Theorem sucmapleftuniq 38989

Description: Left uniqueness of the successor mapping. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucmapleftuniq	⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Proof of Theorem sucmapleftuniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38965	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝐿 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝐿 = 𝑁))
2		brsucmap 38965	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝑀 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑀 = 𝑁))
3	1, 2	bi2anan9 647	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋)) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
4	3	3impdir 1365	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
5		eqtr3 2784	. . 3 ⊢ ((suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀)
6	4, 5	biimtrdi 255	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀))
7		suc11reg 9574	. 2 ⊢ (suc 𝐿 = suc 𝑀 ↔ 𝐿 = 𝑀)
8	6, 7	imbitrdi 253	1 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  suc csuc 6348   SucMap csucmap 38677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-reg 9540

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5547  df-fr 5600  df-suc 6352  df-sucmap 38961

This theorem is referenced by:  preuniqval  38995