Theorem cnvordtrestixx 34212

Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnvordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lern 18625	. . . . 5 ⊢ ℝ* = ran ≤
2		df-rn 5660	. . . . 5 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
3	1, 2	eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
4		letsr 18627	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		cnvtsr 18622	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ TosetRel
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
8		cnvordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		brcnvg 5853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
11	10	adantlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
12		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		brcnvg 5853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
15	12, 13, 14	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
16	11, 15	anbi12d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)))
17		ancom 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
18	16, 17	bitrdi 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	rabbidva 3422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
20		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	8, 20	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23	8, 22	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24		iccval 13390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
25	21, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
26		cnvordtrestixx.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
27	26	ancoms 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
28	25, 27	eqsstrrd 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
29	19, 28	eqsstrd 3972	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
30	29	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
31	3, 7, 9, 30	ordtrest2 23266	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴))
32	31	mptru 1569	. 2 ⊢ (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴)
33		tsrps 18621	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
34	4, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
35		ordtcnv 23263	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
37	36	oveq1i 7408	. 2 ⊢ ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
38	32, 37	eqtr2i 2788	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  {crab 3416   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102   × cxp 5647  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649  ran crn 5650  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  [,]cicc 13354   ↾_t crest 17451  ordTopcordt 17531  PosetRelcps 18598   TosetRel ctsr 18599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fi 9359  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-icc 13358  df-rest 17453  df-topgen 17474  df-ordt 17533  df-ps 18600  df-tsr 18601  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008

This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  34235