MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2lem 21228
Description: Lemma for ordtrest2 21229. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (𝜑𝐴𝑋)
ordtrest2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2lem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem
StepHypRef Expression
1 inrab2 4048 . . . . 5 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2 ordtrest2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
3 sseqin2 3968 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ (𝑋𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝐴)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑋𝐴) = 𝐴)
6 rabeq 3342 . . . . . 6 ((𝑋𝐴) = 𝐴 → {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
81, 7syl5eq 2817 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
9 ordtrest2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
10 inex1g 4935 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
1312ordttopon 21218 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
15 tsrps 17429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
169, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ PosetRel)
17 ordtrest2.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = dom 𝑅
1817psssdm 17424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
1916, 2, 18syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2114, 20eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
22 toponmax 20951 . . . . . . . 8 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2423adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
25 rabid2 3267 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
26 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2725, 26sylbir 225 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2824, 27syl5ibcom 235 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
29 dfrex2 3144 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
30 breq1 4789 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
3130cbvrexv 3321 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
3229, 31bitr3i 266 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
33 ordttop 21225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3411, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
36 0opn 20929 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3837adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
39 eleq1 2838 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
4038, 39syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
41 rabn0 4104 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
42 breq1 4789 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
4342notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
4443cbvrexv 3321 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
4541, 44bitri 264 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
469ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
472ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴𝑋)
4847sselda 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑋)
49 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝑋)
5017tsrlin 17427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5146, 48, 49, 50syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5251ord 853 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
53 an4 635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
54 ordtrest2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
55 rabss 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5654, 55sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5756r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5857an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5958impr 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
6053, 59sylan2b 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
61 brinxp 5321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6261ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6362notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6463rabbidva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6560, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6619ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
67 rabeq 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴 → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6965, 68eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
7011ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
7160, 66eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7212ordtopn1 21219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7370, 71, 72syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7469, 73eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7574anassrs 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7675expr 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7752, 76syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7877rexlimdva 3179 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7945, 78syl5bi 232 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8040, 79pm2.61dne 3029 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8180rexlimdvaa 3180 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8232, 81syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8328, 82pm2.61d 171 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
848, 83eqeltrd 2850 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8584ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
86 dmexg 7244 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ TosetRel → dom 𝑅 ∈ V)
879, 86syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
8817, 87syl5eqel 2854 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
89 rabexg 4945 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
9088, 89syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
9190ralrimivw 3116 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
92 eqid 2771 . . . 4 (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
93 ineq1 3958 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
9493eleq1d 2835 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9592, 94ralrnmpt 6511 . . 3 (∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9691, 95syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9785, 96mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250  cfv 6031  ordTopcordt 16367  PosetRelcps 17406   TosetRel ctsr 17407  Topctop 20918  TopOnctopon 20935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-ps 17408  df-tsr 17409  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  ordtrest2  21229
  Copyright terms: Public domain W3C validator