Theorem xrge0iifhmeo 34679

Description: Expose a homeomorphism from the closed unit interval to the extended nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0iifhmeo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0iifhmeo	⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhmeo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letsr 18817	. . . . . 6 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
2		tsrps 18811	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ PosetRel
4	3	elexi 3476	. . . 4 ⊢ ≤ ∈ V
5	4	inex1 5284	. . 3 ⊢ ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
6		cnvps 18802	. . . . . 6 ⊢ ( ≤ ∈ PosetRel → ◡ ≤ ∈ PosetRel)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ◡ ≤ ∈ PosetRel
8	7	elexi 3476	. . . 4 ⊢ ◡ ≤ ∈ V
9	8	inex1 5284	. . 3 ⊢ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
10		xrge0iifhmeo.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
11	10	xrge0iifiso 34678	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞))
12		iccssxr 13601	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ*
13		iccssxr 13601	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14		gtiso 33391	. . . . . . 7 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
15	12, 13, 14	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
16	11, 15	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ 𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
17		isores1 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Isom ≤ , ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
18	16, 17	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
19		isores2 7372	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ◡ ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
20	18, 19	mpbi 233	. . 3 ⊢ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
21		ledm 18814	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ≤
22	21	psssdm 18806	. . . . . 6 ⊢ (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
23	3, 12, 22	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
24	23	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
25		lern 18815	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ* = ran ≤
26		df-rn 5669	. . . . . . . 8 ⊢ ran ≤ = dom ◡ ≤
27	25, 26	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* = dom ◡ ≤
28	27	psssdm 18806	. . . . . 6 ⊢ ((◡ ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
29	7, 13, 28	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
30	29	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = dom (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
31	24, 30	ordthmeo 24176	. . 3 ⊢ ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), (◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
32	5, 9, 20, 31	mp3an 1491	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
33		dfii5 25261	. . 3 ⊢ II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
34		xrge0iifhmeo.k	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
35		iccss2 13588	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,]+∞))
36	13, 35	cnvordtrestixx 34656	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
37	34, 36	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
38	33, 37	oveq12i 7463	. 2 ⊢ (IIHomeo𝐽) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘(◡ ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
39	32, 38	eleqtrri 2863	1 ⊢ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ifcif 4485   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659  ‘cfv 6566   Isom wiso 6567  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   -cneg 11581  [,]cicc 13519   ↾_t crest 17641  ordTopcordt 17721  PosetRelcps 18788   TosetRel ctsr 18789  Homeochmeo 24127  IIcii 25251  logclog 26939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-ordt 17723  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-ps 18790  df-tsr 18791  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-ii 25253  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941

This theorem is used by:  xrge0pluscn  34683  xrge0tmd  34688