Theorem cnvordtrestixx 34045

Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnvordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lern 18546	. . . . 5 ⊢ ℝ* = ran ≤
2		df-rn 5631	. . . . 5 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
3	1, 2	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
4		letsr 18548	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		cnvtsr 18543	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ TosetRel
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
8		cnvordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		brcnvg 5823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		brcnvg 5823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
16	11, 15	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)))
17		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	rabbidva 3393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	8, 20	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23	8, 22	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24		iccval 13326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
25	21, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
26		cnvordtrestixx.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
27	26	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
28	25, 27	eqsstrrd 3952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
29	19, 28	eqsstrd 3951	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
31	3, 7, 9, 30	ordtrest2 23157	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴))
32	31	mptru 1549	. 2 ⊢ (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴)
33		tsrps 18542	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
34	4, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
35		ordtcnv 23154	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
37	36	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
38	32, 37	eqtr2i 2759	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {crab 3387   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  ran crn 5621  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11167   ≤ cle 11169  [,]cicc 13290   ↾_t crest 17372  ordTopcordt 17452  PosetRelcps 18519   TosetRel ctsr 18520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9313  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-icc 13294  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-ordt 17454  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899

This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  34068