Theorem tsrps 18766

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18762	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  PosetRelcps 18743   TosetRel ctsr 18744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-tsr 18746

This theorem is used by:  cnvtsr  18767  tsrdir  18783  ordtbas2  23514  ordtrest2lem  23526  ordtrest2  23527  ordthauslem  23706  icopnfhmeo  25269  iccpnfhmeo  25271  xrhmeo  25272  cnvordtrestixx  34591  xrge0iifhmeo  34614