Theorem sltstr 28155

Description: Transitive law for surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltstr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sltstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		sltsex1 28131	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
4		sltsex2 28132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
6		sltsss1 28133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
8		sltsss2 28134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ No )
11		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ No )
13		sltsss2 28134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 ⊆ No )
16		simp11 1222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ No )
18	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐶 ⊆ No )
19		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑧 ∈ No )
21		simp12 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐵)
22	21, 11, 16	sltssepcd 28140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦)
23		simp13 1224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝐵 <<s 𝐶)
24	23, 16, 19	sltssepcd 28140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑦 <s 𝑧)
25	12, 17, 20, 22, 24	ltstrd 28102	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑧)
26	3, 5, 7, 9, 25	sltsd 28136	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶)
27	26	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
28	27	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
29	1, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝐴 <<s 𝐵 → (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐴 <<s 𝐶)))
30	29	3imp231 1130	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   No csur 27979   <<s cslts 28125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-slts 28126

This theorem is used by:  cutsun12  28158  cutbdaylt  28166  eqcuts3  28172  cuteq0  28183  cuteq1  28185  lltr  28230  sltsbday  28285  cofcut1  28288  addcuts2  28347  leadds1  28357  addsuniflem  28369  addsasslem1  28371  addsasslem2  28372  negcut2  28408  mulcut2  28501