Theorem csscld 25483

Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
csscld.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
csscld	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2		csscld.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3	1, 2	cssi 21903	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐶 → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5, 1	ocvss 21889	. . . . 5 ⊢ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	5, 7, 8, 9, 1	ocvval 21886	. . . . 5 ⊢ (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
11	6, 10	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12		riinrab 5048	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	11, 12	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14		cphnlm 25406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16		nlmngp 24909	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17		ngptps 24834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19		csscld.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
20	5, 19	istps 23165	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
21	18, 20	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22		toponuni 23145	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
23	21, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (Base‘𝑊) = ∪ 𝐽)
24	23	ineq1d 4168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
25	4, 13, 24	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 = (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26		topontop 23144	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
27	21, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
28	6	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
31	30	mptiniseg 6239	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
35	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
36	35	cnmptid 23893	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
38	35, 35, 37	cnmptc 23894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
39	19, 33, 7, 34, 35, 36, 38	cnmpt1ip 25481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
40	33	cnfldhaus 25016	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41		cphclm 25423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
42	8	clm0 25306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45		0cn 11226	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
46	44, 45	eqeltrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47		unicntop 25017	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
48	47	sncld 23602	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
49	40, 46, 48	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50		cnclima 23499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
51	39, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
52	32, 51	eqeltrrid 2867	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
53	28, 52	sylan2 605	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
54	53	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
56	55	riincld 23275	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
57	27, 54, 56	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → (∪ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
58	25, 57	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ∪ cuni 4870  ∩ ciin 4955   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351  ·_𝑖cip 17353  TopOpenctopn 17512  0_gc0g 17530  ℂ_fldccnfld 21591  ocvcocv 21879  ClSubSpccss 21880  Topctop 23124  TopOnctopon 23141  TopSpctps 23163  Clsdccld 23247   Cn ccn 23455  Hauscha 23539  NrmGrpcngp 24809  NrmModcnlm 24812  ℂModcclm 25296  ℂPreHilccph 25400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-staf 21011  df-srng 21012  df-lmod 21052  df-lmhm 21212  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-cnfld 21592  df-phl 21845  df-ipf 21846  df-ocv 21882  df-css 21883  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-t1 23545  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-nm 24814  df-ngp 24815  df-tng 24816  df-nlm 24818  df-clm 25297  df-cph 25402  df-tcph 25403

This theorem is used by:  cmscsscms  25607  cldcss  25675