Theorem rrexthaus 34639

Description: The topology of an extension of ℝ is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrexthaus.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrexthaus	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem rrexthaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrextnrg 34633	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgngp 24981	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		ngpxms 24920	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		rrexthaus.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
8	5, 6, 7	xmstopn 24770	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
10	6, 7	xmsxmet 24775	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
12	11	methaus 24839	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
13	4, 10, 12	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
14	9, 13	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  distcds 17437  TopOpenctopn 17592  ∞Metcxmet 21663  MetOpencmopn 21668  Hauscha 23626  ∞MetSpcxms 24636  NrmGrpcngp 24896  NrmRingcnrg 24898   ℝExt crrext 34626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-haus 23633  df-xms 24639  df-ms 24640  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-rrext 34631

This theorem is used by:  rrhqima  34646