Theorem rrexthaus 33988

Description: The topology of an extension of ℝ is Hausdorff. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrexthaus.1	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrexthaus	⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Proof of Theorem rrexthaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrextnrg 33982	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgngp 24531	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		ngpxms 24470	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		rrexthaus.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
8	5, 6, 7	xmstopn 24320	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9	4, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
10	6, 7	xmsxmet 24325	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
12	11	methaus 24389	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
13	4, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) ∈ Haus)
14	9, 13	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝExt → 𝐾 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5611   ↾ cres 5615  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  distcds 17157  TopOpenctopn 17312  ∞Metcxmet 21230  MetOpencmopn 21235  Hauscha 23177  ∞MetSpcxms 24186  NrmGrpcngp 24446  NrmRingcnrg 24448   ℝExt crrext 33975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-icc 13243  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-haus 23184  df-xms 24189  df-ms 24190  df-ngp 24452  df-nrg 24454  df-rrext 33980

This theorem is referenced by:  rrhqima  33995