Theorem ordtrest2lem 23317

Description: Lemma for ordtrest2 23318. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
ordtrest2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 4272	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2		ordtrest2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		sseqin2 4178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	5	rabeqdv 3432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
7	1, 6	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
8		ordtrest2.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
9		inex1g 5279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
11		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
12	11	ordttopon 23307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
13	10, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
14		tsrps 18631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
15	8, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PosetRel)
16		ordtrest2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
17	16	psssdm 18626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
18	15, 2, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
19	18	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
20	13, 19	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
21		toponmax 23040	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
23	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
24		rabid2 3450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
25		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
26	24, 25	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
27	23, 26	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
28		dfrex2 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
29		breq1 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
30	29	cbvrexvw 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
31	28, 30	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
32		ordttop 23314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
33	10, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
35		0opn 23018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
37	36	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
38		eleq1 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
39	37, 38	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
40		rabn0 4346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
41		breq1 5107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
42	41	notbid 321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
43	42	cbvrexvw 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
44	40, 43	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
45	8	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
46	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
47	46	sselda 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑋)
48		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑋)
49	16	tsrlin 18629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
51	50	ord 877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑧𝑅𝑦))
52		an4 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)))
53		ordtrest2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
54		rabss 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
55	53, 54	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
57	56	an32s 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
58	57	impr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
59	52, 58	sylan2b 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
60		brinxp 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
61	60	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
62	61	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
63	62	rabbidva 3423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
64	59, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
65	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
66	65	rabeqdv 3432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
67	64, 66	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
68	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
69	59, 65	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
70	11	ordtopn1 23308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
71	68, 69, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
72	67, 71	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
73	72	anassrs 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
74	73	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
75	51, 74	syld 48	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
76	75	rexlimdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
77	44, 76	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
78	39, 77	pm2.61dne 3046	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
79	78	rexlimdvaa 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
80	31, 79	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
81	27, 80	pm2.61d 181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
82	7, 81	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
83	82	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
84	8	dmexd 7888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
85	16, 84	eqeltrid 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
86		rabexg 5297	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
87	85, 86	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
88	87	ralrimivw 3161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
89		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
90		ineq1 4168	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣 ∩ 𝐴) = ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
91	90	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
92	89, 91	ralrnmptw 7079	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
93	88, 92	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
94	83, 93	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652  ‘cfv 6525  ordTopcordt 17541  PosetRelcps 18608   TosetRel ctsr 18609  Topctop 23007  TopOnctopon 23024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442  df-en 8932  df-fin 8935  df-fi 9359  df-topgen 17484  df-ordt 17543  df-ps 18610  df-tsr 18611  df-top 23008  df-topon 23025  df-bases 23060

This theorem is referenced by:  ordtrest2  23318