Theorem sucmapleftuniq 38512

Description: Left uniqueness of the successor mapping. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sucmapleftuniq	⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Proof of Theorem sucmapleftuniq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38489	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝐿 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝐿 = 𝑁))
2		brsucmap 38489	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → (𝑀 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑀 = 𝑁))
3	1, 2	bi2anan9 638	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋)) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
4	3	3impdir 1352	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) ↔ (suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁)))
5		eqtr3 2753	. . 3 ⊢ ((suc 𝐿 = 𝑁 ∧ suc 𝑀 = 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀)
6	4, 5	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → suc 𝐿 = suc 𝑀))
7		suc11reg 9509	. 2 ⊢ (suc 𝐿 = suc 𝑀 ↔ 𝐿 = 𝑀)
8	6, 7	imbitrdi 251	1 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ 𝑋) → ((𝐿 SucMap 𝑁 ∧ 𝑀 SucMap 𝑁) → 𝐿 = 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  suc csuc 6308   SucMap csucmap 38227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-eprel 5514  df-fr 5567  df-suc 6312  df-sucmap 38485

This theorem is referenced by:  preuniqval  38518