Theorem ordtrest2lem 23514

Description: Lemma for ordtrest2 23515. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
ordtrest2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 4263	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2		ordtrest2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		sseqin2 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	5	rabeqdv 3428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
7	1, 6	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
8		ordtrest2.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
9		inex1g 5279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
12	11	ordttopon 23504	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
14		tsrps 18754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
15	8, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PosetRel)
16		ordtrest2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
17	16	psssdm 18749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
18	15, 2, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
19	18	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
20	13, 19	eleqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
21		toponmax 23237	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
24		rabid2 3445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
25		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
26	24, 25	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
27	23, 26	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
28		dfrex2 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
29		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
30	29	cbvrexvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
31	28, 30	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
32		ordttop 23511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
33	10, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
35		0opn 23215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
37	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
38		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
39	37, 38	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
40		rabn0 4339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
41		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
42	41	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
43	42	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
44	40, 43	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
45	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
46	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
47	46	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑋)
48		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑋)
49	16	tsrlin 18752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
51	50	ord 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑧𝑅𝑦))
52		an4 669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)))
53		ordtrest2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
54		rabss 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
55	53, 54	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
57	56	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
58	57	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
59	52, 58	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
60		brinxp 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
61	60	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
62	61	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
63	62	rabbidva 3419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
64	59, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
65	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
66	65	rabeqdv 3428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
67	64, 66	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
68	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
69	59, 65	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
70	11	ordtopn1 23505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
71	68, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
72	67, 71	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
73	72	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
74	73	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
75	51, 74	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
76	75	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
77	44, 76	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
78	39, 77	pm2.61dne 3042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
79	78	rexlimdvaa 3165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
80	31, 79	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
81	27, 80	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
82	7, 81	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
83	82	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
84	8	dmexd 7913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
85	16, 84	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
86		rabexg 5299	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
87	85, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
88	87	ralrimivw 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
89		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
90		ineq1 4159	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣 ∩ 𝐴) = ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
91	90	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
92	89, 91	ralrnmptw 7092	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
93	88, 92	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
94	83, 93	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6537  ordTopcordt 17664  PosetRelcps 18731   TosetRel ctsr 18732  Topctop 23204  TopOnctopon 23221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1o 8469  df-2o 8470  df-en 8967  df-fin 8970  df-fi 9396  df-topgen 17607  df-ordt 17666  df-ps 18733  df-tsr 18734  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257

This theorem is used by:  ordtrest2  23515