MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 24688
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
21icopnfcnv 24687 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 482 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞)
4 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1xr 11277 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
6 elico2 13392 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1)))
74, 5, 6mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1))
87simp1bi 1143 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98ssriv 3985 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ
109sseli 3977 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
12 elico2 13392 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1)))
134, 5, 12mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1))
1413simp3bi 1145 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 < 1)
159sseli 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 1re 11218 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
17 difrp 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 13026 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2215adantl 480 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
23 elico2 13392 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1)))
244, 5, 23mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1))
2524simp3bi 1145 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 < 1)
26 difrp 13016 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2710, 16, 26sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 13026 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))
31 lt2mul2div 12096 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3211, 21, 22, 30, 31syl22anc 835 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3311, 22remulcld 11248 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
3411, 22, 33ltsub1d 11827 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
3511recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
36 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3722recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3835, 36, 37subdid 11674 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
3935mulridd 11235 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 1) = 𝑧)
4039oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4138, 40eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4237, 36, 35subdid 11674 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)))
4337mulridd 11235 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4437, 35mulcomd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 𝑧) = (𝑧 Β· 𝑀))
4543, 44oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4741, 46breq12d 5160 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
4834, 47bitr4d 281 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
50 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑧))
5149, 50oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
52 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ π‘₯ = 𝑀)
55 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑀))
5654, 55oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
57 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
5953, 58breqan12d 5163 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
6032, 48, 593bitr4d 310 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
6160rgen2 3195 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))
62 df-isom 6551 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))))
633, 61, 62mpbir2an 707 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 18550 . . . . . 6 ≀ ∈ TosetRel
6564elexi 3492 . . . . 5 ≀ ∈ V
6665inex1 5316 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 5316 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 13413 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ*
69 icossxr 13413 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
70 leiso 14424 . . . . . . . 8 (((0[,)1) βŠ† ℝ* ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 688 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 229 . . . . . 6 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 7333 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 7332 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 18544 . . . . . . . 8 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ ≀ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≀ ∈ PosetRel
79 ledm 18547 . . . . . . . 8 ℝ* = dom ≀
8079psssdm 18539 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 688 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2739 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1)))
8379psssdm 18539 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 688 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2739 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 23526 . . . 4 ((( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1459 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
89 eqid 2730 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
9088, 89xrrest2 24544 . . . . . 6 ((0[,)1) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)))
919, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1))
92 iccssico2 13402 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 22946 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2758 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
95 rge0ssre 13437 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
9688, 89xrrest2 24544 . . . . . 6 ((0[,)+∞) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞))
98 iccssico2 13402 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 22946 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2758 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 7423 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))) = ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2830 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 469 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„+crp 12978  [,)cico 13330   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  ordTopcordt 17449  PosetRelcps 18521   TosetRel ctsr 18522  β„‚fldccnfld 21144  Homeochmeo 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24690
  Copyright terms: Public domain W3C validator