Theorem eqcuts3 28034

Description: A variant of the simplicity theorem - if 𝐵 lies between the cut sets of 𝐴 but none of its options do, then 𝐴 = 𝐵. Theorem 11 of [Conway] p. 23. (Contributed by Scott Fenton, 28-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqcuts3.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
eqcuts3.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
eqcuts3.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
eqcuts3.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
eqcuts3.5	⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
eqcuts3.6	⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)
eqcuts3.7	⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
eqcuts3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐿,𝑥_𝑂   𝑅,𝑥_𝑂   𝑀,𝑥_𝑂   𝑆,𝑥_𝑂   𝜑,𝑥_𝑂

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥_𝑂)   𝐵(𝑥_𝑂)

Proof of Theorem eqcuts3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑥_𝐿 𝑥_𝑅 𝑧_𝐿 𝑧_𝑅 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → {𝑥𝑂} = {𝑧𝑅})
2	1	breq2d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ↔ 𝐿 <<s {𝑧𝑅}))
3	1	breq1d 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → ({𝑥𝑂} <<s 𝑅 ↔ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
4	2, 3	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → ((𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅)))
5	4	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝑅 → (¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅)))
6		eqcuts3.7	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
8		elun2 4139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝑅 ∈ 𝑆 → 𝑧𝑅 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑧𝑅 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
10	5, 7, 9	rspcdva 3585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
11		eqcuts3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {𝐵})
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝐿 <<s {𝐵})
13		eqcuts3.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑀 |s 𝑆))
14	13	sneqd 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐵} = {(𝑀 |s 𝑆)})
15		eqcuts3.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s 𝑆)
16		cutcuts 28011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 |s 𝑆) ∈ No ∧ 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)} ∧ {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆))
18	17	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 |s 𝑆)} <<s 𝑆)
19	14, 18	eqbrtrd 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑆)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} <<s 𝑆)
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑧𝑅 ∈ 𝑆)
22	21	snssd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ⊆ 𝑆)
23		ssslts2 28004	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐵} <<s 𝑆 ∧ {𝑧𝑅} ⊆ 𝑆) → {𝐵} <<s {𝑧𝑅})
24	20, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} <<s {𝑧𝑅})
25	15	cutscld 28013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 |s 𝑆) ∈ No )
26	13, 25	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
27		snnzg 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ No → {𝐵} ≠ ∅)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≠ ∅)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝐵} ≠ ∅)
30		sltstr 28017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝐵} ≠ ∅) → 𝐿 <<s {𝑧𝑅})
31	12, 24, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝐿 <<s {𝑧𝑅})
32		snex 5415	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧𝑅} ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ∈ V)
34		eqcuts3.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s 𝑅)
35		sltsex2 27994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ∈ V)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
37	36	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑅 ∈ V)
38		sltsss2 27996	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} <<s {𝑧𝑅} → {𝑧𝑅} ⊆ No )
39	24, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} ⊆ No )
40		sltsss2 27996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝑅 ⊆ No )
41	34, 40	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ No )
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → 𝑅 ⊆ No )
43		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → (𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆))
44		sltsss2 27996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑆 ⊆ No )
45	15, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ No )
46	45	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝑧𝑅 ∈ No )
47	43, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 ∈ No )
48		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝜑)
49		eqcuts3.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
50	34	cutscld 28013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐿 |s 𝑅) ∈ No )
51	49, 50	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
52	48, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ No )
53	42	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥𝑅 ∈ No )
54		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 ≤s 𝐴)
55		cutcuts 28011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
56	34, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 |s 𝑅) ∈ No ∧ 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)} ∧ {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅))
57	56	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → {(𝐿 |s 𝑅)} <<s 𝑅)
60		ovex 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 |s 𝑅) ∈ V
61	60	elsn2 4636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)} ↔ 𝐴 = (𝐿 |s 𝑅))
62	49, 61	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
64	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
65		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥𝑅 ∈ 𝑅)
66	59, 64, 65	sltssepcd 28002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝐴 <s 𝑥𝑅)
67	47, 52, 53, 54, 66	leltstrd 27966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅)
68		velsn 4610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} ↔ 𝑥 = 𝑧𝑅)
69		breq1 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧𝑅 → (𝑥 <s 𝑥𝑅 ↔ 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅))
70	68, 69	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → (𝑥 <s 𝑥𝑅 ↔ 𝑧𝑅 <s 𝑥𝑅))
71	67, 70	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → 𝑥 <s 𝑥𝑅))
72	71	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝑥𝑅 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → 𝑥 <s 𝑥𝑅)))
73	72	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝑥 ∈ {𝑧𝑅} → (𝑥𝑅 ∈ 𝑅 → 𝑥 <s 𝑥𝑅)))
74	73	3imp 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧𝑅} ∧ 𝑥𝑅 ∈ 𝑅) → 𝑥 <s 𝑥𝑅)
75	33, 37, 39, 42, 74	sltsd 27998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → {𝑧𝑅} <<s 𝑅)
76	31, 75	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴) → (𝐿 <<s {𝑧𝑅} ∧ {𝑧𝑅} <<s 𝑅))
77	10, 76	mtand 828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴)
78	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ No )
79		ltnles 27954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑧𝑅 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝑧𝑅 ↔ ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴))
80	78, 46, 79	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → (𝐴 <s 𝑧𝑅 ↔ ¬ 𝑧𝑅 ≤s 𝐴))
81	77, 80	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝑅 ∈ 𝑆) → 𝐴 <s 𝑧𝑅)
82	81	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧𝑅 ∈ 𝑆 𝐴 <s 𝑧𝑅)
83		sltssep 27997	. . . . 5 ⊢ (𝐿 <<s {𝐵} → ∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦)
84	11, 83	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦)
85		breq2 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
86	85	ralsng 4646	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ No → (∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
87	26, 86	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐵))
88	87	ralbidv 3191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐿 ∀𝑦 ∈ {𝐵}𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵))
89	84, 88	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵)
90	34, 15, 49, 13	lesrecd 28030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (∀𝑧𝑅 ∈ 𝑆 𝐴 <s 𝑧𝑅 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐿 𝑥 <s 𝐵)))
91	82, 89, 90	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
92		eqcuts3.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} <<s 𝑅)
93		sltssep 27997	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} <<s 𝑅 → ∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦)
94	92, 93	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦)
95		breq1 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐵 <s 𝑦))
96	95	ralbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
97	96	ralsng 4646	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ No → (∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
98	26, 97	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐵}∀𝑦 ∈ 𝑅 𝑥 <s 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦))
99	94, 98	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦)
100		sneq 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → {𝑥𝑂} = {𝑧𝐿})
101	100	breq2d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ↔ 𝐿 <<s {𝑧𝐿}))
102	100	breq1d 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → ({𝑥𝑂} <<s 𝑅 ↔ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
103	101, 102	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → ((𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅)))
104	103	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑂 = 𝑧𝐿 → (¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅) ↔ ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅)))
105	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ∀𝑥𝑂 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆) ¬ (𝐿 <<s {𝑥𝑂} ∧ {𝑥𝑂} <<s 𝑅))
106		elun1 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧𝐿 ∈ 𝑀 → 𝑧𝐿 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
107	106	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 ∈ (𝑀 ∪ 𝑆))
108	104, 105, 107	rspcdva 3585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ¬ (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
109		sltsex1 27993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ∈ V)
110	34, 109	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ V)
111	110	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 ∈ V)
112		snex 5415	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧𝐿} ∈ V
113	112	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ∈ V)
114		sltsss1 27995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 <<s 𝑅 → 𝐿 ⊆ No )
115	34, 114	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ No )
116	115	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐿 ⊆ No )
117	116	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 ⊆ No )
118		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ 𝑀)
119	118	snssd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ⊆ 𝑀)
120		sltsss1 27995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 <<s 𝑆 → 𝑀 ⊆ No )
121	15, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ No )
122	121	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑀 ⊆ No )
123	119, 122	sstrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} ⊆ No )
124	117	sselda 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 ∈ No )
125		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝜑)
126	125, 51	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ No )
127	121	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 ∈ No )
128	127	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ No )
129	128	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑧𝐿 ∈ No )
130	56	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
131	130	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
133	132	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐿 <<s {(𝐿 |s 𝑅)})
134		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 ∈ 𝐿)
135	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
137	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ∈ {(𝐿 |s 𝑅)})
138	133, 134, 137	sltssepcd 28002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 <s 𝐴)
139		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝐴 ≤s 𝑧𝐿)
140	124, 126, 129, 138, 139	ltlestrd 27965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿)
141		velsn 4610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} ↔ 𝑥 = 𝑧𝐿)
142		breq2 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧𝐿 → (𝑥𝐿 <s 𝑥 ↔ 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿))
143	141, 142	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} → (𝑥𝐿 <s 𝑥 ↔ 𝑥𝐿 <s 𝑧𝐿))
144	140, 143	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ {𝑧𝐿} → 𝑥𝐿 <s 𝑥))
145	144	3impia 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) ∧ 𝑥𝐿 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ {𝑧𝐿}) → 𝑥𝐿 <s 𝑥)
146	111, 113, 117, 123, 145	sltsd 27998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝐿 <<s {𝑧𝐿})
147	17	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {(𝑀 |s 𝑆)})
148	147, 14	breqtrrd 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 <<s {𝐵})
149	148	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑀 <<s {𝐵})
150	149	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝑀 <<s {𝐵})
151		ssslts1 28003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 <<s {𝐵} ∧ {𝑧𝐿} ⊆ 𝑀) → {𝑧𝐿} <<s {𝐵})
152	150, 119, 151	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} <<s {𝐵})
153		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → 𝜑)
154	153, 92	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝐵} <<s 𝑅)
155	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → {𝐵} ≠ ∅)
156	155	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝐵} ≠ ∅)
157		sltstr 28017	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑧𝐿} <<s {𝐵} ∧ {𝐵} <<s 𝑅 ∧ {𝐵} ≠ ∅) → {𝑧𝐿} <<s 𝑅)
158	152, 154, 156, 157	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → {𝑧𝐿} <<s 𝑅)
159	146, 158	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) ∧ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿) → (𝐿 <<s {𝑧𝐿} ∧ {𝑧𝐿} <<s 𝑅))
160	108, 159	mtand 828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿)
161	51	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ No )
162		ltnles 27954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧𝐿 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝑧𝐿 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿))
163	127, 161, 162	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → (𝑧𝐿 <s 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤s 𝑧𝐿))
164	160, 163	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧𝐿 ∈ 𝑀) → 𝑧𝐿 <s 𝐴)
165	164	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧𝐿 ∈ 𝑀 𝑧𝐿 <s 𝐴)
166	15, 34, 13, 49	lesrecd 28030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤s 𝐴 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑅 𝐵 <s 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐿 ∈ 𝑀 𝑧𝐿 <s 𝐴)))
167	99, 165, 166	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐴)
168		lestri3 27956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
169	51, 26, 168	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐴)))
170	91, 167, 169	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   No csur 27841   <s clts 27842   ≤s cles 27945   <<s cslts 27987   |s ccuts 27989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845  df-bday 27846  df-les 27946  df-slts 27988  df-cuts 27990

This theorem is used by:  pw2cut2  28692