MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccpnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpnfhmeo 24976
Description: The defined bijection from [0, 1] to [0, +∞] is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
iccpnfhmeo.k 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
iccpnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))

Proof of Theorem iccpnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13470 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 13183 . . . 4 < Or ℝ*
3 soss 5612 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 13470 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 soss 5612 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
75, 2, 6mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
8 sopo 5611 . . . 4 ( < Or (0[,]+∞) → < Po (0[,]+∞))
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po (0[,]+∞)
10 iccpnfhmeo.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1110iccpnfcnv 24975 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 1, (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
1211simpli 483 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
13 f1ofo 6855 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
15 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
1615simp1bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
18 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 ≤ 1))
1918simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
20193ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
21 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ∈ ℝ)
22 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
2318simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ≤ 1)
24233ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ≤ 1)
2517, 20, 21, 22, 24ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 1)
2617, 25gtned 11396 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ≠ 𝑧)
2726necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ≠ 1)
28 ifnefalse 4537 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ 1 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
30 breq2 5147 . . . . . . . 8 (+∞ = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞ ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
31 breq2 5147 . . . . . . . 8 ((𝑤 / (1 − 𝑤)) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
32 1re 11261 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
33 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
3432, 17, 33sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
35 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
3617recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℂ)
37 subeq0 11535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
3837necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
3935, 36, 38sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
4026, 39mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
4117, 34, 40redivcld 12095 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
4241ltpnfd 13163 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
44 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 < 𝑤)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4745, 46icopnfhmeo 24974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)1))Homeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
4847simpli 483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)))
50 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
51 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
52 1xr 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
53 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
54 snunico 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1))
5551, 52, 53, 54mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1)
5650, 55eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
57 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
5856, 57sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
5958ord 865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ {1}))
60 elsni 4643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
6159, 60syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 = 1))
6261necon1ad 2957 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0[,)1)))
6327, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
65 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
6665, 55eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
67 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
6866, 67sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
6968ord 865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ {1}))
70 elsni 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {1} → 𝑤 = 1)
7169, 70syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 = 1))
7271con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 = 1 → 𝑤 ∈ (0[,)1)))
7372imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑤 ∈ (0[,)1))
74 isorel 7346 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1))) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7549, 64, 73, 74syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7644, 75mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤))
77 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
78 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
7977, 78oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
80 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
8179, 45, 80fvmpt 7016 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
8264, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
83 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
84 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
8583, 84oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
86 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
8785, 45, 86fvmpt 7016 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
8873, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
8976, 82, 883brtr3d 5174 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9030, 31, 43, 89ifbothda 4564 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
9129, 90eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
92913expia 1122 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
93 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑧 = 1))
9493, 79ifbieq2d 4552 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
95 pnfex 11314 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
9695, 80ifex 4576 . . . . . . 7 if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) ∈ V
9794, 10, 96fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
98 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑤 = 1))
9998, 85ifbieq2d 4552 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10095, 86ifex 4576 . . . . . . 7 if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) ∈ V
10199, 10, 100fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑤) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10297, 101breqan12d 5159 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
10392, 102sylibrd 259 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
104103rgen2 3199 . . 3 𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
105 soisoi 7348 . . 3 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1064, 9, 14, 104, 105mp4an 693 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
107 letsr 18638 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
108107elexi 3503 . . . . 5 ≤ ∈ V
109108inex1 5317 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
110108inex1 5317 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
111 leiso 14498 . . . . . . . 8 (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
1121, 5, 111mp2an 692 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
113106, 112mpbi 230 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
114 isores1 7354 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
115113, 114mpbi 230 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
116 isores2 7353 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
117115, 116mpbi 230 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
118 tsrps 18632 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
119107, 118ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
120 ledm 18635 . . . . . . . 8 * = dom ≤
121120psssdm 18627 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
122119, 1, 121mp2an 692 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
123122eqcomi 2746 . . . . 5 (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
124120psssdm 18627 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
125119, 5, 124mp2an 692 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
126125eqcomi 2746 . . . . 5 (0[,]+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
127123, 126ordthmeo 23810 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
128109, 110, 117, 127mp3an 1463 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
129 dfii5 24911 . . . 4 II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
130 iccpnfhmeo.k . . . . 5 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
131 ordtresticc 23231 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
132130, 131eqtri 2765 . . . 4 𝐾 = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
133129, 132oveq12i 7443 . . 3 (IIHomeo𝐾) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
134128, 133eleqtrri 2840 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾)
135106, 134pm3.2i 470 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Po wpo 5590   Or wor 5591   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ordTopcordt 17544  PosetRelcps 18609   TosetRel ctsr 18610  fldccnfld 21364  Homeochmeo 23761  IIcii 24901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-ii 24903
This theorem is referenced by:  xrhmeo  24977  xrge0hmph  33931
  Copyright terms: Public domain W3C validator