MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2 22929
Description: An interval-closed set 𝐴 in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in ℝ, but in other sets like β„š there are interval-closed sets like (Ο€, +∞) ∩ β„š that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
ordtrest2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
2 tsrps 18545 . . . 4 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
4 ordtrest2.1 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
51dmexd 7899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 ∈ V)
64, 5eqeltrid 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
7 ordtrest2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
86, 7ssexd 5325 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
9 ordtrest 22927 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
11 eqid 2731 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})
12 eqid 2731 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})
134, 11, 12ordtval 22914 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
141, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
1514oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
16 fibas 22701 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases
17 tgrest 22884 . . . . . 6 (((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1816, 8, 17sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1915, 18eqtr4d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)))
20 firest 17383 . . . . 5 (fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴)) = ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)
2120fveq2i 6895 . . . 4 (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴))
2219, 21eqtr4di 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))))
23 inex1g 5320 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
241, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
25 ordttop 22925 . . . . 5 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
2624, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
274, 11, 12ordtuni 22915 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
2928, 6eqeltrrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
30 uniexb 7754 . . . . . . 7 (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
32 restval 17377 . . . . . 6 ((({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
3331, 8, 32syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
34 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
357, 34sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
36 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
3736ordttopon 22918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
394psssdm 18540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
403, 7, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
4140fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (TopOnβ€˜π΄))
4238, 41eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
43 toponmax 22649 . . . . . . . . . . . 12 ((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4535, 44eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
46 elsni 4646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ 𝑣 = 𝑋)
4746ineq1d 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ 𝐴))
4847eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
4945, 48syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5049ralrimiv 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
51 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
524, 1, 7, 51ordtrest2lem 22928 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
53 df-rn 5688 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑅 = dom ◑𝑅
54 cnvtsr 18546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
564psrn 18533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
573, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
587, 57sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝑅)
5957adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
6059rabeqdv 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)})
61 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
62 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
6361, 62brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
64 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
6562, 64brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧◑𝑅π‘₯ ↔ π‘₯𝑅𝑧)
6663, 65anbi12ci 627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯) ↔ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))
6766rabbii 3437 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)}
6860, 67eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)})
6968, 51eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7069ancom2s 647 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7153, 55, 58, 70ordtrest2lem 22928 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
72 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ V
7372, 62brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑀)
7473bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧)
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧))
7675notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧𝑅𝑀 ↔ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧))
7757, 76rabeqbidv 3448 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀} = {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})
7857, 77mpteq12dv 5240 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
7978rneqd 5938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
80 psss 18538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
813, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
82 ordtcnv 22926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
84 cnvin 6145 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴))
85 cnvxp 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β—‘(𝐴 Γ— 𝐴) = (𝐴 Γ— 𝐴)
8685ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8784, 86eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8887fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
8983, 88eqtr3di 2786 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9089eleq2d 2818 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9179, 90raleqbidv 3341 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9271, 91mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
93 ralunb 4192 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9452, 92, 93sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
95 ralunb 4192 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9650, 94, 95sylanbrc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
97 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) = (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴))
9897fmpt 7112 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9996, 98sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10099frnd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10133, 100eqsstrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
102 tgfiss 22715 . . . 4 (((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top ∧ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10326, 101, 102syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10422, 103eqsstrd 4021 . 2 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10510, 104eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  ficfi 9408   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  ordTopcordt 17450  PosetRelcps 18522   TosetRel ctsr 18523  Topctop 22616  TopOnctopon 22633  TopBasesctb 22669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-fi 9409  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  ordtrestixx  22947  cnvordtrestixx  33188
  Copyright terms: Public domain W3C validator