Theorem acsfn1 17797

Description: Algebraicity of a one-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn1	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑎 ⊆ 𝑋)
2		ralss 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
4		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
5	4	snss 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
6	5	imbi1i 352	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
7	6	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝑏 ∈ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎))
8	3, 7	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)))
9	8	rabbiia 3416	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
10		riinrab 5043	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}
11	9, 10	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} = (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)})
12		mreacs 17794	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
13		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ 𝑋)
15		snssi 4745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑋 → {𝑏} ⊆ 𝑋)
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
17		snfi 9049	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏} ∈ Fin
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
19		acsfn 17795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
20	13, 14, 16, 18, 19	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝐸 ∈ 𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
22	21	ralimdva 3174	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋 → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
23	22	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
24		mreriincl 17730	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
25	12, 23, 24	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑏 ∈ 𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎 → 𝐸 ∈ 𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
26	11, 25	eqeltrid 2864	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 𝐸 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ 𝑎 𝐸 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556  {csn 4583  ∩ ciin 4951  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  Moorecmre 17714  ACScacs 17717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-en 8952  df-fin 8955  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721

This theorem is used by:  acsfn1c  17798  subgacs  19333  sdrgacs  21020