MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1c 16634
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 4784 . 2 (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎}
2 mreacs 16630 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
32adantr 473 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
4 acsfn1 16633 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
54ex 402 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
65ralimdv 3142 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
76imp 396 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
8 mreriincl 16570 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
93, 7, 8syl2anc 580 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
101, 9syl5eqelr 2881 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wcel 2157  wral 3087  {crab 3091  cin 3766  𝒫 cpw 4347   ciin 4709  cfv 6099  Moorecmre 16554  ACScacs 16557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-om 7298  df-1o 7797  df-en 8194  df-fin 8197  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561
This theorem is referenced by:  nsgacs  17940  lssacs  19285
  Copyright terms: Public domain W3C validator