Theorem cnvordtrestixx 33910

Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvordtrestixx.1	⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
cnvordtrestixx.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnvordtrestixx	⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lern 18557	. . . . 5 ⊢ ℝ* = ran ≤
2		df-rn 5652	. . . . 5 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
3	1, 2	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
4		letsr 18559	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
5		cnvtsr 18554	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ TosetRel
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡ ≤ ∈ TosetRel )
8		cnvordtrestixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
10		brcnvg 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
11	10	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑦◡ ≤ 𝑧 ↔ 𝑧 ≤ 𝑦))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		brcnvg 5846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑧◡ ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑧))
16	11, 15	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧)))
17		ancom 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥) ↔ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)))
19	18	rabbidva 3415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
20		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21	8, 20	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23	8, 22	sselid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24		iccval 13352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
26		cnvordtrestixx.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
27	26	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ 𝐴)
28	25, 27	eqsstrrd 3985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)} ⊆ 𝐴)
29	19, 28	eqsstrd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◡ ≤ 𝑧 ∧ 𝑧◡ ≤ 𝑥)} ⊆ 𝐴)
31	3, 7, 9, 30	ordtrest2 23098	. . 3 ⊢ (⊤ → (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴))
32	31	mptru 1547	. 2 ⊢ (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴)
33		tsrps 18553	. . . . 5 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
34	4, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
35		ordtcnv 23095	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ ))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ordTop‘◡ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
37	36	oveq1i 7400	. 2 ⊢ ((ordTop‘◡ ≤ ) ↾t 𝐴) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴)
38	32, 37	eqtr2i 2754	1 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝐴) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  [,]cicc 13316   ↾_t crest 17390  ordTopcordt 17469  PosetRelcps 18530   TosetRel ctsr 18531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-icc 13320  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840

This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  33933