Theorem sltmuls1 28155

Description: One surreal set less-than relationship for cuts of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltmuls1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
sltmuls1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
sltmuls1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
sltmuls1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
sltmuls1	⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) <<s {(𝐴 ·s 𝐵)})

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐴,𝑝,𝑞   𝐴,𝑟,𝑠   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐵,𝑝,𝑞   𝐵,𝑟,𝑠   𝐿,𝑎,𝑝,𝑞   𝑀,𝑎,𝑝,𝑞   𝑅,𝑏,𝑟,𝑠   𝑆,𝑏,𝑟,𝑠   𝜑,𝑝,𝑎,𝑞   𝜑,𝑏,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑆(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑠,𝑟,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑟,𝑏)

Proof of Theorem sltmuls1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)))
2	1	rnmpo 7501	. . . 4 ⊢ ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) = {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))}
3		sltmuls1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
4		sltsex1 27771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
6		sltmuls1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
7		sltsex1 27771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ∈ V)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ V)
9	1	mpoexg 8030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) → (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
11		rnexg 7854	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V → ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑝 ∈ 𝐿, 𝑞 ∈ 𝑀 ↦ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∈ V)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) = (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)))
15	14	rnmpo 7501	. . . 4 ⊢ ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) = {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}
16		sltsex2 27772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
17	3, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
18		sltsex2 27772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ∈ V)
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
20	14	mpoexg 8030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
21	17, 19, 20	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
22		rnexg 7854	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V → ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
23	21, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) ∈ V)
24	15, 23	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ∈ V)
25	13, 24	unexd 7709	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ∈ V)
26		snex 5385	. . 3 ⊢ {(𝐴 ·s 𝐵)} ∈ V
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 ·s 𝐵)} ∈ V)
28		sltsss1 27773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐿 ⊆ No )
31		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 ∈ 𝐿)
32	30, 31	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 ∈ No )
33		sltmuls1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
34	6	cutscld 27791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 |s 𝑆) ∈ No )
35	33, 34	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
36	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐵 ∈ No )
37	32, 36	mulscld 28143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑝 ·s 𝐵) ∈ No )
38		sltmuls1.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
39	3	cutscld 27791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) ∈ No )
40	38, 39	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐴 ∈ No )
42		sltsss1 27773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
43	6, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑀 ⊆ No )
45		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 ∈ 𝑀)
46	44, 45	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 ∈ No )
47	41, 46	mulscld 28143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝐴 ·s 𝑞) ∈ No )
48	37, 47	addscld 27988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) ∈ No )
49	32, 46	mulscld 28143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑝 ·s 𝑞) ∈ No )
50	48, 49	subscld 28071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No )
51		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → (𝑎 ∈ No ↔ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No ))
52	50, 51	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑎 ∈ No ))
53	52	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑎 ∈ No ))
54	53	abssdv 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ⊆ No )
55		sltsss2 27774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑅 ⊆ No )
58		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑟 ∈ 𝑅)
59	57, 58	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑟 ∈ No )
60	35	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ No )
61	59, 60	mulscld 28143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑟 ·s 𝐵) ∈ No )
62	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ No )
63		sltsss2 27774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
64	6, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ No )
66		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 ∈ 𝑆)
67	65, 66	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 ∈ No )
68	62, 67	mulscld 28143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐴 ·s 𝑠) ∈ No )
69	61, 68	addscld 27988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) ∈ No )
70	59, 67	mulscld 28143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑟 ·s 𝑠) ∈ No )
71	69, 70	subscld 28071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No )
72		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → (𝑏 ∈ No ↔ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No ))
73	71, 72	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑏 ∈ No ))
74	73	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑏 ∈ No ))
75	74	abssdv 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ⊆ No )
76	54, 75	unssd 4146	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ⊆ No )
77	40, 35	mulscld 28143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
78	77	snssd 4767	. 2 ⊢ (𝜑 → {(𝐴 ·s 𝐵)} ⊆ No )
79		elun 4107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∨ 𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}))
80		vex 3446	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
81		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ↔ 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))))
82	81	2rexbidv 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))))
83	80, 82	elab 3636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)))
84		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ↔ 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
85	84	2rexbidv 3203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
86	80, 85	elab 3636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))} ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)))
87	83, 86	orbi12i 915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∨ 𝑥 ∈ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
88	79, 87	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))))
89	37, 47, 49	addsubsd 28090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) = (((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)))
90		cutcuts 27789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
91	3, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
92	91	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
94		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ V
95	94	snid 4621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ {(𝐿 |s 𝑅)}
96	38, 95	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
98	93, 31, 97	sltssepcd 27780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑝 <s 𝐴)
99		cutcuts 27789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
100	6, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
101	100	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
103		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 |s 𝑆) ∈ V
104	103	snid 4621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 |s 𝑆) ∈ {(𝑀 |s 𝑆)}
105	33, 104	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
107	102, 45, 106	sltssepcd 27780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → 𝑞 <s 𝐵)
108	32, 41, 46, 36, 98, 107	ltmulsd 28145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑞)))
109	37, 49	subscld 28071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∈ No )
110	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
111	109, 47, 110	ltaddsubsd 28099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → ((((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑞))))
112	108, 111	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) -s (𝑝 ·s 𝑞)) +s (𝐴 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
113	89, 112	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
114		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → (𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) <s (𝐴 ·s 𝐵)))
115	113, 114	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑀)) → (𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
116	115	rexlimdvva 3195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
117	61, 68, 70	addsubsd 28090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) = (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)))
118	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐿 <<s 𝑅)
119	118, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
120	119	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
121	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
122	121, 95	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
123	120, 122, 58	sltssepcd 27780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐴 <s 𝑟)
124	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑀 <<s 𝑆)
125	124, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
126	125	simp3d 1145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆)
127	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
128	127, 104	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ {(𝑀 |s 𝑆)})
129	126, 128, 66	sltssepcd 27780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝐵 <s 𝑠)
130	62, 59, 60, 67, 123, 129	ltmulsd 28145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵)))
131	61, 70	subscld 28071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) ∈ No )
132	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
133	131, 68, 132	ltaddsubsd 28099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑠))))
134	61, 70, 132, 68	ltsubsubs2bd 28092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s ((𝐴 ·s 𝐵) -s (𝐴 ·s 𝑠)) ↔ ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵))))
135	133, 134	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ ((𝐴 ·s 𝑠) -s (𝐴 ·s 𝐵)) <s ((𝑟 ·s 𝑠) -s (𝑟 ·s 𝐵))))
136	130, 135	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) -s (𝑟 ·s 𝑠)) +s (𝐴 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
137	117, 136	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵))
138		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → (𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵) ↔ (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) <s (𝐴 ·s 𝐵)))
139	137, 138	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
140	139	rexlimdvva 3195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠)) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
141	116, 140	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑥 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞)) ∨ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑥 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
142	88, 141	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
143	142	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))})) → 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵))
144		velsn 4598	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} ↔ 𝑦 = (𝐴 ·s 𝐵))
145		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ·s 𝐵) → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
146	144, 145	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s (𝐴 ·s 𝐵)))
147	143, 146	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))})) → (𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)} → 𝑥 <s 𝑦))
148	147	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) ∧ 𝑦 ∈ {(𝐴 ·s 𝐵)}) → 𝑥 <s 𝑦)
149	25, 27, 76, 78, 148	sltsd 27776	1 ⊢ (𝜑 → ({𝑎 ∣ ∃𝑝 ∈ 𝐿 ∃𝑞 ∈ 𝑀 𝑎 = (((𝑝 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑞)) -s (𝑝 ·s 𝑞))} ∪ {𝑏 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝑅 ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑏 = (((𝑟 ·s 𝐵) +s (𝐴 ·s 𝑠)) -s (𝑟 ·s 𝑠))}) <<s {(𝐴 ·s 𝐵)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ran crn 5633  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   No csur 27619   <s clts 27620   <<s cslts 27765   |s ccuts 27767   +_s cadds 27967   -_s csubs 28028   ·_s cmuls 28114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-1o 8407  df-2o 8408  df-nadd 8604  df-no 27622  df-lts 27623  df-bday 27624  df-les 27725  df-slts 27766  df-cuts 27768  df-0s 27815  df-made 27835  df-old 27836  df-left 27838  df-right 27839  df-norec 27946  df-norec2 27957  df-adds 27968  df-negs 28029  df-subs 28030  df-muls 28115

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28157