Theorem cutlt 27840

Description: Eliminating all elements below a given element of a cut does not affect the cut. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cutlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
cutlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
cutlt.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
cutlt	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐿   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝑅(𝑦)

Proof of Theorem cutlt

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cutlt.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
2		cutlt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
3		ssltss1 27700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
5		cutlt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐿)
6	4, 5	sseldd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ No )
7		snelpwi 5403	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ No → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ∈ 𝒫 No )
9		ssltex1 27698	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
10		rabexg 5292	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ V → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
11	2, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ V)
12		ssrab2 4043	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿
13	12, 4	sstrid 3958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ No )
14	11, 13	elpwd 4569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No )
15		pwuncl 7746	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ 𝒫 No ∧ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ∈ 𝒫 No ) → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
16	8, 14, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∈ 𝒫 No )
17		ssltex2 27699	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
18	2, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
19		ssltss2 27701	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
20	2, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
21	18, 20	elpwd 4569	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝒫 No )
22		snidg 4624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 → 𝑋 ∈ {𝑋})
23		elun1 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
24	5, 22, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
26		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑋))
27	26	rspcev 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
28	25, 27	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) ∧ 𝑎 ≤s 𝑋) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
30	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑋 ∈ No )
31	4	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ No )
32		sltnle 27665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ 𝑎 ∈ No ) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ≤s 𝑋))
34		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 <s 𝑦 ↔ 𝑋 <s 𝑎))
35	34	elrab 3659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎))
36		elun2 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
37	35, 36	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎) → 𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}))
38		slerflex 27675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ No → 𝑎 ≤s 𝑎)
39	31, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → 𝑎 ≤s 𝑎)
40	39	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → 𝑎 ≤s 𝑎)
41		breq2 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 ≤s 𝑏 ↔ 𝑎 ≤s 𝑎))
42	41	rspcev 3588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ∧ 𝑎 ≤s 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
43	37, 40, 42	syl2an2 686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑋 <s 𝑎)) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
44	43	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (𝑋 <s 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
45	33, 44	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → (¬ 𝑎 ≤s 𝑋 → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏))
46	29, 45	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐿) → ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
47	46	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})𝑎 ≤s 𝑏)
48		ssidd 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
49	20, 48	coiniss 27839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑅 ∃𝑏 ∈ 𝑅 𝑏 ≤s 𝑎)
50	5	snssd 4773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐿)
51	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦} ⊆ 𝐿)
52	50, 51	unssd 4155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) ⊆ 𝐿)
53	4, 52	cofss 27838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦})∃𝑏 ∈ 𝐿 𝑎 ≤s 𝑏)
54	2, 16, 21, 47, 49, 53, 49	cofcut2d 27831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))
55	1, 54	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (({𝑋} ∪ {𝑦 ∈ 𝐿 ∣ 𝑋 <s 𝑦}) |s 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387   No csur 27551   <s cslt 27552   ≤s csle 27656   <<s csslt 27692   |s cscut 27694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sle 27657  df-sslt 27693  df-scut 27695

This theorem is referenced by:  cutpos  27841