Theorem tsrps 18668

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18664	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  PosetRelcps 18645   TosetRel ctsr 18646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-tsr 18648

This theorem is used by:  cnvtsr  18669  tsrdir  18685  ordtbas2  23385  ordtrest2lem  23397  ordtrest2  23398  ordthauslem  23577  icopnfhmeo  25139  iccpnfhmeo  25141  xrhmeo  25142  cnvordtrestixx  34334  xrge0iifhmeo  34357