Theorem exeupre 38664

Description: Whenever a predecessor exists, it exists alone. (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
exeupre	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑉

Proof of Theorem exeupre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsucmap 38640	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
2	1	el2v1 38425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑚 SucMap 𝑁 ↔ suc 𝑚 = 𝑁))
3	2	exbidv 1922	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
4		exeupre2 38646	. . 3 ⊢ (∃𝑚 suc 𝑚 = 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁)
5	3, 4	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
6	2	eubidv 2586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 suc 𝑚 = 𝑁))
7	5, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (∃𝑚 𝑚 SucMap 𝑁 ↔ ∃!𝑚 𝑚 SucMap 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2568  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  suc csuc 6319   SucMap csucmap 38378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-eprel 5524  df-fr 5577  df-suc 6323  df-sucmap 38636

This theorem is referenced by:  eupre2  38666