MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 24258
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
21icopnfcnv 24257 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 484 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞)
4 0re 11115 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1xr 11172 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
6 elico2 13282 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1)))
74, 5, 6mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < 1))
87simp1bi 1145 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
98ssriv 3946 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ
109sseli 3938 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
12 elico2 13282 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1)))
134, 5, 12mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < 1))
1413simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 < 1)
159sseli 3938 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
16 1re 11113 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
17 difrp 12907 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝑤 < 1 ↔ (1 − 𝑤) ∈ ℝ+))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑤) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 12917 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤)))
2215adantl 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℝ)
23 elico2 13282 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1)))
244, 5, 23mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 < 1))
2524simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 < 1)
26 difrp 12907 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2710, 16, 26sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝑧 < 1 ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 12917 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))
31 lt2mul2div 11991 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑤) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑤))) ∧ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑧)))) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3211, 21, 22, 30, 31syl22anc 837 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
3311, 22remulcld 11143 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℝ)
3411, 22, 33ltsub1d 11722 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
3511recnd 11141 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑧 ∈ ℂ)
36 1cnd 11108 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 1 ∈ ℂ)
3722recnd 11141 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
3835, 36, 37subdid 11569 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)))
3935mulid1d 11130 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · 1) = 𝑧)
4039oveq1d 7366 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · 1) − (𝑧 · 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4138, 40eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 · (1 − 𝑤)) = (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)))
4237, 36, 35subdid 11569 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)))
4337mulid1d 11130 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 1) = 𝑤)
4437, 35mulcomd 11134 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · 𝑧) = (𝑧 · 𝑤))
4543, 44oveq12d 7369 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑤 · 1) − (𝑤 · 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4642, 45eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑤 · (1 − 𝑧)) = (𝑤 − (𝑧 · 𝑤)))
4741, 46breq12d 5116 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧)) ↔ (𝑧 − (𝑧 · 𝑤)) < (𝑤 − (𝑧 · 𝑤))))
4834, 47bitr4d 281 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝑧 · (1 − 𝑤)) < (𝑤 · (1 − 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
50 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
5149, 50oveq12d 7369 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
52 ovex 7384 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6945 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
55 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
5654, 55oveq12d 7369 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
57 ovex 7384 . . . . . . 7 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6945 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,)1) → (𝐹𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
5953, 58breqan12d 5119 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤))))
6032, 48, 593bitr4d 310 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1)) → (𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
6160rgen2 3192 . . 3 𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
62 df-isom 6502 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-onto→(0[,)+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,)1)∀𝑤 ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑤 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))))
633, 61, 62mpbir2an 709 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 18442 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
6564elexi 3462 . . . . 5 ≤ ∈ V
6665inex1 5272 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 5272 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 13303 . . . . . . . 8 (0[,)1) ⊆ ℝ*
69 icossxr 13303 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
70 leiso 14312 . . . . . . . 8 (((0[,)1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 229 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 7275 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 7274 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ≤ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 18436 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
79 ledm 18439 . . . . . . . 8 * = dom ≤
8079psssdm 18431 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 690 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2746 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1)))
8379psssdm 18431 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 690 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2746 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 23105 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))), ( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1461 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
89 eqid 2737 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
9088, 89xrrest2 24123 . . . . . 6 ((0[,)1) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)))
919, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)1)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1))
92 iccssico2 13292 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 22525 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2765 . . . 4 (𝐽t (0[,)1)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))
95 rge0ssre 13327 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
9688, 89xrrest2 24123 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽t (0[,)+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞))
98 iccssico2 13292 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 22525 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2765 . . . 4 (𝐽t (0[,)+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 7363 . . 3 ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)1) × (0[,)1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,)+∞) × (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2837 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 471 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽t (0[,)1))Homeo(𝐽t (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629  ccnv 5630  dom cdm 5631  1-1-ontowf1o 6492  cfv 6493   Isom wiso 6494  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  +∞cpnf 11144  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343   / cdiv 11770  +crp 12869  [,)cico 13220  t crest 17262  TopOpenctopn 17263  ordTopcordt 17341  PosetRelcps 18413   TosetRel ctsr 18414  fldccnfld 20749  Homeochmeo 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-rest 17264  df-topn 17265  df-topgen 17285  df-ordt 17343  df-ps 18415  df-tsr 18416  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-cnfld 20750  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cn 22530  df-hmeo 23058  df-xms 23625  df-ms 23626
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24260
  Copyright terms: Public domain W3C validator