Theorem tsrps 17825

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 17821	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 500	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3934   ⊆ wss 3936   × cxp 5548  ^◡ccnv 5549  dom cdm 5550  PosetRelcps 17802   TosetRel ctsr 17803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5556  df-cnv 5558  df-dm 5560  df-tsr 17805

This theorem is referenced by:  cnvtsr  17826  tsrdir  17842  ordtbas2  21793  ordtrest2lem  21805  ordtrest2  21806  ordthauslem  21985  icopnfhmeo  23541  iccpnfhmeo  23543  xrhmeo  23544  cnvordtrestixx  31151  xrge0iifhmeo  31174