Theorem sucmapleftuniq 38602

Description: Left uniqueness of the successor mapping. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucmapleftuniq	⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Proof of Theorem sucmapleftuniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38579	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝐿 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝐿 = 𝑁))
2		brsucmap 38579	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝑀 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑀 = 𝑁))
3	1, 2	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋)) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
4	3	3impdir 1352	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
5		eqtr3 2756	. . 3 ⊢ ((suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀)
6	4, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀))
7		suc11reg 9526	. 2 ⊢ (suc 𝐿 = suc 𝑀 ↔ 𝐿 = 𝑀)
8	6, 7	imbitrdi 251	1 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  suc csuc 6317   SucMap csucmap 38317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-reg 9495

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-eprel 5522  df-fr 5575  df-suc 6321  df-sucmap 38575

This theorem is referenced by:  preuniqval  38608