MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1c 17705
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1c ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c
StepHypRef Expression
1 riinrab 5084 . 2 (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎}
2 mreacs 17701 . . 3 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
3 acsfn1 17704 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
43ex 412 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
54ralimdv 3169 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
65imp 406 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
7 mreriincl 17641 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
82, 6, 7syl2an2r 685 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
91, 8eqeltrrid 2846 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝐾𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝐾𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  cin 3950  𝒫 cpw 4600   ciin 4992  cfv 6561  Moorecmre 17625  ACScacs 17628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632
This theorem is referenced by:  nsgacs  19180  lssacs  20965
  Copyright terms: Public domain W3C validator