Theorem 2times 11576

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11496	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 6980	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 10603	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  2c2 11488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-ext 2745  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-mulcl 10389  ax-mulcom 10391  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-1rid 10397  ax-cnre 10400

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-iota 6146  df-fv 6190  df-ov 6973  df-2 11496

This theorem is referenced by:  times2  11577  2timesi  11578  2txmxeqx  11580  2halves  11668  halfaddsub  11673  avglt2  11679  2timesd  11683  expubnd  13349  absmax  14540  sinmul  15375  sin2t  15380  cos2t  15381  sadadd2lem2  15649  pythagtriplem4  16002  pythagtriplem14  16011  pythagtriplem16  16013  2sqreultlem  25715  2sqreunnltlem  25718  cncph  28363  pellexlem2  38768  acongrep  38918  sub2times  40915  2timesgt  40929