ClSubSpccss 21947  Topctop 23191  TopOnctopon 23208  TopSpctps 23230  Clsdccld 23314   Cn ccn 23522  Hauscha 23606  NrmGrpcngp 24876  NrmModcnlm 24879  ℂModcclm 25363  ℂPreHilccph 25467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-staf 21076  df-srng 21077  df-lmod 21117  df-lmhm 21277  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-phl 21912  df-ipf 21913  df-ocv 21949  df-css 21950  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-t1 23612  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-nm 24881  df-ngp 24882  df-tng 24883  df-nlm 24885  df-clm 25364  df-cph 25469  df-tcph 25470

This theorem is used by:  cmscsscms  25674  cldcss  25742