MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 24458
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
21icopnfcnv 24457 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 484 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞)
4 0re 11215 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1xr 11272 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
6 elico2 13387 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1)))
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1))
87simp1bi 1145 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98ssriv 3986 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ
109sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
12 elico2 13387 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1)))
134, 5, 12mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1))
1413simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 < 1)
159sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 1re 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
17 difrp 13011 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 13021 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2215adantl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
23 elico2 13387 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1)))
244, 5, 23mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1))
2524simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 < 1)
26 difrp 13011 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2710, 16, 26sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 13021 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))
31 lt2mul2div 12091 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3211, 21, 22, 30, 31syl22anc 837 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3311, 22remulcld 11243 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
3411, 22, 33ltsub1d 11822 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
3511recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
36 1cnd 11208 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3722recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3835, 36, 37subdid 11669 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
3935mulridd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 1) = 𝑧)
4039oveq1d 7423 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4138, 40eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4237, 36, 35subdid 11669 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)))
4337mulridd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4437, 35mulcomd 11234 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 𝑧) = (𝑧 Β· 𝑀))
4543, 44oveq12d 7426 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4741, 46breq12d 5161 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
4834, 47bitr4d 281 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
50 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑧))
5149, 50oveq12d 7426 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
52 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ π‘₯ = 𝑀)
55 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑀))
5654, 55oveq12d 7426 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
57 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
5953, 58breqan12d 5164 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
6032, 48, 593bitr4d 310 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
6160rgen2 3197 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))
62 df-isom 6552 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))))
633, 61, 62mpbir2an 709 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 18545 . . . . . 6 ≀ ∈ TosetRel
6564elexi 3493 . . . . 5 ≀ ∈ V
6665inex1 5317 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 5317 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 13408 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ*
69 icossxr 13408 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
70 leiso 14419 . . . . . . . 8 (((0[,)1) βŠ† ℝ* ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 229 . . . . . 6 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 7330 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 7329 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 18539 . . . . . . . 8 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ ≀ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≀ ∈ PosetRel
79 ledm 18542 . . . . . . . 8 ℝ* = dom ≀
8079psssdm 18534 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 690 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2741 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1)))
8379psssdm 18534 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 690 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2741 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 23305 . . . 4 ((( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1461 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
89 eqid 2732 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
9088, 89xrrest2 24323 . . . . . 6 ((0[,)1) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)))
919, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1))
92 iccssico2 13397 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 22725 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2760 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
95 rge0ssre 13432 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
9688, 89xrrest2 24323 . . . . . 6 ((0[,)+∞) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞))
98 iccssico2 13397 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 22725 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2760 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 7420 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))) = ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2832 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 471 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„+crp 12973  [,)cico 13325   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  ordTopcordt 17444  PosetRelcps 18516   TosetRel ctsr 18517  β„‚fldccnfld 20943  Homeochmeo 23256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24460
  Copyright terms: Public domain W3C validator