Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvordtrestixx 32494
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 18480 . . . . 5 * = ran ≤
2 df-rn 5644 . . . . 5 ran ≤ = dom
31, 2eqtri 2764 . . . 4 * = dom
4 letsr 18482 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
5 cnvtsr 18477 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ TosetRel )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 brcnvg 5835 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
1110adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥𝐴)
14 brcnvg 5835 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥𝐴) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1611, 15anbi12d 631 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑥𝑧)))
17 ancom 461 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑥𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦))
1816, 17bitrdi 286 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
1918rabbidva 3414 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
20 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
218, 20sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
238, 22sselid 3942 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24 iccval 13303 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2726ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2825, 27eqsstrrd 3983 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
2919, 28eqsstrd 3982 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
3029adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
313, 7, 9, 30ordtrest2 22555 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
3231mptru 1548 . 2 (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
33 tsrps 18476 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
344, 33ax-mp 5 . . . 4 ≤ ∈ PosetRel
35 ordtcnv 22552 . . . 4 ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
3736oveq1i 7367 . 2 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
3832, 37eqtr2i 2765 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  {crab 3407  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  *cxr 11188  cle 11190  [,]cicc 13267  t crest 17302  ordTopcordt 17381  PosetRelcps 18453   TosetRel ctsr 18454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-icc 13271  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  32517
  Copyright terms: Public domain W3C validator