Theorem acsfn1c 17568

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1c	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riinrab 5033	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}
2		mreacs 17564	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
3		acsfn1 17567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
5	4	ralimdv 3143	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
7		mreriincl 17500	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
8	2, 6, 7	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
9	1, 8	eqeltrrid 2833	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ∩ cin 3902  𝒫 cpw 4551  ∩ ciin 4942  ‘cfv 6482  Moorecmre 17484  ACScacs 17487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-fin 8876  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491

This theorem is referenced by:  nsgacs  19041  lssacs  20870