Theorem sltsex2 27922

Description: The second argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltsex2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem sltsex2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brslts 27920	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simplr 780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   No csur 27769   <s clts 27770   <<s cslts 27915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-slts 27916

This theorem is referenced by:  ssslts1  27931  ssslts2  27932  conway  27937  cutsval  27938  sltstr  27945  sltsun1  27946  sltsun2  27947  etaslts  27951  etaslts2  27952  cutbdaybnd2lim  27955  lesrec  27957  eqcuts3  27962  madecut  28041  cofslts  28076  cofcut1  28078  cofcutr  28082  cutlt  28090  addsuniflem  28159  negsunif  28213  sltmuls1  28305  sltmuls2  28306  precsexlem11  28375