Theorem 2times 12296

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12228	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7380	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 11324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7370  ℂcc 11045  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  2c2 12220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-mulcl 11109  ax-mulcom 11111  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-1rid 11117  ax-cnre 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-iota 6453  df-fv 6508  df-ov 7373  df-2 12228

This theorem is referenced by:  times2  12297  2timesi  12298  2txmxeqx  12300  2halves  12379  halfaddsub  12394  avglt2  12400  2timesd  12404  expubnd  14122  absmax  15274  sinmul  16118  sin2t  16123  cos2t  16124  sadadd2lem2  16398  pythagtriplem4  16768  pythagtriplem14  16777  pythagtriplem16  16779  2sqreultlem  27393  2sqreunnltlem  27396  cncph  30800  pellexlem2  42813  acongrep  42964  sub2times  45266  2timesgt  45281