Theorem acsfn1c 16927

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition with additional constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1c	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riinrab 4999	. 2 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}
2		mreacs 16923	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
3		acsfn1 16926	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
4	3	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
5	4	ralimdv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)))
6	5	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
7		mreriincl 16863	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
8	2, 6, 7	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝐾 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎}) ∈ (ACS‘𝑋))
9	1, 8	eqeltrrid 2918	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝐾 ∀𝑐 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   ∩ cin 3935  𝒫 cpw 4539  ∩ ciin 4913  ‘cfv 6350  Moorecmre 16847  ACScacs 16850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-en 8504  df-fin 8507  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854

This theorem is referenced by:  nsgacs  18308  lssacs  19733