Theorem 2times 12382

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12309	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 11387	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-mulcom 11170  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-1rid 11176  ax-cnre 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-2 12309

This theorem is used by:  times2  12383  2timesi  12384  2txmxeqx  12386  2halves  12468  halfaddsub  12483  avglt2  12489  2timesd  12493  expubnd  14221  absmax  15388  sinmul  16234  sin2t  16239  cos2t  16240  sadadd2lem2  16514  pythagtriplem4  16885  pythagtriplem14  16894  pythagtriplem16  16896  2sqreultlem  27622  2sqreunnltlem  27625  cncph  31182  pellexlem2  43585  acongrep  43735  sub2times  46020  2timesgt  46035