Theorem cutlt 28327

Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cutlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutlt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2		cutlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
3		sltsss1 28160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No)
5		cutlt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sseldd 3910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No)
7		snelpwi 5412	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ 𝒫 No)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No)
9		sltsex1 28158	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
10		rabexg 5299	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
11	2, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12		ssrab2 4004	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
13	12, 4	sstrid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ No)
14	11, 13	elpwd 4562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No)
15		pwuncl 7788	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No) → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No)
16	8, 14, 15	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No)
17		sltsex2 28159	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
18	2, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19		sltsss2 28161	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No)
20	2, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No)
21	18, 20	elpwd 4562	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 No)
22		snidg 4617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → 𝑋 ∈ {𝑋})
23		elun1 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
24	5, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
26		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑋))
27	26	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
28	25, 27	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
29	28	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
30	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ No)
31	4	sselda 3909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ No)
32		ltnles 28119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
33	30, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦 ↔ 𝑋 <s 𝑎))
35	34	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36		elun2 4180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
37	35, 36	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
38		lesid 28133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ No → 𝑎 ≤s 𝑎)
39	31, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
40	39	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑎))
42	41	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
43	37, 40, 42	syl2an2 699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
44	43	expr 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
45	33, 44	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
46	29, 45	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
47	46	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48		ssidd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
49	20, 48	coiniss 28326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
50	5	snssd 4743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
51	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
52	50, 51	unssd 4189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
53	4, 52	cofss 28325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})∃𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
54	2, 16, 21, 47, 49, 53, 49	cofcut2d 28318	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
55	1, 54	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  Nocsur 28006   <s clts 28007   ≤s cles 28110   <<s cslts 28152   |s ccuts 28154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1o 8484  df-2o 8485  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-les 28111  df-slts 28153  df-cuts 28155

This theorem is used by:  cutpos  28328