Theorem sltsex2 27854

Description: The second argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltsex2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem sltsex2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brslts 27852	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simplr 778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   No csur 27701   <s clts 27702   <<s cslts 27847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-slts 27848

This theorem is referenced by:  ssslts1  27863  ssslts2  27864  conway  27869  cutsval  27870  sltstr  27877  sltsun1  27878  sltsun2  27879  etaslts  27883  etaslts2  27884  cutbdaybnd2lim  27887  lesrec  27889  eqcuts3  27894  madecut  27973  cofslts  28008  cofcut1  28010  cofcutr  28014  cutlt  28022  addsuniflem  28091  negsunif  28145  sltmuls1  28237  sltmuls2  28238  precsexlem11  28307