MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2 22571
Description: An interval-closed set 𝐴 in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in ℝ, but in other sets like β„š there are interval-closed sets like (Ο€, +∞) ∩ β„š that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
ordtrest2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
2 tsrps 18481 . . . 4 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
4 ordtrest2.1 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
51dmexd 7843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 ∈ V)
64, 5eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
7 ordtrest2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
86, 7ssexd 5282 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
9 ordtrest 22569 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})
134, 11, 12ordtval 22556 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
141, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
1514oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
16 fibas 22343 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases
17 tgrest 22526 . . . . . 6 (((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1816, 8, 17sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1915, 18eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)))
20 firest 17319 . . . . 5 (fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴)) = ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)
2120fveq2i 6846 . . . 4 (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴))
2219, 21eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))))
23 inex1g 5277 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
241, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
25 ordttop 22567 . . . . 5 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
2624, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
274, 11, 12ordtuni 22557 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
2928, 6eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
30 uniexb 7699 . . . . . . 7 (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
32 restval 17313 . . . . . 6 ((({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
3331, 8, 32syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
34 sseqin2 4176 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
357, 34sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
3736ordttopon 22560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
394psssdm 18476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
403, 7, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
4140fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (TopOnβ€˜π΄))
4238, 41eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
43 toponmax 22291 . . . . . . . . . . . 12 ((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4535, 44eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
46 elsni 4604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ 𝑣 = 𝑋)
4746ineq1d 4172 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ 𝐴))
4847eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
4945, 48syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5049ralrimiv 3139 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
51 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
524, 1, 7, 51ordtrest2lem 22570 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
53 df-rn 5645 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑅 = dom ◑𝑅
54 cnvtsr 18482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
564psrn 18469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
573, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
587, 57sseqtrd 3985 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝑅)
5957adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
6059rabeqdv 3421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)})
61 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
62 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
6361, 62brcnv 5839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
64 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
6562, 64brcnv 5839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧◑𝑅π‘₯ ↔ π‘₯𝑅𝑧)
6663, 65anbi12ci 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯) ↔ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))
6766rabbii 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)}
6860, 67eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)})
6968, 51eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7069ancom2s 649 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7153, 55, 58, 70ordtrest2lem 22570 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
72 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ V
7372, 62brcnv 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑀)
7473bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧)
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧𝑅𝑀 ↔ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧))
7757, 76rabeqbidv 3423 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀} = {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})
7857, 77mpteq12dv 5197 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
7978rneqd 5894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
80 psss 18474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
813, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
82 ordtcnv 22568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
84 cnvin 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴))
85 cnvxp 6110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β—‘(𝐴 Γ— 𝐴) = (𝐴 Γ— 𝐴)
8685ineq2i 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8784, 86eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8887fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
8983, 88eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9089eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9179, 90raleqbidv 3318 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9271, 91mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
93 ralunb 4152 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9452, 92, 93sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
95 ralunb 4152 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9650, 94, 95sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
97 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) = (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴))
9897fmpt 7059 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9996, 98sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10099frnd 6677 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10133, 100eqsstrd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
102 tgfiss 22357 . . . 4 (((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top ∧ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10326, 101, 102syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10422, 103eqsstrd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10510, 104eqssd 3962 1 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  ficfi 9351   β†Ύt crest 17307  topGenctg 17324  ordTopcordt 17386  PosetRelcps 18458   TosetRel ctsr 18459  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  TopBasesctb 22311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-fi 9352  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312
This theorem is referenced by:  ordtrestixx  22589  cnvordtrestixx  32551
  Copyright terms: Public domain W3C validator