Theorem acsfn1 17707

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
4		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	snss 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
6	5	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
7	6	ralbii 3111	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
8	3, 7	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
9	8	rabbiia 3421	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
10		riinrab 5046	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
11	9, 10	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
12		mreacs 17704	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
13		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝑋)
15		snssi 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑋 → {𝑏} ⊆ 𝑋)
16	15	ad2antlr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
17		snfi 9028	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
19		acsfn 17705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
21	20	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
22	21	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
23	22	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
24		mreriincl 17640	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
25	12, 23, 24	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
26	11, 25	eqeltrid 2869	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∩ ciin 4953  ‘cfv 6525  Fincfn 8931  Moorecmre 17624  ACScacs 17627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-en 8932  df-fin 8935  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631

This theorem is referenced by:  acsfn1c  17708  subgacs  19218  sdrgacs  20873