MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  avglt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem avglt1 12392
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avglt1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ด < ((๐ด + ๐ต) / 2)))

Proof of Theorem avglt1
StepHypRef Expression
1 ltadd2 11260 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ด) < (๐ด + ๐ต)))
213anidm13 1421 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ด) < (๐ด + ๐ต)))
3 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11184 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 times2 12291 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 2) = (๐ด + ๐ด))
64, 5syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 2) = (๐ด + ๐ด))
76breq1d 5116 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 2) < (๐ด + ๐ต) โ†” (๐ด + ๐ด) < (๐ด + ๐ต)))
8 readdcl 11135 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
9 2re 12228 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
10 2pos 12257 . . . . 5 0 < 2
119, 10pm3.2i 472 . . . 4 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
1211a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
13 ltmuldiv 12029 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐ด ยท 2) < (๐ด + ๐ต) โ†” ๐ด < ((๐ด + ๐ต) / 2)))
143, 8, 12, 13syl3anc 1372 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 2) < (๐ด + ๐ต) โ†” ๐ด < ((๐ด + ๐ต) / 2)))
152, 7, 143bitr2d 307 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ด < ((๐ด + ๐ต) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   / cdiv 11813  2c2 12209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-2 12217
This theorem is referenced by:  avgle2  12395  geomulcvg  15762  ruclem2  16115  ruclem3  16116  dvferm1lem  25351  dvferm2lem  25353  radcnvle  25782  psercnlem1  25787  psercn  25788  pserdvlem1  25789  logtayl  26018  iooelexlt  35836  ioomidp  43759  dvbdfbdioolem2  44177  dvbdfbdioo  44178  fourierdlem10  44365
  Copyright terms: Public domain W3C validator