Theorem times2d 12499

Description: A number times 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
times2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem times2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		times2 12388	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 2) = (𝐴 + 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-mulcl 11173  ax-mulcom 11175  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-1rid 11181  ax-cnre 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-2 12314

This theorem is used by:  div4p1lem1div2  12510  climcndslem1  15921  climcndslem2  15922  sadcaddlem  16532  dvexp3  26166  chordthmlem  27026  chordthmlem2  27027  chordthmlem4  27029  logfaclbnd  27415  rplogsumlem1  27677  nexple  33206  aks4d1p1p5  42875  fltne  43409