Theorem 2times 12301

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12233	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 11306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  2c2 12225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-mulcl 11089  ax-mulcom 11091  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-1rid 11097  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-iota 6443  df-fv 6495  df-ov 7359  df-2 12233

This theorem is referenced by:  times2  12302  2timesi  12303  2txmxeqx  12305  2halves  12384  halfaddsub  12399  avglt2  12405  2timesd  12409  expubnd  14129  absmax  15281  sinmul  16128  sin2t  16133  cos2t  16134  sadadd2lem2  16408  pythagtriplem4  16779  pythagtriplem14  16788  pythagtriplem16  16790  2sqreultlem  27398  2sqreunnltlem  27401  cncph  30878  pellexlem2  43246  acongrep  43396  sub2times  45694  2timesgt  45709