MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csscld 23779
Description: A "closed subspace" in a subcomplex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
csscld.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
csscld ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 csscld.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 20756 . . . 4 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65, 1ocvss 20742 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7 eqid 2818 . . . . . 6 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
8 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2818 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
105, 7, 8, 9, 1ocvval 20739 . . . . 5 (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
116, 10mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12 riinrab 4997 . . . 4 ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
1311, 12syl6eqr 2871 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14 cphnlm 23703 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16 nlmngp 23213 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17 ngptps 23138 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19 csscld.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
205, 19istps 21470 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
2118, 20sylib 219 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22 toponuni 21450 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2423ineq1d 4185 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
254, 13, 243eqtrd 2857 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26 topontop 21449 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
2721, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
286sseli 3960 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 fvex 6676 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
3130mptiniseg 6086 . . . . . . 7 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33 eqid 2818 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3521adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
3635cnmptid 22197 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
3835, 35, 37cnmptc 22198 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 23777 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4033cnfldhaus 23320 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41 cphclm 23720 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
428clm0 23603 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4443ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45 0cn 10621 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
4644, 45syl6eqelr 2919 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
47 unicntop 23321 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4847sncld 21907 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4940, 46, 48sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
50 cnclima 21804 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5139, 49, 50syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5232, 51eqeltrrid 2915 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5328, 52sylan2 592 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5453ralrimiva 3179 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
55 eqid 2818 . . . 4 𝐽 = 𝐽
5655riincld 21580 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5727, 54, 56syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5825, 57eqeltrd 2910 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  {csn 4557   cuni 4830   ciin 4911  cmpt 5137  ccnv 5547  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  ·𝑖cip 16558  TopOpenctopn 16683  0gc0g 16701  fldccnfld 20473  ocvcocv 20732  ClSubSpccss 20733  Topctop 21429  TopOnctopon 21446  TopSpctps 21468  Clsdccld 21552   Cn ccn 21760  Hauscha 21844  NrmGrpcngp 23114  NrmModcnlm 23117  ℂModcclm 23593  ℂPreHilccph 23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-ipf 20699  df-ocv 20735  df-css 20736  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-t1 21850  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-tng 23121  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699  df-tcph 23700
This theorem is referenced by:  cmscsscms  23903  cldcss  23971
  Copyright terms: Public domain W3C validator