Theorem acsfn1c 17752

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1c	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riinrab 5048	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}
2		mreacs 17748	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
3		acsfn1 17751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
4	3	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
5	4	ralimdv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
6	5	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
7		mreriincl 17684	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
8	2, 6, 7	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
9	1, 8	eqeltrrid 2867	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4560  ∩ ciin 4955  ‘cfv 6537  Moorecmre 17668  ACScacs 17671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7866  df-1o 8458  df-en 8956  df-fin 8959  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675

This theorem is used by:  nsgacs  19284  lssacs  21150