MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 24459
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
21icopnfcnv 24458 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 485 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞)
4 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1xr 11273 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
6 elico2 13388 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1)))
74, 5, 6mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1))
87simp1bi 1146 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98ssriv 3987 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ
109sseli 3979 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
12 elico2 13388 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1)))
134, 5, 12mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1))
1413simp3bi 1148 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 < 1)
159sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
17 difrp 13012 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 13022 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2120adantl 483 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2215adantl 483 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
23 elico2 13388 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1)))
244, 5, 23mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1))
2524simp3bi 1148 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 < 1)
26 difrp 13012 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2710, 16, 26sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 13022 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))
31 lt2mul2div 12092 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3211, 21, 22, 30, 31syl22anc 838 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3311, 22remulcld 11244 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
3411, 22, 33ltsub1d 11823 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
3511recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
36 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3722recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3835, 36, 37subdid 11670 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
3935mulridd 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 1) = 𝑧)
4039oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4138, 40eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4237, 36, 35subdid 11670 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)))
4337mulridd 11231 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4437, 35mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 𝑧) = (𝑧 Β· 𝑀))
4543, 44oveq12d 7427 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4741, 46breq12d 5162 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
4834, 47bitr4d 282 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
50 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑧))
5149, 50oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
52 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ π‘₯ = 𝑀)
55 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑀))
5654, 55oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
57 ovex 7442 . . . . . . 7 (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
5953, 58breqan12d 5165 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
6032, 48, 593bitr4d 311 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
6160rgen2 3198 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))
62 df-isom 6553 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))))
633, 61, 62mpbir2an 710 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 18546 . . . . . 6 ≀ ∈ TosetRel
6564elexi 3494 . . . . 5 ≀ ∈ V
6665inex1 5318 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 5318 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 13409 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ*
69 icossxr 13409 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
70 leiso 14420 . . . . . . . 8 (((0[,)1) βŠ† ℝ* ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 229 . . . . . 6 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 7331 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 7330 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 18540 . . . . . . . 8 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ ≀ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≀ ∈ PosetRel
79 ledm 18543 . . . . . . . 8 ℝ* = dom ≀
8079psssdm 18535 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 691 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2742 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1)))
8379psssdm 18535 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 691 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2742 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 23306 . . . 4 ((( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1462 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
89 eqid 2733 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
9088, 89xrrest2 24324 . . . . . 6 ((0[,)1) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)))
919, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1))
92 iccssico2 13398 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 22726 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2761 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
95 rge0ssre 13433 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
9688, 89xrrest2 24324 . . . . . 6 ((0[,)+∞) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞))
98 iccssico2 13398 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 22726 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2761 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 7421 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))) = ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2833 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 472 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„+crp 12974  [,)cico 13326   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  ordTopcordt 17445  PosetRelcps 18517   TosetRel ctsr 18518  β„‚fldccnfld 20944  Homeochmeo 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24461
  Copyright terms: Public domain W3C validator