Theorem exeupre 38513

Description: Whenever a predecessor exists, it exists alone. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exeupre	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem exeupre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38489	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
2	1	el2v1 38274	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
3	2	exbidv 1922	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
4		exeupre2 38495	. . 3 ⊢ (∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁)
5	3, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
6	2	eubidv 2581	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
7	5, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  suc csuc 6308   SucMap csucmap 38227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-eprel 5514  df-fr 5567  df-suc 6312  df-sucmap 38485

This theorem is referenced by:  eupre2  38515