Theorem cutlt 28090

Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cutlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutlt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2		cutlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
3		sltsss1 27923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
5		cutlt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
7		snelpwi 5426	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
9		sltsex1 27921	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
10		rabexg 5308	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
11	2, 9, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12		ssrab2 4042	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
13	12, 4	sstrid 3956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ No )
14	11, 13	elpwd 4573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
15		pwuncl 7768	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ) → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
16	8, 14, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
17		sltsex2 27922	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
18	2, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19		sltsss2 27924	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
20	2, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
21	18, 20	elpwd 4573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 No )
22		snidg 4631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → 𝑋 ∈ {𝑋})
23		elun1 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
24	5, 22, 23	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
25	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
26		breq2 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑋))
27	26	rspcev 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
28	25, 27	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
29	28	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
30	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ No )
31	4	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ No )
32		ltnles 27882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
33	30, 31, 32	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34		breq2 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦 ↔ 𝑋 <s 𝑎))
35	34	elrab 3659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36		elun2 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
37	35, 36	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
38		lesid 27896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ No → 𝑎 ≤s 𝑎)
39	31, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
40	39	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41		breq2 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑎))
42	41	rspcev 3590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
43	37, 40, 42	syl2an2 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
44	43	expr 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
45	33, 44	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
46	29, 45	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
47	46	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48		ssidd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
49	20, 48	coiniss 28089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
50	5	snssd 4757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
51	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
52	50, 51	unssd 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
53	4, 52	cofss 28088	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})∃𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
54	2, 16, 21, 47, 49, 53, 49	cofcut2d 28081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
55	1, 54	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   No csur 27769   <s clts 27770   ≤s cles 27873   <<s cslts 27915   |s ccuts 27917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1o 8452  df-2o 8453  df-no 27772  df-lts 27773  df-bday 27774  df-les 27874  df-slts 27916  df-cuts 27918

This theorem is referenced by:  cutpos  28091