Theorem tsrps 18681

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18677	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  PosetRelcps 18658   TosetRel ctsr 18659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-tsr 18661

This theorem is used by:  cnvtsr  18682  tsrdir  18698  ordtbas2  23422  ordtrest2lem  23434  ordtrest2  23435  ordthauslem  23614  icopnfhmeo  25177  iccpnfhmeo  25179  xrhmeo  25180  cnvordtrestixx  34431  xrge0iifhmeo  34454