Theorem tsrps 17823

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 17819	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881   × cxp 5517  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  PosetRelcps 17800   TosetRel ctsr 17801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-tsr 17803

This theorem is referenced by:  cnvtsr  17824  tsrdir  17840  ordtbas2  21796  ordtrest2lem  21808  ordtrest2  21809  ordthauslem  21988  icopnfhmeo  23548  iccpnfhmeo  23550  xrhmeo  23551  cnvordtrestixx  31266  xrge0iifhmeo  31289