MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem csscld 25128
Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
csscld.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
csscld ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Proof of Theorem csscld
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
2 csscld.c . . . . 5 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2cssi 21573 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝐢 β†’ 𝑆 = ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)))
43adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 = ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)))
5 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65, 1ocvss 21559 . . . . 5 ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Β·π‘–β€˜π‘Š) = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
105, 7, 8, 9, 1ocvval 21556 . . . . 5 (((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
116, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
12 riinrab 5080 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)(π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}
1311, 12eqtr4di 2784 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) = ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
14 cphnlm 25051 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
16 nlmngp 24545 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
17 ngptps 24462 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ TopSp)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ π‘Š ∈ TopSp)
19 csscld.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
205, 19istps 22787 . . . . . 6 (π‘Š ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
2118, 20sylib 217 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
22 toponuni 22767 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = βˆͺ 𝐽)
2423ineq1d 4206 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
254, 13, 243eqtrd 2770 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 = (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
26 topontop 22766 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2721, 26syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝐽 ∈ Top)
286sseli 3973 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
29 fvex 6897 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V
30 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦))
3130mptiniseg 6231 . . . . . . 7 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ V β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}
33 eqid 2726 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
34 simpll 764 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
3521adantr 480 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Š)))
3635cnmptid 23516 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ π‘₯) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
3835, 35, 37cnmptc 23517 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 25126 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4033cnfldhaus 24652 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
41 cphclm 25068 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
428clm0 24950 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4443ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
45 0cn 11207 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
4644, 45eqeltrrdi 2836 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ β„‚)
47 unicntop 24653 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4847sncld 23226 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus ∧ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ β„‚) β†’ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4940, 46, 48sylancr 586 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
50 cnclima 23123 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5139, 49, 50syl2anc 583 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ↦ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦)) β€œ {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5232, 51eqeltrrid 2832 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5328, 52sylan2 592 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) ∧ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†)) β†’ {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
5453ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½))
55 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5655riincld 22899 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))} ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5727, 54, 56syl2anc 583 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ (βˆͺ 𝐽 ∩ ∩ 𝑦 ∈ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘†){π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∣ (π‘₯(Β·π‘–β€˜π‘Š)𝑦) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5825, 57eqeltrd 2827 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝑆 ∈ 𝐢) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  βˆ© ciin 4991   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  Β·π‘–cip 17209  TopOpenctopn 17374  0gc0g 17392  β„‚fldccnfld 21236  ocvcocv 21549  ClSubSpccss 21550  Topctop 22746  TopOnctopon 22763  TopSpctps 22785  Clsdccld 22871   Cn ccn 23079  Hauscha 23163  NrmGrpcngp 24437  NrmModcnlm 24440  β„‚Modcclm 24940  β„‚PreHilccph 25045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-staf 20686  df-srng 20687  df-lmod 20706  df-lmhm 20868  df-lvec 20949  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-phl 21515  df-ipf 21516  df-ocv 21552  df-css 21553  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-t1 23169  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-nm 24442  df-ngp 24443  df-tng 24444  df-nlm 24446  df-clm 24941  df-cph 25047  df-tcph 25048
This theorem is referenced by:  cmscsscms  25252  cldcss  25320
  Copyright terms: Public domain W3C validator