Theorem times2 12313

Description: A number times 2. (Contributed by NM, 16-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
times2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem times2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12256	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcom 11124	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
4		2times 12312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-1rid 11108  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-2 12244

This theorem is referenced by:  times2i  12315  avglt1  12415  times2d  12421