Theorem exeupre 38742

Description: Whenever a predecessor exists, it exists alone. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exeupre	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem exeupre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38717	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
2	1	el2v1 38480	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
3	2	exbidv 1923	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
4		exeupre2 38723	. . 3 ⊢ (∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁)
5	3, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
6	2	eubidv 2587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
7	5, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  suc csuc 6327   SucMap csucmap 38429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-reg 9509

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5532  df-fr 5585  df-suc 6331  df-sucmap 38713

This theorem is referenced by:  eupre2  38744