Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnvordtrestixx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvordtrestixx 33450
Description: The restriction of the 'greater than' order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvordtrestixx.1 𝐴 βŠ† ℝ*
cnvordtrestixx.2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnvordtrestixx ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnvordtrestixx
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lern 18574 . . . . 5 ℝ* = ran ≀
2 df-rn 5683 . . . . 5 ran ≀ = dom β—‘ ≀
31, 2eqtri 2755 . . . 4 ℝ* = dom β—‘ ≀
4 letsr 18576 . . . . . 6 ≀ ∈ TosetRel
5 cnvtsr 18571 . . . . . 6 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ β—‘ ≀ ∈ TosetRel )
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 β—‘ ≀ ∈ TosetRel
76a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β—‘ ≀ ∈ TosetRel )
8 cnvordtrestixx.1 . . . . 5 𝐴 βŠ† ℝ*
98a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ*)
10 brcnvg 5876 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦))
1110adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ↔ 𝑧 ≀ 𝑦))
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
13 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14 brcnvg 5876 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧◑ ≀ π‘₯ ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
1611, 15anbi12d 630 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯) ↔ (𝑧 ≀ 𝑦 ∧ π‘₯ ≀ 𝑧)))
17 ancom 460 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≀ 𝑦 ∧ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦))
1816, 17bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)))
1918rabbidva 3434 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
20 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
218, 20sselid 3976 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
22 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
238, 22sselid 3976 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
24 iccval 13387 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
2521, 23, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
26 cnvordtrestixx.2 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
2726ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† 𝐴)
2825, 27eqsstrrd 4017 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)} βŠ† 𝐴)
2919, 28eqsstrd 4016 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
3029adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑦◑ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧◑ ≀ π‘₯)} βŠ† 𝐴)
313, 7, 9, 30ordtrest2 23095 . . 3 (⊀ β†’ (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
3231mptru 1541 . 2 (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) β†Ύt 𝐴)
33 tsrps 18570 . . . . 5 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ ≀ ∈ PosetRel)
344, 33ax-mp 5 . . . 4 ≀ ∈ PosetRel
35 ordtcnv 23092 . . . 4 ( ≀ ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ ))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 (ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
3736oveq1i 7424 . 2 ((ordTopβ€˜β—‘ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴)
3832, 37eqtr2i 2756 1 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) = (ordTopβ€˜(β—‘ ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099  {crab 3427   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271  [,]cicc 13351   β†Ύt crest 17393  ordTopcordt 17472  PosetRelcps 18547   TosetRel ctsr 18548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-icc 13355  df-rest 17395  df-topgen 17416  df-ordt 17474  df-ps 18549  df-tsr 18550  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836
This theorem is referenced by:  xrge0iifhmeo  33473
  Copyright terms: Public domain W3C validator