Theorem times2 12260

Description: A number times 2. (Contributed by NM, 16-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
times2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem times2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12203	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		mulcom 11095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴))
4		2times 12259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-mulcl 11071  ax-mulcom 11073  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-1rid 11079  ax-cnre 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-iota 6438  df-fv 6490  df-ov 7352  df-2 12191

This theorem is referenced by:  times2i  12262  avglt1  12362  times2d  12368