Theorem xrge0iifhmeo 34042

Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval to the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifhmeo	⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18514	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2		tsrps 18508	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
4	3	elexi 3461	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ V
5	4	inex1 5260	. . 3 ⊢ ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
6		cnvps 18499	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → ◡ ≤ ∈ PosetRel)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ PosetRel
8	7	elexi 3461	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ ∈ V
9	8	inex1 5260	. . 3 ⊢ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
10		xrge0iifhmeo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
11	10	xrge0iifiso 34041	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞))
12		iccssxr 13344	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ*
13		iccssxr 13344	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14		gtiso 32729	. . . . . . 7 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
16	11, 15	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
17		isores1 7278	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
18	16, 17	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
19		isores2 7277	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
20	18, 19	mpbi 230	. . 3 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
21		ledm 18511	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ≤
22	21	psssdm 18503	. . . . . 6 ⊢ (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
23	3, 12, 22	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
24	23	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
25		lern 18512	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ* = ran ≤
26		df-rn 5633	. . . . . . . 8 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
27	25, 26	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
28	27	psssdm 18503	. . . . . 6 ⊢ ((◡ ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
29	7, 13, 28	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
30	29	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
31	24, 30	ordthmeo 23744	. . 3 ⊢ ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
32	5, 9, 20, 31	mp3an 1463	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
33		dfii5 24832	. . 3 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
34		xrge0iifhmeo.k	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
35		iccss2 13331	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,]+∞))
36	13, 35	cnvordtrestixx 34019	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
37	34, 36	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
38	33, 37	oveq12i 7368	. 2 ⊢ (IIHomeo𝐽) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
39	32, 38	eleqtrri 2833	1 ⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ifcif 4477   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  -cneg 11363  [,]cicc 13262   ↾_t crest 17338  ordTopcordt 17418  PosetRelcps 18485   TosetRel ctsr 18486  Homeochmeo 23695  IIcii 24822  logclog 26517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-ordt 17420  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-ps 18487  df-tsr 18488  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-ii 24824  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519

This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  34046  xrge0tmd  34051