Theorem acsfn1 17370

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4542	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 3991	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
4		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	snss 4719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
6	5	imbi1i 350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
7	6	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
8	3, 7	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
9	8	rabbiia 3407	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
10		riinrab 5013	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
11	9, 10	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
12		mreacs 17367	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
13		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝑋)
15		snssi 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑋 → {𝑏} ⊆ 𝑋)
16	15	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
17		snfi 8834	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
19		acsfn 17368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
21	20	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
22	21	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
23	22	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
24		mreriincl 17307	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
25	12, 23, 24	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
26	11, 25	eqeltrid 2843	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ∩ ciin 4925  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  Moorecmre 17291  ACScacs 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298

This theorem is referenced by:  acsfn1c  17371  subgacs  18789  sdrgacs  20069