MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem csscld 25195
Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
csscld.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
csscld ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Proof of Theorem csscld
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
2 csscld.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2cssi 21621 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝐢 β†’ 𝑆 = ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)))
43adantl 480 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 = ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)))
5 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65, 1ocvss 21607 . . . . 5 ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2727 . . . . . 6 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
8 eqid 2727 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 eqid 2727 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
105, 7, 8, 9, 1ocvval 21604 . . . . 5 (((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
116, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
12 riinrab 5089 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}
1311, 12eqtr4di 2785 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
14 cphnlm 25118 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
16 nlmngp 24612 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
17 ngptps 24529 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ TopSp)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ π‘Š ∈ TopSp)
19 csscld.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
205, 19istps 22854 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2118, 20sylib 217 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
22 toponuni 22834 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆͺ 𝐽)
2423ineq1d 4211 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
254, 13, 243eqtrd 2771 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 = (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
26 topontop 22833 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2721, 26syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
286sseli 3976 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
29 fvex 6913 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V
30 eqid 2727 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦))
3130mptiniseg 6246 . . . . . . 7 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}
33 eqid 2727 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
34 simpll 765 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
3521adantr 479 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
3635cnmptid 23583 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ π‘₯) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3835, 35, 37cnmptc 23584 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 25193 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4033cnfldhaus 24719 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
41 cphclm 25135 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
428clm0 25017 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4443ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
45 0cn 11242 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
4644, 45eqeltrrdi 2837 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
47 unicntop 24720 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4847sncld 23293 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus ∧ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ β„‚) β†’ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4940, 46, 48sylancr 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
50 cnclima 23190 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5139, 49, 50syl2anc 582 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5232, 51eqeltrrid 2833 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5328, 52sylan2 591 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5453ralrimiva 3142 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
55 eqid 2727 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5655riincld 22966 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5727, 54, 56syl2anc 582 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5825, 57eqeltrd 2828 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4630  βˆͺ cuni 4910  βˆ© ciin 4999   ↦ cmpt 5233  β—‘ccnv 5679   β€œ cima 5683  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  0cc0 11144  Basecbs 17185  Scalarcsca 17241  Β·π‘–cip 17243  TopOpenctopn 17408  0gc0g 17426  β„‚fldccnfld 21284  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598  Topctop 22813  TopOnctopon 22830  TopSpctps 22852  Clsdccld 22938   Cn ccn 23146  Hauscha 23230  NrmGrpcngp 24504  NrmModcnlm 24507  β„‚Modcclm 25007  β„‚PreHilccph 25112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-phl 21563  df-ipf 21564  df-ocv 21600  df-css 21601  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-t1 23236  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-tng 24511  df-nlm 24513  df-clm 25008  df-cph 25114  df-tcph 25115
This theorem is referenced by:  cmscsscms  25319  cldcss  25387
  Copyright terms: Public domain W3C validator