Theorem rrexthaus 34170

Description: The topology of an extension of ℝ is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrexthaus.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrexthaus	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem rrexthaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrextnrg 34164	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgngp 24640	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		ngpxms 24579	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		rrexthaus.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
8	5, 6, 7	xmstopn 24429	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
10	6, 7	xmsxmet 24434	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
12	11	methaus 24498	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
13	4, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
14	9, 13	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  distcds 17223  TopOpenctopn 17378  ∞Metcxmet 21332  MetOpencmopn 21337  Hauscha 23286  ∞MetSpcxms 24295  NrmGrpcngp 24555  NrmRingcnrg 24557   ℝExt crrext 34157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-icc 13299  df-topgen 17400  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-haus 23293  df-xms 24298  df-ms 24299  df-ngp 24561  df-nrg 24563  df-rrext 34162

This theorem is referenced by:  rrhqima  34177