MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordtrest2 22708
Description: An interval-closed set 𝐴 in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in ℝ, but in other sets like β„š there are interval-closed sets like (Ο€, +∞) ∩ β„š that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
ordtrest2.4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables 𝑀 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ TosetRel )
2 tsrps 18540 . . . 4 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
4 ordtrest2.1 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
51dmexd 7896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 ∈ V)
64, 5eqeltrid 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
7 ordtrest2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
86, 7ssexd 5325 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
9 ordtrest 22706 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
103, 8, 9syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})
134, 11, 12ordtval 22693 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
141, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜π‘…) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))))
1514oveq1d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
16 fibas 22480 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases
17 tgrest 22663 . . . . . 6 (((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) ∈ TopBases ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1816, 8, 17sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)) = ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))) β†Ύt 𝐴))
1915, 18eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)))
20 firest 17378 . . . . 5 (fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴)) = ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴)
2120fveq2i 6895 . . . 4 (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) = (topGenβ€˜((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))) β†Ύt 𝐴))
2219, 21eqtr4di 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))))
23 inex1g 5320 . . . . . 6 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
241, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
25 ordttop 22704 . . . . 5 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
2624, 25syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top)
274, 11, 12ordtuni 22694 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
281, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))))
2928, 6eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
30 uniexb 7751 . . . . . . 7 (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ↔ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
3129, 30sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V)
32 restval 17372 . . . . . 6 ((({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
3331, 8, 32syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) = ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)))
34 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
357, 34sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
3736ordttopon 22697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
394psssdm 18535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
403, 7, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
4140fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (TopOnβ€˜dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (TopOnβ€˜π΄))
4238, 41eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
43 toponmax 22428 . . . . . . . . . . . 12 ((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ (TopOnβ€˜π΄) β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
4535, 44eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
46 elsni 4646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ 𝑣 = 𝑋)
4746ineq1d 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝑋 ∩ 𝐴))
4847eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
4945, 48syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ {𝑋} β†’ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
5049ralrimiv 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
51 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} βŠ† 𝐴)
524, 1, 7, 51ordtrest2lem 22707 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
53 df-rn 5688 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑅 = dom ◑𝑅
54 cnvtsr 18541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ◑𝑅 ∈ TosetRel )
564psrn 18528 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
573, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
587, 57sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ran 𝑅)
5957adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 = ran 𝑅)
6059rabeqdv 3448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)})
61 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
62 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
6361, 62brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
64 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
6562, 64brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧◑𝑅π‘₯ ↔ π‘₯𝑅𝑧)
6663, 65anbi12ci 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯) ↔ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))
6766rabbii 3439 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)}
6860, 67eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} = {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)})
6968, 51eqsstrrd 4022 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7069ancom2s 649 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝑅 ∣ (𝑦◑𝑅𝑧 ∧ 𝑧◑𝑅π‘₯)} βŠ† 𝐴)
7153, 55, 58, 70ordtrest2lem 22707 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
72 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 ∈ V
7372, 62brcnv 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀◑𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑀)
7473bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧)
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑧𝑅𝑀 ↔ 𝑀◑𝑅𝑧))
7675notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧𝑅𝑀 ↔ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧))
7757, 76rabeqbidv 3450 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀} = {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})
7857, 77mpteq12dv 5240 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
7978rneqd 5938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}) = ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧}))
80 psss 18533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
813, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel)
82 ordtcnv 22705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
84 cnvin 6145 . . . . . . . . . . . . . . 15 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴))
85 cnvxp 6157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β—‘(𝐴 Γ— 𝐴) = (𝐴 Γ— 𝐴)
8685ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝑅 ∩ β—‘(𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8784, 86eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
8887fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (ordTopβ€˜β—‘(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
8983, 88eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9089eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9179, 90raleqbidv 3343 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ ran 𝑅 ↦ {𝑀 ∈ ran 𝑅 ∣ Β¬ 𝑀◑𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(◑𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9271, 91mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
93 ralunb 4192 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9452, 92, 93sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
95 ralunb 4192 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {𝑋} (𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∧ βˆ€π‘£ ∈ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))))
9650, 94, 95sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
97 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) = (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴))
9897fmpt 7110 . . . . . . 7 (βˆ€π‘£ ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ↔ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
9996, 98sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)):({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀})))⟢(ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10099frnd 6726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑣 ∈ ({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) ↦ (𝑣 ∩ 𝐴)) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10133, 100eqsstrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
102 tgfiss 22494 . . . 4 (((ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) ∈ Top ∧ (({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10326, 101, 102syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(({𝑋} βˆͺ (ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑀𝑅𝑧}) βˆͺ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑀 ∈ 𝑋 ∣ Β¬ 𝑧𝑅𝑀}))) β†Ύt 𝐴))) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10422, 103eqsstrd 4021 . 2 (πœ‘ β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) βŠ† (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))))
10510, 104eqssd 4000 1 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ficfi 9405   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445  PosetRelcps 18517   TosetRel ctsr 18518  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  ordtrestixx  22726  cnvordtrestixx  32893
  Copyright terms: Public domain W3C validator