Theorem cutlt 27903

Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cutlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutlt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2		cutlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
3		ssltss1 27755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
5		cutlt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
7		snelpwi 5390	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
9		ssltex1 27753	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
10		rabexg 5280	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12		ssrab2 4030	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
13	12, 4	sstrid 3943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ No )
14	11, 13	elpwd 4558	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
15		pwuncl 7713	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ) → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
16	8, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
17		ssltex2 27754	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19		ssltss2 27756	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
20	2, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
21	18, 20	elpwd 4558	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 No )
22		snidg 4615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → 𝑋 ∈ {𝑋})
23		elun1 4132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
24	5, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
26		breq2 5100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑋))
27	26	rspcev 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
28	25, 27	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
30	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ No )
31	4	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ No )
32		sltnle 27719	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34		breq2 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦 ↔ 𝑋 <s 𝑎))
35	34	elrab 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36		elun2 4133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
37	35, 36	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
38		slerflex 27729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ No → 𝑎 ≤s 𝑎)
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
40	39	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41		breq2 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑎))
42	41	rspcev 3574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
43	37, 40, 42	syl2an2 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
44	43	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
45	33, 44	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
46	29, 45	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
47	46	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48		ssidd 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
49	20, 48	coiniss 27902	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
50	5	snssd 4763	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
51	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
52	50, 51	unssd 4142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
53	4, 52	cofss 27901	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})∃𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
54	2, 16, 21, 47, 49, 53, 49	cofcut2d 27894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
55	1, 54	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  {crab 3397  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   No csur 27605   <s cslt 27606   ≤s csle 27710   <<s csslt 27747   |s cscut 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750

This theorem is referenced by:  cutpos  27904