MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfhmeo 24329
Description: The defined bijection from [0, 1) to [0, +∞) is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
icopnfhmeo.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
icopnfhmeo.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
icopnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem icopnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 icopnfhmeo.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↦ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)))
21icopnfcnv 24328 . . . 4 (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ ◑𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑦 / (1 + 𝑦))))
32simpli 485 . . 3 𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞)
4 0re 11165 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
5 1xr 11222 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
6 elico2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1)))
74, 5, 6mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,)1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 1))
87simp1bi 1146 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,)1) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
98ssriv 3952 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ
109sseli 3944 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
12 elico2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1)))
134, 5, 12mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 < 1))
1413simp3bi 1148 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 < 1)
159sseli 3944 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
16 1re 11163 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
17 difrp 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1815, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑀 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ+)
2019rpregt0d 12971 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2120adantl 483 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀)))
2215adantl 483 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
23 elico2 13337 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1)))
244, 5, 23mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 1))
2524simp3bi 1148 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ 𝑧 < 1)
26 difrp 12961 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2710, 16, 26sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (𝑧 < 1 ↔ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ+)
3029rpregt0d 12971 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))
31 lt2mul2div 12041 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 βˆ’ 𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 βˆ’ 𝑧)))) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3211, 21, 22, 30, 31syl22anc 838 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
3311, 22remulcld 11193 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 𝑀) ∈ ℝ)
3411, 22, 33ltsub1d 11772 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
3511recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
36 1cnd 11158 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3722recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3835, 36, 37subdid 11619 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
3935mulridd 11180 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· 1) = 𝑧)
4039oveq1d 7376 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· 1) βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4138, 40eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) = (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4237, 36, 35subdid 11619 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)))
4337mulridd 11180 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4437, 35mulcomd 11184 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· 𝑧) = (𝑧 Β· 𝑀))
4543, 44oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑀 Β· 1) βˆ’ (𝑀 Β· 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4642, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) = (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)))
4741, 46breq12d 5122 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧)) ↔ (𝑧 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀)) < (𝑀 βˆ’ (𝑧 Β· 𝑀))))
4834, 47bitr4d 282 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (𝑧 Β· (1 βˆ’ 𝑀)) < (𝑀 Β· (1 βˆ’ 𝑧))))
49 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
50 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑧))
5149, 50oveq12d 7379 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
52 ovex 7394 . . . . . . 7 (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) ∈ V
5351, 1, 52fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)))
54 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ π‘₯ = 𝑀)
55 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (1 βˆ’ π‘₯) = (1 βˆ’ 𝑀))
5654, 55oveq12d 7379 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ / (1 βˆ’ π‘₯)) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
57 ovex 7394 . . . . . . 7 (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ V
5856, 1, 57fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0[,)1) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀)))
5953, 58breqan12d 5125 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€) ↔ (𝑧 / (1 βˆ’ 𝑧)) < (𝑀 / (1 βˆ’ 𝑀))))
6032, 48, 593bitr4d 311 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑀 ∈ (0[,)1)) β†’ (𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€)))
6160rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))
62 df-isom 6509 . . 3 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ (𝐹:(0[,)1)–1-1-ontoβ†’(0[,)+∞) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘€ ∈ (0[,)1)(𝑧 < 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘§) < (πΉβ€˜π‘€))))
633, 61, 62mpbir2an 710 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
64 letsr 18490 . . . . . 6 ≀ ∈ TosetRel
6564elexi 3466 . . . . 5 ≀ ∈ V
6665inex1 5278 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V
6765inex1 5278 . . . 4 ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V
68 icossxr 13358 . . . . . . . 8 (0[,)1) βŠ† ℝ*
69 icossxr 13358 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
70 leiso 14367 . . . . . . . 8 (((0[,)1) βŠ† ℝ* ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))))
7168, 69, 70mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7263, 71mpbi 229 . . . . . 6 𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
73 isores1 7283 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≀ , ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)))
7472, 73mpbi 229 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞))
75 isores2 7282 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ≀ ((0[,)1), (0[,)+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞)))
7674, 75mpbi 229 . . . 4 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))
77 tsrps 18484 . . . . . . . 8 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ ≀ ∈ PosetRel)
7864, 77ax-mp 5 . . . . . . 7 ≀ ∈ PosetRel
79 ledm 18487 . . . . . . . 8 ℝ* = dom ≀
8079psssdm 18479 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)1) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1))
8178, 68, 80mp2an 691 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) = (0[,)1)
8281eqcomi 2742 . . . . 5 (0[,)1) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1)))
8379psssdm 18479 . . . . . . 7 (( ≀ ∈ PosetRel ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ*) β†’ dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞))
8478, 69, 83mp2an 691 . . . . . 6 dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) = (0[,)+∞)
8584eqcomi 2742 . . . . 5 (0[,)+∞) = dom ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))
8682, 85ordthmeo 23176 . . . 4 ((( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))) ∈ V ∧ ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))), ( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))((0[,)1), (0[,)+∞))) β†’ 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))))
8766, 67, 76, 86mp3an 1462 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
88 icopnfhmeo.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
89 eqid 2733 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
9088, 89xrrest2 24194 . . . . . 6 ((0[,)1) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)))
919, 90ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1))
92 iccssico2 13347 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)1)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)1))
9368, 92ordtrestixx 22596 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
9491, 93eqtri 2761 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)1)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))
95 rge0ssre 13382 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
9688, 89xrrest2 24194 . . . . . 6 ((0[,)+∞) βŠ† ℝ β†’ (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)))
9795, 96ax-mp 5 . . . . 5 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞))
98 iccssico2 13347 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯[,]𝑦) βŠ† (0[,)+∞))
9969, 98ordtrestixx 22596 . . . . 5 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10097, 99eqtri 2761 . . . 4 (𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)) = (ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞))))
10194, 100oveq12i 7373 . . 3 ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))) = ((ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)1) Γ— (0[,)1))))Homeo(ordTopβ€˜( ≀ ∩ ((0[,)+∞) Γ— (0[,)+∞)))))
10287, 101eleqtrri 2833 . 2 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞)))
10363, 102pm3.2i 472 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt (0[,)1))Homeo(𝐽 β†Ύt (0[,)+∞))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„+crp 12923  [,)cico 13275   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  ordTopcordt 17389  PosetRelcps 18461   TosetRel ctsr 18462  β„‚fldccnfld 20819  Homeochmeo 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-rest 17312  df-topn 17313  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697
This theorem is referenced by:  iccpnfhmeo  24331
  Copyright terms: Public domain W3C validator