Theorem 2times 12502

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12429	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 7450	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 11505	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  2c2 12421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-mulcl 11286  ax-mulcom 11288  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-1rid 11294  ax-cnre 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6509  df-fv 6563  df-ov 7443  df-2 12429

This theorem is used by:  times2  12503  2timesi  12504  2txmxeqx  12506  2halves  12588  halfaddsub  12603  avglt2  12609  2timesd  12613  expubnd  14345  absmax  15523  sinmul  16366  sin2t  16371  cos2t  16372  sadadd2lem2  16646  pythagtriplem4  17023  pythagtriplem14  17032  pythagtriplem16  17034  2sqreultlem  27801  2sqreunnltlem  27804  cncph  31448  pellexlem2  44028  acongrep  44178  sub2times  46492  2timesgt  46507