Theorem acsfn1c 17587

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1c	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riinrab 5079	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}
2		mreacs 17583	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
3		acsfn1 17586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
4	3	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
5	4	ralimdv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
6	5	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
7		mreriincl 17523	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
8	2, 6, 7	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
9	1, 8	eqeltrrid 2837	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  {crab 3431   ∩ cin 3942  𝒫 cpw 4595  ∩ ciin 4990  ‘cfv 6531  Moorecmre 17507  ACScacs 17510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7838  df-1o 8447  df-en 8922  df-fin 8925  df-mre 17511  df-mrc 17512  df-acs 17514

This theorem is referenced by:  nsgacs  19013  lssacs  20524