Theorem times2 12402

Description: A number times 2. (Contributed by NM, 16-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
times2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem times2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12341	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcom 11211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
4		2times 12401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   + caddc 11128   · cmul 11130  2c2 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-mulcl 11187  ax-mulcom 11189  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-1rid 11195  ax-cnre 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7417  df-2 12328

This theorem is used by:  times2i  12404  avglt1  12507  times2d  12513