Theorem tsrps 18551

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18547	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  PosetRelcps 18528   TosetRel ctsr 18529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-tsr 18531

This theorem is referenced by:  cnvtsr  18552  tsrdir  18568  ordtbas2  23181  ordtrest2lem  23193  ordtrest2  23194  ordthauslem  23373  icopnfhmeo  24935  iccpnfhmeo  24937  xrhmeo  24938  cnvordtrestixx  34104  xrge0iifhmeo  34127