MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cofcutr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cofcutr 27637
Description: If 𝑋 is the cut of ðī and ðĩ, then ðī is cofinal with ( L ‘𝑋) and ðĩ is coinitial with ( R ‘𝑋). Theorem 2.9 of [Gonshor] p. 12. (Contributed by Scott Fenton, 25-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
cofcutr ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Distinct variable groups:   ð‘Ī,ðī,𝑧   ð‘Ĩ,ðī,ð‘Ķ   ð‘Ī,ðĩ,𝑧   ð‘Ĩ,ðĩ,ð‘Ķ   ð‘Ī,𝑋,𝑧   ð‘Ĩ,𝑋,ð‘Ķ

Proof of Theorem cofcutr
Dummy variables 𝑎 𝑏 ð‘Ą are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdayelon 27502 . . . . . . . . . 10 ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ∈ On
21onssneli 6480 . . . . . . . . 9 (( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ) → ÂŽ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
3 leftssold 27598 . . . . . . . . . . . . 13 ( L ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
54sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
6 bdayelon 27502 . . . . . . . . . . . 12 ( bday ‘𝑋) ∈ On
7 leftssno 27600 . . . . . . . . . . . . . 14 ( L ‘𝑋) ⊆ No
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) ⊆ No )
98sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ ∈ No )
10 oldbday 27620 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ ð‘Ĩ ∈ No ) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋)))
116, 9, 10sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋)))
125, 11mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘𝑋))
13 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑋) = ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
1512, 14eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
162, 15nsyl3 138 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
17 scutbday 27530 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
1817ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
19 bdayfn 27499 . . . . . . . . . . 11 bday Fn No
20 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . 11 {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No
21 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → {ð‘Ą} = {ð‘Ĩ})
2221breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ðī <<s {ð‘Ą} ↔ ðī <<s {ð‘Ĩ}))
2321breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → ({ð‘Ą} <<s ðĩ ↔ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ))
2422, 23anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → ((ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ) ↔ (ðī <<s {ð‘Ĩ} ∧ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ)))
259adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ð‘Ĩ ∈ No )
26 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15 {ð‘Ĩ} ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} ∈ V)
28 ssltex2 27513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ðī <<s ðĩ → ðĩ ∈ V)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðĩ ∈ V)
309snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} ⊆ No )
31 ssltss2 27515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ðī <<s ðĩ → ðĩ ⊆ No )
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðĩ ⊆ No )
339adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ ∈ No )
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
35 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ðī <<s ðĩ)
3635scutcld 27529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ðī |s ðĩ) ∈ No )
3734, 36eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → 𝑋 ∈ No )
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 ∈ No )
3932sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑏 ∈ No )
40 leftval 27583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( L ‘𝑋) = {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋})
4241eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋}))
43 rabid 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ ð‘Ĩ <s 𝑋} ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋))
4442, 43bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋) ↔ (ð‘Ĩ ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ ð‘Ĩ <s 𝑋)))
4544simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ð‘Ĩ <s 𝑋)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑋)
47 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
48 scutcut 27527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ðī <<s ðĩ → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
5049simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ)
51 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ðī |s ðĩ) ∈ V
5251snid 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)}
53 ssltsepc 27519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (({(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ ∧ (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5452, 53mp3an2 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5550, 54sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (ðī |s ðĩ) <s 𝑏)
5647, 55eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑋 <s 𝑏)
5733, 38, 39, 46, 56slttrd 27486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑏)
58573adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → ð‘Ĩ <s 𝑏)
59 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ↔ 𝑎 = ð‘Ĩ)
60 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = ð‘Ĩ → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
6159, 60sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
62613ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → (𝑎 <s 𝑏 ↔ ð‘Ĩ <s 𝑏))
6358, 62mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ {ð‘Ĩ} ∧ 𝑏 ∈ ðĩ) → 𝑎 <s 𝑏)
6427, 29, 30, 32, 63ssltd 27517 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → {ð‘Ĩ} <<s ðĩ)
6564anim1ci 616 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → (ðī <<s {ð‘Ĩ} ∧ {ð‘Ĩ} <<s ðĩ))
6624, 25, 65elrabd 3685 . . . . . . . . . . 11 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)})
67 fnfvima 7237 . . . . . . . . . . 11 (( bday Fn No ∧ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No ∧ ð‘Ĩ ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
6819, 20, 66, 67mp3an12i 1465 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
69 intss1 4967 . . . . . . . . . 10 (( bday ‘ð‘Ĩ) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7118, 70eqsstrd 4020 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ðī <<s {ð‘Ĩ}) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘ð‘Ĩ))
7216, 71mtand 814 . . . . . . 7 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ðī <<s {ð‘Ĩ})
73 ssltex1 27512 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ðī ∈ V)
7473ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī ∈ V)
7574, 26jctir 521 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → (ðī ∈ V ∧ {ð‘Ĩ} ∈ V))
76 ssltss1 27514 . . . . . . . . . 10 (ðī <<s ðĩ → ðī ⊆ No )
7776ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī ⊆ No )
789adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ð‘Ĩ ∈ No )
7978snssd 4812 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → {ð‘Ĩ} ⊆ No )
80 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8177, 79, 803jca 1128 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → (ðī ⊆ No ∧ {ð‘Ĩ} ⊆ No ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą))
82 brsslt 27511 . . . . . . . 8 (ðī <<s {ð‘Ĩ} ↔ ((ðī ∈ V ∧ {ð‘Ĩ} ∈ V) ∧ (ðī ⊆ No ∧ {ð‘Ĩ} ⊆ No ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)))
8375, 81, 82sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą) → ðī <<s {ð‘Ĩ})
8472, 83mtand 814 . . . . . 6 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
85 rexnal 3100 . . . . . . 7 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą)
86 ralcom 3286 . . . . . . 7 (âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8785, 86xchbinx 333 . . . . . 6 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī âˆ€ð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ}ð‘Ķ <s ð‘Ą)
8884, 87sylibr 233 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą)
89 vex 3478 . . . . . 6 ð‘Ĩ ∈ V
90 breq2 5152 . . . . . . . 8 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9190ralbidv 3177 . . . . . . 7 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9291notbid 317 . . . . . 6 (ð‘Ą = ð‘Ĩ → (ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9389, 92rexsn 4686 . . . . 5 (âˆƒð‘Ą ∈ {ð‘Ĩ} ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ą ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
9488, 93sylib 217 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
9576ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ðī ⊆ No )
9695sselda 3982 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ð‘Ķ ∈ ðī) → ð‘Ķ ∈ No )
97 slenlt 27479 . . . . . . 7 ((ð‘Ĩ ∈ No ∧ ð‘Ķ ∈ No ) → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
989, 96, 97syl2an2r 683 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) ∧ ð‘Ķ ∈ ðī) → (ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
9998rexbidva 3176 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ∃ð‘Ķ ∈ ðī ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
100 rexnal 3100 . . . . 5 (∃ð‘Ķ ∈ ðī ÂŽ ð‘Ķ <s ð‘Ĩ ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ)
10199, 100bitrdi 286 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → (∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ↔ ÂŽ ∀ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ķ <s ð‘Ĩ))
10294, 101mpbird 256 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)) → ∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
103102ralrimiva 3146 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ)
1041onssneli 6480 . . . . . . . . 9 (( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧) → ÂŽ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
105 rightssold 27599 . . . . . . . . . . . . 13 ( R ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋))
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) ⊆ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
107106sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)))
108 rightssno 27601 . . . . . . . . . . . . . 14 ( R ‘𝑋) ⊆ No
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) ⊆ No )
110109sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑧 ∈ No )
111 oldbday 27620 . . . . . . . . . . . 12 ((( bday ‘𝑋) ∈ On ∧ 𝑧 ∈ No ) → (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋)))
1126, 110, 111sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ↔ ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋)))
113107, 112mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘𝑋))
114 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
115114fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑋) = ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
116113, 115eleqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)))
117104, 116nsyl3 138 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧))
11817ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) = âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
119 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . 14 (ð‘Ą = 𝑧 → {ð‘Ą} = {𝑧})
120119breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = 𝑧 → (ðī <<s {ð‘Ą} ↔ ðī <<s {𝑧}))
121119breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (ð‘Ą = 𝑧 → ({ð‘Ą} <<s ðĩ ↔ {𝑧} <<s ðĩ))
122120, 121anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (ð‘Ą = 𝑧 → ((ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ) ↔ (ðī <<s {𝑧} ∧ {𝑧} <<s ðĩ)))
123110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
12473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī ∈ V)
125 vsnex 5429 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑧} ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → {𝑧} ∈ V)
12776ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī ⊆ No )
128110snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → {𝑧} ⊆ No )
129127sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 ∈ No )
13037ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 ∈ No )
131110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑧 ∈ No )
13248ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ((ðī |s ðĩ) ∈ No ∧ ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ {(ðī |s ðĩ)} <<s ðĩ))
133132simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī <<s {(ðī |s ðĩ)})
134 ssltsepc 27519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ (ðī |s ðĩ) ∈ {(ðī |s ðĩ)}) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
13552, 134mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s {(ðī |s ðĩ)} ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
136133, 135sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s (ðī |s ðĩ))
137 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 = (ðī |s ðĩ))
138136, 137breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s 𝑋)
139 rightval 27584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ( R ‘𝑋) = {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧})
141140eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧}))
142 rabid 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) âˆĢ 𝑋 <s 𝑧} ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧))
143141, 142bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (𝑧 ∈ ( R ‘𝑋) ↔ (𝑧 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋)) ∧ 𝑋 <s 𝑧)))
144143simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → 𝑋 <s 𝑧)
145144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑋 <s 𝑧)
146129, 130, 131, 138, 145slttrd 27486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī) → 𝑎 <s 𝑧)
1471463adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → 𝑎 <s 𝑧)
148 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ {𝑧} ↔ 𝑏 = 𝑧)
149 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑧 → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
150148, 149sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ {𝑧} → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
1511503ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → (𝑎 <s 𝑏 ↔ 𝑎 <s 𝑧))
152147, 151mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ðī ∧ 𝑏 ∈ {𝑧}) → 𝑎 <s 𝑏)
153124, 126, 127, 128, 152ssltd 27517 . . . . . . . . . . . . 13 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðī <<s {𝑧})
154153anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → (ðī <<s {𝑧} ∧ {𝑧} <<s ðĩ))
155122, 123, 154elrabd 3685 . . . . . . . . . . 11 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → 𝑧 ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)})
156 fnfvima 7237 . . . . . . . . . . 11 (( bday Fn No ∧ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)} ⊆ No ∧ 𝑧 ∈ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
15719, 20, 155, 156mp3an12i 1465 . . . . . . . . . 10 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}))
158 intss1 4967 . . . . . . . . . 10 (( bday ‘𝑧) ∈ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘𝑧))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → âˆĐ ( bday “ {ð‘Ą ∈ No âˆĢ (ðī <<s {ð‘Ą} ∧ {ð‘Ą} <<s ðĩ)}) ⊆ ( bday ‘𝑧))
160118, 159eqsstrd 4020 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ {𝑧} <<s ðĩ) → ( bday ‘(ðī |s ðĩ)) ⊆ ( bday ‘𝑧))
161117, 160mtand 814 . . . . . . 7 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ {𝑧} <<s ðĩ)
16228ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ðĩ ∈ V)
163162, 125jctil 520 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ({𝑧} ∈ V ∧ ðĩ ∈ V))
164128adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → {𝑧} ⊆ No )
16531ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ðĩ ⊆ No )
166 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
167164, 165, 1663jca 1128 . . . . . . . 8 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → ({𝑧} ⊆ No ∧ ðĩ ⊆ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī))
168 brsslt 27511 . . . . . . . 8 ({𝑧} <<s ðĩ ↔ (({𝑧} ∈ V ∧ ðĩ ∈ V) ∧ ({𝑧} ⊆ No ∧ ðĩ ⊆ No ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)))
169163, 167, 168sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī) → {𝑧} <<s ðĩ)
170161, 169mtand 814 . . . . . 6 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
171 rexnal 3100 . . . . . 6 (âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ âˆ€ð‘Ą ∈ {𝑧}∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
172170, 171sylibr 233 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī)
173 vex 3478 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
174 breq1 5151 . . . . . . . 8 (ð‘Ą = 𝑧 → (ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ 𝑧 <s ð‘Ī))
175174ralbidv 3177 . . . . . . 7 (ð‘Ą = 𝑧 → (∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
176175notbid 317 . . . . . 6 (ð‘Ą = 𝑧 → (ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
177173, 176rexsn 4686 . . . . 5 (âˆƒð‘Ą ∈ {𝑧} ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ą <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
178172, 177sylib 217 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
17931ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ðĩ ⊆ No )
180179sselda 3982 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → ð‘Ī ∈ No )
181110adantr 481 . . . . . . 7 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → 𝑧 ∈ No )
182 slenlt 27479 . . . . . . 7 ((ð‘Ī ∈ No ∧ 𝑧 ∈ No ) → (ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
183180, 181, 182syl2anc 584 . . . . . 6 ((((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) ∧ ð‘Ī ∈ ðĩ) → (ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
184183rexbidva 3176 . . . . 5 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ∃ð‘Ī ∈ ðĩ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī))
185 rexnal 3100 . . . . 5 (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ÂŽ 𝑧 <s ð‘Ī ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī)
186184, 185bitrdi 286 . . . 4 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → (∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧 ↔ ÂŽ ∀ð‘Ī ∈ ðĩ 𝑧 <s ð‘Ī))
187178, 186mpbird 256 . . 3 (((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) ∧ 𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)) → ∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
188187ralrimiva 3146 . 2 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧)
189103, 188jca 512 1 ((ðī <<s ðĩ ∧ 𝑋 = (ðī |s ðĩ)) → (∀ð‘Ĩ ∈ ( L ‘𝑋)∃ð‘Ķ ∈ ðī ð‘Ĩ â‰Īs ð‘Ķ ∧ ∀𝑧 ∈ ( R ‘𝑋)∃ð‘Ī ∈ ðĩ ð‘Ī â‰Īs 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  âˆ€wral 3061  âˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628  âˆĐ cint 4950   class class class wbr 5148   “ cima 5679  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  â€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   No csur 27367   <s cslt 27368   bday cbday 27369   â‰Īs csle 27471   <<s csslt 27506   |s cscut 27508   O cold 27563   L cleft 27565   R cright 27566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-1o 8468  df-2o 8469  df-no 27370  df-slt 27371  df-bday 27372  df-sle 27472  df-sslt 27507  df-scut 27509  df-made 27567  df-old 27568  df-left 27570  df-right 27571
This theorem is referenced by:  cofcutr1d  27638  cofcutr2d  27639
  Copyright terms: Public domain W3C validator