Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhmeo 32329
Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval to the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhmeo 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18442 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
2 tsrps 18436 . . . . . 6 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ PosetRel
43elexi 3462 . . . 4 ≤ ∈ V
54inex1 5272 . . 3 ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
6 cnvps 18427 . . . . . 6 ( ≤ ∈ PosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ≤ ∈ PosetRel
87elexi 3462 . . . 4 ≤ ∈ V
98inex1 5272 . . 3 ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
10 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
1110xrge0iifiso 32328 . . . . . 6 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
12 iccssxr 13301 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ*
13 iccssxr 13301 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14 gtiso 31441 . . . . . . 7 (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . 6 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1611, 15mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
17 isores1 7275 . . . . 5 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1816, 17mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
19 isores2 7274 . . . 4 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
2018, 19mpbi 229 . . 3 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
21 ledm 18439 . . . . . . 7 * = dom ≤
2221psssdm 18431 . . . . . 6 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
233, 12, 22mp2an 690 . . . . 5 dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
2423eqcomi 2746 . . . 4 (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
25 lern 18440 . . . . . . . 8 * = ran ≤
26 df-rn 5642 . . . . . . . 8 ran ≤ = dom
2725, 26eqtri 2765 . . . . . . 7 * = dom
2827psssdm 18431 . . . . . 6 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
297, 13, 28mp2an 690 . . . . 5 dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
3029eqcomi 2746 . . . 4 (0[,]+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
3124, 30ordthmeo 23105 . . 3 ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
325, 9, 20, 31mp3an 1461 . 2 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
33 dfii5 24200 . . 3 II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
34 xrge0iifhmeo.k . . . 4 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
35 iccss2 13289 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,]+∞))
3613, 35cnvordtrestixx 32306 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
3734, 36eqtri 2765 . . 3 𝐽 = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
3833, 37oveq12i 7363 . 2 (IIHomeo𝐽) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
3932, 38eleqtrri 2837 1 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908  ifcif 4484  cmpt 5186   × cxp 5629  ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  cfv 6493   Isom wiso 6494  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11144  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  -cneg 11344  [,]cicc 13221  t crest 17262  ordTopcordt 17341  PosetRelcps 18413   TosetRel ctsr 18414  Homeochmeo 23056  IIcii 24190  logclog 25862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913  df-pi 15915  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-ordt 17343  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-ps 18415  df-tsr 18416  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-mulg 18832  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lp 22439  df-perf 22440  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-haus 22618  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-ii 24192  df-cncf 24193  df-limc 25182  df-dv 25183  df-log 25864
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  32333  xrge0tmd  32338
  Copyright terms: Public domain W3C validator