Theorem tsrps 18584

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18580	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 496	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947   × cxp 5678  ^◡ccnv 5679  dom cdm 5680  PosetRelcps 18561   TosetRel ctsr 18562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2698

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5151  df-opab 5213  df-xp 5686  df-cnv 5688  df-dm 5690  df-tsr 18564

This theorem is referenced by:  cnvtsr  18585  tsrdir  18601  ordtbas2  23113  ordtrest2lem  23125  ordtrest2  23126  ordthauslem  23305  icopnfhmeo  24886  iccpnfhmeo  24888  xrhmeo  24889  cnvordtrestixx  33519  xrge0iifhmeo  33542