MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cutlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cutlt 27766
Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cutlt.1 (𝜑𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2 (𝜑𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3 (𝜑𝑋𝐿)
Assertion
Ref Expression
cutlt (𝜑𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cutlt.2 . 2 (𝜑𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2 cutlt.1 . . 3 (𝜑𝐿 <<s 𝑅)
3 ssltss1 27635 . . . . . . 7 (𝐿 <<s 𝑅𝐿 No )
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿 No )
5 cutlt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐿)
64, 5sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝑋 No )
7 snelpwi 5443 . . . . 5 (𝑋 No → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
9 ssltex1 27633 . . . . . 6 (𝐿 <<s 𝑅𝐿 ∈ V)
10 rabexg 5331 . . . . . 6 (𝐿 ∈ V → {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
112, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
1312, 4sstrid 3993 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ⊆ No )
1411, 13elpwd 4608 . . . 4 (𝜑 → {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
15 pwuncl 7761 . . . 4 (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ) → ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
168, 14, 15syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
17 ssltex2 27634 . . . . 5 (𝐿 <<s 𝑅𝑅 ∈ V)
182, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ V)
19 ssltss2 27636 . . . . 5 (𝐿 <<s 𝑅𝑅 No )
202, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 No )
2118, 20elpwd 4608 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ 𝒫 No )
22 snidg 4662 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐿𝑋 ∈ {𝑋})
23 elun1 4176 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}))
245, 22, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}))
26 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏𝑎 ≤s 𝑋))
2726rspcev 3612 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
2825, 27sylan 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
2928ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
306adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐿) → 𝑋 No )
314sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐿) → 𝑎 No )
32 sltnle 27600 . . . . . . 7 ((𝑋 No 𝑎 No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
3330, 31, 32syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦𝑋 <s 𝑎))
3534elrab 3683 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎𝐿𝑋 <s 𝑎))
36 elun2 4177 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}))
3735, 36sylbir 234 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐿𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}))
38 slerflex 27610 . . . . . . . . . 10 (𝑎 No 𝑎 ≤s 𝑎)
3931, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
4039adantrr 714 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐿𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏𝑎 ≤s 𝑎))
4241rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
4337, 40, 42syl2an2 683 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐿𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
4443expr 456 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
4533, 44sylbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
4629, 45pm2.61d 179 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
4746ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐿𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48 ssidd 4005 . . . 4 (𝜑𝑅𝑅)
4920, 48coiniss 27765 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑅𝑏𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
505snssd 4812 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
5112a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
5250, 51unssd 4186 . . . 4 (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
534, 52cofss 27764 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦})∃𝑏𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
542, 16, 21, 47, 49, 53, 49cofcut2d 27757 . 2 (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
551, 54eqtrd 2771 1 (𝜑𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦𝐿𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  cun 3946  wss 3948  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412   No csur 27487   <s cslt 27488   ≤s csle 27591   <<s csslt 27627   |s cscut 27629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27490  df-slt 27491  df-bday 27492  df-sle 27592  df-sslt 27628  df-scut 27630
This theorem is referenced by:  cutpos  27767
  Copyright terms: Public domain W3C validator