Theorem sltsex1 27769

Description: The first argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltsex1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sltsex1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brslts 27768	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpll 767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   No csur 27617   <s clts 27618   <<s cslts 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5630  df-slts 27764

This theorem is referenced by:  ssslts1  27779  ssslts2  27780  conway  27785  cutsval  27786  sltstr  27793  sltsun1  27794  sltsun2  27795  etaslts  27799  etaslts2  27800  cutbdaybnd2lim  27803  lesrec  27805  eqcuts3  27810  madecut  27889  coinitslts  27925  cofcut1  27926  cofcutr  27930  cutlt  27938  addsuniflem  28007  negsunif  28061  sltmuls1  28153  sltmuls2  28154  precsexlem11  28223