MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1 17706
Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1
StepHypRef Expression
1 elpwi 4612 . . . . . 6 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2 ralss 4070 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
4 vex 3482 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
54snss 4790 . . . . . . 7 (𝑏𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
65imbi1i 349 . . . . . 6 ((𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
76ralbii 3091 . . . . 5 (∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
83, 7bitrdi 287 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
98rabbiia 3437 . . 3 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
10 riinrab 5089 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
119, 10eqtr4i 2766 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} = (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)})
12 mreacs 17703 . . 3 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
13 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑋𝑉)
14 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → 𝐸𝑋)
15 snssi 4813 . . . . . . . 8 (𝑏𝑋 → {𝑏} ⊆ 𝑋)
1615ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
17 snfi 9082 . . . . . . . 8 {𝑏} ∈ Fin
1817a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
19 acsfn 17704 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
2013, 14, 16, 18, 19syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
2120ex 412 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
2221ralimdva 3165 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
2322imp 406 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
24 mreriincl 17643 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
2512, 23, 24syl2an2r 685 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
2611, 25eqeltrid 2843 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   ciin 4997  cfv 6563  Fincfn 8984  Moorecmre 17627  ACScacs 17630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634
This theorem is referenced by:  acsfn1c  17707  subgacs  19192  sdrgacs  20819
  Copyright terms: Public domain W3C validator