MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cutlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cutlt 27793
Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cutlt.1 (𝜑 → ðŋ <<s 𝑅)
cutlt.2 (𝜑 → ðī = (ðŋ |s 𝑅))
cutlt.3 (𝜑 → 𝑋 ∈ ðŋ)
Assertion
Ref Expression
cutlt (𝜑 → ðī = (({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) |s 𝑅))
Distinct variable groups:   ð‘Ķ,ðŋ   ð‘Ķ,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(ð‘Ķ)   ðī(ð‘Ķ)   𝑅(ð‘Ķ)

Proof of Theorem cutlt
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cutlt.2 . 2 (𝜑 → ðī = (ðŋ |s 𝑅))
2 cutlt.1 . . 3 (𝜑 → ðŋ <<s 𝑅)
3 ssltss1 27662 . . . . . . 7 (ðŋ <<s 𝑅 → ðŋ ⊆ No )
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ðŋ ⊆ No )
5 cutlt.3 . . . . . 6 (𝜑 → 𝑋 ∈ ðŋ)
64, 5sseldd 3976 . . . . 5 (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
7 snelpwi 5434 . . . . 5 (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ ð’Ŧ No )
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ∈ ð’Ŧ No )
9 ssltex1 27660 . . . . . 6 (ðŋ <<s 𝑅 → ðŋ ∈ V)
10 rabexg 5322 . . . . . 6 (ðŋ ∈ V → {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ∈ V)
112, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ∈ V)
12 ssrab2 4070 . . . . . 6 {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ⊆ ðŋ
1312, 4sstrid 3986 . . . . 5 (𝜑 → {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ⊆ No )
1411, 13elpwd 4601 . . . 4 (𝜑 → {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ∈ ð’Ŧ No )
15 pwuncl 7751 . . . 4 (({𝑋} ∈ ð’Ŧ No ∧ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ∈ ð’Ŧ No ) → ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) ∈ ð’Ŧ No )
168, 14, 15syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) ∈ ð’Ŧ No )
17 ssltex2 27661 . . . . 5 (ðŋ <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
182, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19 ssltss2 27663 . . . . 5 (ðŋ <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
202, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
2118, 20elpwd 4601 . . 3 (𝜑 → 𝑅 ∈ ð’Ŧ No )
22 snidg 4655 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ðŋ → 𝑋 ∈ {𝑋})
23 elun1 4169 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}))
245, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}))
26 breq2 5143 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 â‰Īs 𝑏 ↔ 𝑎 â‰Īs 𝑋))
2726rspcev 3604 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
2825, 27sylan 579 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
2928ex 412 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → (𝑎 â‰Īs 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏))
306adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → 𝑋 ∈ No )
314sselda 3975 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → 𝑎 ∈ No )
32 sltnle 27627 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ÂŽ 𝑎 â‰Īs 𝑋))
3330, 31, 32syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ÂŽ 𝑎 â‰Īs 𝑋))
34 breq2 5143 . . . . . . . . . 10 (ð‘Ķ = 𝑎 → (𝑋 <s ð‘Ķ ↔ 𝑋 <s 𝑎))
3534elrab 3676 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ↔ (𝑎 ∈ ðŋ ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36 elun2 4170 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}))
3735, 36sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ðŋ ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}))
38 slerflex 27637 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ No → 𝑎 â‰Īs 𝑎)
3931, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → 𝑎 â‰Īs 𝑎)
4039adantrr 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ðŋ ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 â‰Īs 𝑎)
41 breq2 5143 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 â‰Īs 𝑏 ↔ 𝑎 â‰Īs 𝑎))
4241rspcev 3604 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) ∧ 𝑎 â‰Īs 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
4337, 40, 42syl2an2 683 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ðŋ ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
4443expr 456 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏))
4533, 44sylbird 260 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → (ÂŽ 𝑎 â‰Īs 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏))
4629, 45pm2.61d 179 . . . 4 ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ðŋ) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
4746ralrimiva 3138 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ðŋ ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})𝑎 â‰Īs 𝑏)
48 ssidd 3998 . . . 4 (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
4920, 48coiniss 27792 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 â‰Īs 𝑎)
505snssd 4805 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ðŋ)
5112a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ} ⊆ ðŋ)
5250, 51unssd 4179 . . . 4 (𝜑 → ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) ⊆ ðŋ)
534, 52cofss 27791 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ})∃𝑏 ∈ ðŋ 𝑎 â‰Īs 𝑏)
542, 16, 21, 47, 49, 53, 49cofcut2d 27784 . 2 (𝜑 → (ðŋ |s 𝑅) = (({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) |s 𝑅))
551, 54eqtrd 2764 1 (𝜑 → ðī = (({𝑋} ∊ {ð‘Ķ ∈ ðŋ âˆĢ 𝑋 <s ð‘Ķ}) |s 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   ∊ cun 3939   ⊆ wss 3941  ð’Ŧ cpw 4595  {csn 4621   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402   No csur 27514   <s cslt 27515   â‰Īs csle 27618   <<s csslt 27654   |s cscut 27656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27517  df-slt 27518  df-bday 27519  df-sle 27619  df-sslt 27655  df-scut 27657
This theorem is referenced by:  cutpos  27794
  Copyright terms: Public domain W3C validator