Theorem tsrps 18511

Description: A toset is a poset. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tsrps	⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Proof of Theorem tsrps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
2	1	istsr 18507	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel ↔ (𝑅 ∈ PosetRel ∧ (dom 𝑅 × dom 𝑅) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  PosetRelcps 18488   TosetRel ctsr 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-tsr 18491

This theorem is referenced by:  cnvtsr  18512  tsrdir  18528  ordtbas2  23094  ordtrest2lem  23106  ordtrest2  23107  ordthauslem  23286  icopnfhmeo  24857  iccpnfhmeo  24859  xrhmeo  24860  cnvordtrestixx  33879  xrge0iifhmeo  33902