MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccpnfhmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccpnfhmeo 22954
Description: The defined bijection from [0, 1] to [0, +∞] is an order isomorphism and a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpnfhmeo.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
iccpnfhmeo.k 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
iccpnfhmeo (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))

Proof of Theorem iccpnfhmeo
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12470 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12186 . . . 4 < Or ℝ*
3 soss 5250 . . . 4 ((0[,]1) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]1)))
41, 2, 3mp2 9 . . 3 < Or (0[,]1)
5 iccssxr 12470 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 soss 5250 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
75, 2, 6mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
8 sopo 5249 . . . 4 ( < Or (0[,]+∞) → < Po (0[,]+∞))
97, 8ax-mp 5 . . 3 < Po (0[,]+∞)
10 iccpnfhmeo.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))))
1110iccpnfcnv 22953 . . . . 5 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0[,]+∞) ↦ if(𝑦 = +∞, 1, (𝑦 / (1 + 𝑦)))))
1211simpli 472 . . . 4 𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞)
13 f1ofo 6356 . . . 4 (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(0[,]+∞) → 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞)
15 elicc01 12506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
1615simp1bi 1168 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1156 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℝ)
18 elicc01 12506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 ≤ 1))
1918simp1bi 1168 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ∈ ℝ)
20193ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℝ)
21 1red 10322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ∈ ℝ)
22 simp3 1161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 𝑤)
2318simp3bi 1170 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,]1) → 𝑤 ≤ 1)
24233ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ≤ 1)
2517, 20, 21, 22, 24ltletrd 10478 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 < 1)
2617, 25gtned 10453 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 1 ≠ 𝑧)
2726necomd 3033 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ≠ 1)
28 ifnefalse 4291 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ 1 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
30 breq2 4848 . . . . . . . 8 (+∞ = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞ ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
31 breq2 4848 . . . . . . . 8 ((𝑤 / (1 − 𝑤)) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) → ((𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)) ↔ (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
32 1re 10321 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
33 resubcl 10626 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
3432, 17, 33sylancr 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
35 ax-1cn 10275 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
3617recnd 10349 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ℂ)
37 subeq0 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) = 0 ↔ 1 = 𝑧))
3837necon3bid 3022 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
3935, 36, 38sylancr 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → ((1 − 𝑧) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑧))
4026, 39mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (1 − 𝑧) ≠ 0)
4117, 34, 40redivcld 11134 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ ℝ)
42 ltpnf 12166 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ ℝ → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
4443adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < +∞)
45 simpl3 1239 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 < 𝑤)
46 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))
47 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4846, 47icopnfhmeo 22952 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)1))Homeo((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
4948simpli 472 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)))
51 simp1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
52 0xr 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
5332rexri 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
54 0le1 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 1
55 snunico 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1))
5652, 53, 54, 55mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0[,)1) ∪ {1}) = (0[,]1)
5751, 56syl6eleqr 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
58 elun 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
5957, 58sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑧 ∈ {1}))
6059ord 882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 ∈ {1}))
61 elsni 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ {1} → 𝑧 = 1)
6260, 61syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑧 ∈ (0[,)1) → 𝑧 = 1))
6362necon1ad 2995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 ≠ 1 → 𝑧 ∈ (0[,)1)))
6427, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
6564adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑧 ∈ (0[,)1))
66 simp2 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ (0[,]1))
6766, 56syl6eleqr 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}))
68 elun 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ((0[,)1) ∪ {1}) ↔ (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
6967, 68sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑤 ∈ (0[,)1) ∨ 𝑤 ∈ {1}))
7069ord 882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 ∈ {1}))
71 elsni 4387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {1} → 𝑤 = 1)
7270, 71syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 ∈ (0[,)1) → 𝑤 = 1))
7372con1d 141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (¬ 𝑤 = 1 → 𝑤 ∈ (0[,)1)))
7473imp 395 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → 𝑤 ∈ (0[,)1))
75 isorel 6796 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥))) Isom < , < ((0[,)1), (0[,)+∞)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,)1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,)1))) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7650, 65, 74, 75syl12anc 856 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 < 𝑤 ↔ ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤)))
7745, 76mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) < ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤))
78 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
79 oveq2 6878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑧))
8078, 79oveq12d 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
81 ovex 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 / (1 − 𝑧)) ∈ V
8280, 46, 81fvmpt 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
8365, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑧) = (𝑧 / (1 − 𝑧)))
84 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
85 oveq2 6878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑤))
8684, 85oveq12d 6888 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 / (1 − 𝑥)) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
87 ovex 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 / (1 − 𝑤)) ∈ V
8886, 46, 87fvmpt 6499 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (0[,)1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
8974, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → ((𝑥 ∈ (0[,)1) ↦ (𝑥 / (1 − 𝑥)))‘𝑤) = (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9077, 83, 893brtr3d 4875 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) ∧ ¬ 𝑤 = 1) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < (𝑤 / (1 − 𝑤)))
9130, 31, 44, 90ifbothda 4316 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → (𝑧 / (1 − 𝑧)) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
9229, 91eqbrtrd 4866 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑧 < 𝑤) → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
93923expia 1143 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
94 eqeq1 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑧 = 1))
9594, 80ifbieq2d 4304 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
96 pnfex 10374 . . . . . . . 8 +∞ ∈ V
9796, 81ifex 4327 . . . . . . 7 if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) ∈ V
9895, 10, 97fvmpt 6499 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))))
99 eqeq1 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑤 = 1))
10099, 86ifbieq2d 4304 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 1, +∞, (𝑥 / (1 − 𝑥))) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10196, 87ifex 4327 . . . . . . 7 if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))) ∈ V
102100, 10, 101fvmpt 6499 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑤) = if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤))))
10398, 102breqan12d 4860 . . . . 5 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑤) ↔ if(𝑧 = 1, +∞, (𝑧 / (1 − 𝑧))) < if(𝑤 = 1, +∞, (𝑤 / (1 − 𝑤)))))
10493, 103sylibrd 250 . . . 4 ((𝑧 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))
105104rgen2a 3165 . . 3 𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤))
106 soisoi 6798 . . 3 ((( < Or (0[,]1) ∧ < Po (0[,]+∞)) ∧ (𝐹:(0[,]1)–onto→(0[,]+∞) ∧ ∀𝑧 ∈ (0[,]1)∀𝑤 ∈ (0[,]1)(𝑧 < 𝑤 → (𝐹𝑧) < (𝐹𝑤)))) → 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)))
1074, 9, 14, 105, 106mp4an 676 . 2 𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞))
108 letsr 17428 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
109108elexi 3407 . . . . 5 ≤ ∈ V
110109inex1 4994 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V
111109inex1 4994 . . . 4 ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V
112 leiso 13456 . . . . . . . 8 (((0[,]1) ⊆ ℝ* ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))))
1131, 5, 112mp2an 675 . . . . . . 7 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
114107, 113mpbi 221 . . . . . 6 𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
115 isores1 6804 . . . . . 6 (𝐹 Isom ≤ , ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)))
116114, 115mpbi 221 . . . . 5 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞))
117 isores2 6803 . . . . 5 (𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ≤ ((0[,]1), (0[,]+∞)) ↔ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞)))
118116, 117mpbi 221 . . . 4 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))
119 tsrps 17422 . . . . . . . 8 ( ≤ ∈ TosetRel → ≤ ∈ PosetRel)
120108, 119ax-mp 5 . . . . . . 7 ≤ ∈ PosetRel
121 ledm 17425 . . . . . . . 8 * = dom ≤
122121psssdm 17417 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1))
123120, 1, 122mp2an 675 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) = (0[,]1)
124123eqcomi 2815 . . . . 5 (0[,]1) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1)))
125121psssdm 17417 . . . . . . 7 (( ≤ ∈ PosetRel ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞))
126120, 5, 125mp2an 675 . . . . . 6 dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) = (0[,]+∞)
127126eqcomi 2815 . . . . 5 (0[,]+∞) = dom ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))
128124, 127ordthmeo 21816 . . . 4 ((( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))) ∈ V ∧ ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))) ∈ V ∧ 𝐹 Isom ( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))), ( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))((0[,]1), (0[,]+∞))) → 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))))
129110, 111, 118, 128mp3an 1578 . . 3 𝐹 ∈ ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
130 dfii5 22898 . . . 4 II = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))
131 iccpnfhmeo.k . . . . 5 𝐾 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
132 ordtresticc 21238 . . . . 5 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
133131, 132eqtri 2828 . . . 4 𝐾 = (ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞))))
134130, 133oveq12i 6882 . . 3 (IIHomeo𝐾) = ((ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]1) × (0[,]1))))Homeo(ordTop‘( ≤ ∩ ((0[,]+∞) × (0[,]+∞)))))
135129, 134eleqtrri 2884 . 2 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾)
136107, 135pm3.2i 458 1 (𝐹 Isom < , < ((0[,]1), (0[,]+∞)) ∧ 𝐹 ∈ (IIHomeo𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  Vcvv 3391  cun 3767  cin 3768  wss 3769  ifcif 4279  {csn 4370   class class class wbr 4844  cmpt 4923   Po wpo 5230   Or wor 5231   × cxp 5309  ccnv 5310  dom cdm 5311  ontowfo 6095  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097   Isom wiso 6098  (class class class)co 6870  cc 10215  cr 10216  0cc0 10217  1c1 10218   + caddc 10220  +∞cpnf 10352  *cxr 10354   < clt 10355  cle 10356  cmin 10547   / cdiv 10965  [,)cico 12391  [,]cicc 12392  t crest 16282  TopOpenctopn 16283  ordTopcordt 16360  PosetRelcps 17399   TosetRel ctsr 17400  fldccnfld 19950  Homeochmeo 21767  IIcii 22888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-seq 13021  df-exp 13080  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-ordt 16362  df-ps 17401  df-tsr 17402  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-cnfld 19951  df-top 20909  df-topon 20926  df-topsp 20948  df-bases 20961  df-cn 21242  df-hmeo 21769  df-xms 22335  df-ms 22336  df-ii 22890
This theorem is referenced by:  xrhmeo  22955  xrge0hmph  30302
  Copyright terms: Public domain W3C validator