Theorem tsrps 18741

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18737	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  PosetRelcps 18718   TosetRel ctsr 18719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-tsr 18721

This theorem is used by:  cnvtsr  18742  tsrdir  18758  ordtbas2  23489  ordtrest2lem  23501  ordtrest2  23502  ordthauslem  23681  icopnfhmeo  25244  iccpnfhmeo  25246  xrhmeo  25247  cnvordtrestixx  34527  xrge0iifhmeo  34550