MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcutr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcutr 27246
Description: If 𝑋 is the cut of ðī and ðĩ, then ðī is cofinal with ( L ‘𝑋) and ðĩ is coinitial with ( R ‘𝑋). Theorem 2.9 of [Gonshor] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcutr ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Distinct variable groups:   ð‘Ī,ðī,𝑧   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ī,ðĩ,𝑧   ð‘Ĩ,ðĩ,ð‘Ķ   ð‘Ī,𝑋,𝑧   ð‘Ĩ,𝑋,ð‘Ķ

Proof of Theorem cofcutr
Dummy variables 𝑎 𝑏 ð‘Ą are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdayelon 27119 . . . . . . . . . 10 ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ∈ On
21onssneli 6434 . . . . . . . . 9 (( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ) → ÂŽ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
3 leftssold 27211 . . . . . . . . . . . . 13 ( L ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
54sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
6 bdayelon 27119 . . . . . . . . . . . 12 ( bday ‘𝑋) ∈ On
7 leftssno 27213 . . . . . . . . . . . . . 14 ( L ‘𝑋) ⊆ No
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) ⊆ No )
98sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ ∈ No )
10 oldbday 27233 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ ð‘Ĩ ∈ No ) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋)))
116, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋)))
125, 11mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋))
13 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
1413fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑋) = ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
1512, 14eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
162, 15nsyl3 138 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
17 scutbday 27146 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
19 bdayfn 27116 . . . . . . . . . . 11 bday Fn No
20 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . 11 {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No
21 sneq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → {ð‘Ą} = {ð‘Ĩ})
2221breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ðī <<s {ð‘Ą} ↔ ðī <<s {ð‘Ĩ}))
2321breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → ({ð‘Ą} <<s ðĩ ↔ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ))
2422, 23anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → ((ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ) ↔ (ðī <<s {ð‘Ĩ} ∧ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ)))
259adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ð‘Ĩ ∈ No )
26 vsnex 5387 . . . . . . . . . . . . . . 15 {ð‘Ĩ} ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} ∈ V)
28 ssltex2 27130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ðī <<s ðĩ → ðĩ ∈ V)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðĩ ∈ V)
309snssd 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} ⊆ No )
31 ssltss2 27132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ðī <<s ðĩ → ðĩ ⊆ No )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðĩ ⊆ No )
339adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ ∈ No )
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
35 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ðī <<s ðĩ)
3635scutcld 27145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ðī |s ðĩ) ∈ No )
3734, 36eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → 𝑋 ∈ No )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 ∈ No )
3932sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑏 ∈ No )
40 leftval 27196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋})
4241eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}))
43 rabid 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋} ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋))
4442, 43bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋)))
4544simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ <s 𝑋)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑋)
47 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
48 scutcut 27143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
5049simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ)
51 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ðī |s ðĩ) ∈ V
5251snid 4623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)}
53 ssltsepc 27135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ ∧ (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5452, 53mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5550, 54sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5647, 55eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 <s 𝑏)
5733, 38, 39, 46, 56slttrd 27110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑏)
58573adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑏)
59 velsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ↔ 𝑎 = ð‘Ĩ)
60 breq1 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = ð‘Ĩ → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
6159, 60sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
62613ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
6358, 62mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑎 <s 𝑏)
6427, 29, 30, 32, 63ssltd 27134 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} <<s ðĩ)
6564anim1ci 617 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → (ðī <<s {ð‘Ĩ} ∧ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ))
6624, 25, 65elrabd 3648 . . . . . . . . . . 11 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)})
67 fnfvima 7184 . . . . . . . . . . 11 (( bday Fn No ∧ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No ∧ ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
6819, 20, 66, 67mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
69 intss1 4925 . . . . . . . . . 10 (( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7118, 70eqsstrd 3983 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7216, 71mtand 815 . . . . . . 7 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ðī <<s {ð‘Ĩ})
73 ssltex1 27129 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ðī ∈ V)
7473ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī ∈ V)
7574, 26jctir 522 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → (ðī ∈ V ∧ {ð‘Ĩ} ∈ V))
76 ssltss1 27131 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ðī ⊆ No )
7776ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī ⊆ No )
789adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ð‘Ĩ ∈ No )
7978snssd 4770 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → {ð‘Ĩ} ⊆ No )
80 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8177, 79, 803jca 1129 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → (ðī ⊆ No ∧ {ð‘Ĩ} ⊆ No ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą))
82 brsslt 27128 . . . . . . . 8 (ðī <<s {ð‘Ĩ} ↔ ((ðī ∈ V ∧ {ð‘Ĩ} ∈ V) ∧ (ðī ⊆ No ∧ {ð‘Ĩ} ⊆ No ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)))
8375, 81, 82sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī <<s {ð‘Ĩ})
8472, 83mtand 815 . . . . . 6 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
85 rexnal 3104 . . . . . . 7 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą)
86 ralcom 3273 . . . . . . 7 (âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8785, 86xchbinx 334 . . . . . 6 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8884, 87sylibr 233 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą)
89 vex 3450 . . . . . 6 ð‘Ĩ ∈ V
90 breq2 5110 . . . . . . . 8 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9190ralbidv 3175 . . . . . . 7 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9291notbid 318 . . . . . 6 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9389, 92rexsn 4644 . . . . 5 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
9488, 93sylib 217 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
9576ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðī ⊆ No )
9695sselda 3945 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ð‘Ķ ∈ ðī) → ð‘Ķ ∈ No )
97 slenlt 27103 . . . . . . 7 ((ð‘Ĩ ∈ No ∧ ð‘Ķ ∈ No ) → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
989, 96, 97syl2an2r 684 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ð‘Ķ ∈ ðī) → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9998rexbidva 3174 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
100 rexnal 3104 . . . . 5 (∃ð‘Ķ ∈ ðī ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
10199, 100bitrdi 287 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
10294, 101mpbird 257 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
103102ralrimiva 3144 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
1041onssneli 6434 . . . . . . . . 9 (( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧) → ÂŽ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
105 rightssold 27212 . . . . . . . . . . . . 13 ( R ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
107106sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
108 rightssno 27214 . . . . . . . . . . . . . 14 ( R ‘𝑋) ⊆ No
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) ⊆ No )
110109sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑧 ∈ No )
111 oldbday 27233 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ No ) → (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋)))
1126, 110, 111sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋)))
113107, 112mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋))
114 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
115114fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑋) = ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
116113, 115eleqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
117104, 116nsyl3 138 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧))
11817ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
119 sneq 4597 . . . . . . . . . . . . . 14 (ð‘Ą = 𝑧 → {ð‘Ą} = {𝑧})
120119breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = 𝑧 → (ðī <<s {ð‘Ą} ↔ ðī <<s {𝑧}))
121119breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = 𝑧 → ({ð‘Ą} <<s ðĩ ↔ {𝑧} <<s ðĩ))
122120, 121anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (ð‘Ą = 𝑧 → ((ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ) ↔ (ðī <<s {𝑧} ∧ {𝑧} <<s ðĩ)))
123110adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
12473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī ∈ V)
125 vsnex 5387 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑧} ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → {𝑧} ∈ V)
12776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī ⊆ No )
128110snssd 4770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → {𝑧} ⊆ No )
129127sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 ∈ No )
13037ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 ∈ No )
131110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑧 ∈ No )
13248ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
133132simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī <<s {(ðī |s ðĩ)})
134 ssltsepc 27135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)}) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
13552, 134mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
136133, 135sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
137 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
138136, 137breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s 𝑋)
139 rightval 27197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧})
141140eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}))
142 rabid 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧} ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧))
143141, 142bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧)))
144143simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑋 <s 𝑧)
145144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 <s 𝑧)
146129, 130, 131, 138, 145slttrd 27110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s 𝑧)
1471463adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → 𝑎 <s 𝑧)
148 velsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ {𝑧} ↔ 𝑏 = 𝑧)
149 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
150148, 149sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ {𝑧} → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
1511503ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
152147, 151mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → 𝑎 <s 𝑏)
153124, 126, 127, 128, 152ssltd 27134 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī <<s {𝑧})
154153anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → (ðī <<s {𝑧} ∧ {𝑧} <<s ðĩ))
155122, 123, 154elrabd 3648 . . . . . . . . . . 11 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → 𝑧 ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)})
156 fnfvima 7184 . . . . . . . . . . 11 (( bday Fn No ∧ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No ∧ 𝑧 ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
15719, 20, 155, 156mp3an12i 1466 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
158 intss1 4925 . . . . . . . . . 10 (( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘𝑧))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘𝑧))
160118, 159eqsstrd 3983 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧))
161117, 160mtand 815 . . . . . . 7 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ {𝑧} <<s ðĩ)
16228ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ðĩ ∈ V)
163162, 125jctil 521 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ({𝑧} ∈ V ∧ ðĩ ∈ V))
164128adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → {𝑧} ⊆ No )
16531ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ðĩ ⊆ No )
166 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
167164, 165, 1663jca 1129 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ({𝑧} ⊆ No ∧ ðĩ ⊆ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī))
168 brsslt 27128 . . . . . . . 8 ({𝑧} <<s ðĩ ↔ (({𝑧} ∈ V ∧ ðĩ ∈ V) ∧ ({𝑧} ⊆ No ∧ ðĩ ⊆ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)))
169163, 167, 168sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → {𝑧} <<s ðĩ)
170161, 169mtand 815 . . . . . 6 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
171 rexnal 3104 . . . . . 6 (âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
172170, 171sylibr 233 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
173 vex 3450 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
174 breq1 5109 . . . . . . . 8 (ð‘Ą = 𝑧 → (ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ 𝑧 <s ð‘Ī))
175174ralbidv 3175 . . . . . . 7 (ð‘Ą = 𝑧 → (∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
176175notbid 318 . . . . . 6 (ð‘Ą = 𝑧 → (ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
177173, 176rexsn 4644 . . . . 5 (âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
178172, 177sylib 217 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
17931ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðĩ ⊆ No )
180179sselda 3945 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → ð‘Ī ∈ No )
181110adantr 482 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
182 slenlt 27103 . . . . . . 7 ((ð‘Ī ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No ) → (ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
183180, 181, 182syl2anc 585 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → (ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
184183rexbidva 3174 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ∃ð‘Ī ∈ ðĩ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
185 rexnal 3104 . . . . 5 (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
186184, 185bitrdi 287 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
187178, 186mpbird 257 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
188187ralrimiva 3144 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
189103, 188jca 513 1 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  âˆ€wral 3065  âˆƒwrex 3074  {crab 3408  Vcvv 3446   ⊆ wss 3911  {csn 4587  âˆĐ cint 4908   class class class wbr 5106   “ cima 5637  Oncon0 6318   Fn wfn 6492  â€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   No csur 26991   <s cslt 26992   bday cbday 26993   â‰Īs csle 27095   <<s csslt 27123   |s cscut 27125   O cold 27176   L cleft 27178   R cright 27179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-1o 8413  df-2o 8414  df-no 26994  df-slt 26995  df-bday 26996  df-sle 27096  df-sslt 27124  df-scut 27126  df-made 27180  df-old 27181  df-left 27183  df-right 27184
This theorem is referenced by:  cofcutr1d  27247  cofcutr2d  27248
  Copyright terms: Public domain W3C validator