Theorem cutlt 27928

Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cutlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutlt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2		cutlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
3		sltsss1 27761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
5		cutlt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
7		snelpwi 5392	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
9		sltsex1 27759	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
10		rabexg 5282	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12		ssrab2 4032	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
13	12, 4	sstrid 3945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ No )
14	11, 13	elpwd 4560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
15		pwuncl 7715	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ) → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
16	8, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
17		sltsex2 27760	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19		sltsss2 27762	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
20	2, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
21	18, 20	elpwd 4560	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 No )
22		snidg 4617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → 𝑋 ∈ {𝑋})
23		elun1 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
24	5, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
26		breq2 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑋))
27	26	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
28	25, 27	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
30	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ No )
31	4	sselda 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ No )
32		ltnles 27721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34		breq2 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦 ↔ 𝑋 <s 𝑎))
35	34	elrab 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36		elun2 4135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
37	35, 36	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
38		lesid 27735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ No → 𝑎 ≤s 𝑎)
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
40	39	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41		breq2 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑎))
42	41	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
43	37, 40, 42	syl2an2 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
44	43	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
45	33, 44	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
46	29, 45	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
47	46	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
49	20, 48	coiniss 27927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
50	5	snssd 4765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
51	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
52	50, 51	unssd 4144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
53	4, 52	cofss 27926	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})∃𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
54	2, 16, 21, 47, 49, 53, 49	cofcut2d 27919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
55	1, 54	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   No csur 27607   <s clts 27608   ≤s cles 27712   <<s cslts 27753   |s ccuts 27755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756

This theorem is referenced by:  cutpos  27929