Theorem 2times 12403

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12330	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7426	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 11408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-mulcom 11191  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-1rid 11197  ax-cnre 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7419  df-2 12330

This theorem is used by:  times2  12404  2timesi  12405  2txmxeqx  12407  2halves  12489  halfaddsub  12504  avglt2  12510  2timesd  12514  expubnd  14244  absmax  15419  sinmul  16264  sin2t  16269  cos2t  16270  sadadd2lem2  16544  pythagtriplem4  16915  pythagtriplem14  16924  pythagtriplem16  16926  2sqreultlem  27681  2sqreunnltlem  27684  cncph  31286  pellexlem2  43658  acongrep  43808  sub2times  46093  2timesgt  46108