Theorem sucmapleftuniq 38857

Description: Left uniqueness of the successor mapping. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucmapleftuniq	⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Proof of Theorem sucmapleftuniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38833	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝐿 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝐿 = 𝑁))
2		brsucmap 38833	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝑀 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑀 = 𝑁))
3	1, 2	bi2anan9 644	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋)) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
4	3	3impdir 1358	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
5		eqtr3 2761	. . 3 ⊢ ((suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀)
6	4, 5	biimtrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀))
7		suc11reg 9531	. 2 ⊢ (suc 𝐿 = suc 𝑀 ↔ 𝐿 = 𝑀)
8	6, 7	imbitrdi 252	1 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  suc csuc 6312   SucMap csucmap 38545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-eprel 5518  df-fr 5571  df-suc 6316  df-sucmap 38829

This theorem is referenced by:  preuniqval  38863