Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvordtrestixx 33912
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 18636 . . . . 5 * = ran ≤
2 df-rn 5696 . . . . 5 ran ≤ = dom
31, 2eqtri 2765 . . . 4 * = dom
4 letsr 18638 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
5 cnvtsr 18633 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ TosetRel )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ TosetRel
76a1i 11 . . . 4 (⊤ → ≤ ∈ TosetRel )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 ⊆ ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10 brcnvg 5890 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
1110adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥𝐴)
14 brcnvg 5890 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥𝐴) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧𝑥𝑥𝑧))
1611, 15anbi12d 632 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑧𝑦𝑥𝑧)))
17 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑥𝑧) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦))
1816, 17bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑧𝑧𝑥) ↔ (𝑥𝑧𝑧𝑦)))
1918rabbidva 3443 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
20 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
218, 20sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦𝐴)
238, 22sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24 iccval 13426 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
2521, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2726ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
2825, 27eqsstrrd 4019 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ⊆ 𝐴)
2919, 28eqsstrd 4018 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑥𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
3029adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦𝑧𝑧𝑥)} ⊆ 𝐴)
313, 7, 9, 30ordtrest2 23212 . . 3 (⊤ → (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴))
3231mptru 1547 . 2 (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
33 tsrps 18632 . . . . 5 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
344, 33ax-mp 5 . . . 4 ≤ ∈ PosetRel
35 ordtcnv 23209 . . . 4 ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
3736oveq1i 7441 . 2 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
3832, 37eqtr2i 2766 1 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘( ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  {crab 3436  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  t crest 17465  ordTopcordt 17544  PosetRelcps 18609   TosetRel ctsr 18610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-icc 13394  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  33935
  Copyright terms: Public domain W3C validator