MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest2lem 21741
Description: Lemma for ordtrest2 21742. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3 (𝜑𝐴𝑋)
ordtrest2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ordtrest2lem (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem
StepHypRef Expression
1 inrab2 4275 . . . . 5 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2 ordtrest2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
3 sseqin2 4191 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 ↔ (𝑋𝐴) = 𝐴)
42, 3sylib 219 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐴) = 𝐴)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑋𝐴) = 𝐴)
65rabeqdv 3485 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
71, 6syl5eq 2868 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
8 ordtrest2.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ TosetRel )
9 inex1g 5215 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
11 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
1211ordttopon 21731 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
14 tsrps 17821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
158, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ PosetRel)
16 ordtrest2.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = dom 𝑅
1716psssdm 17816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
1815, 2, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
1918fveq2d 6668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
2013, 19eleqtrd 2915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
21 toponmax 21464 . . . . . . . 8 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
24 rabid2 3382 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
25 eleq1 2900 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2624, 25sylbir 236 . . . . . 6 (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
2723, 26syl5ibcom 246 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
28 dfrex2 3239 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
29 breq1 5061 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧𝑥𝑅𝑧))
3029cbvrexvw 3451 . . . . . . 7 (∃𝑤𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
3128, 30bitr3i 278 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧)
32 ordttop 21738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3310, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
35 0opn 21442 . . . . . . . . . . 11 ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
38 eleq1 2900 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
3937, 38syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
40 rabn0 4338 . . . . . . . . . 10 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
41 breq1 5061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧𝑦𝑅𝑧))
4241notbid 319 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
4342cbvrexvw 3451 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
4440, 43bitri 276 . . . . . . . . 9 ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
458ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
462ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴𝑋)
4746sselda 3966 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑋)
48 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑧𝑋)
4916tsrlin 17819 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5045, 47, 48, 49syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
5150ord 858 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
52 an4 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)))
53 ordtrest2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
54 rabss 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5553, 54sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5655r19.21bi 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5756an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦) → 𝑧𝐴))
5857impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
5952, 58sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧𝐴)
60 brinxp 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤𝐴𝑧𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6160ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (𝑤𝑅𝑧𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6261notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
6362rabbidva 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐴 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6459, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6518ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
6665rabeqdv 3485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6764, 66eqtr4d 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
6810ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
6959, 65eleqtrrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
7011ordtopn1 21732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7267, 71eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7372anassrs 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7473expr 457 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7551, 74syld 47 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7675rexlimdva 3284 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7744, 76syl5bi 243 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
7839, 77pm2.61dne 3103 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
7978rexlimdvaa 3285 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝑋) → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8031, 79syl5bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝑋) → (¬ ∀𝑤𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
8127, 80pm2.61d 180 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → {𝑤𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
827, 81eqeltrd 2913 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
8382ralrimiva 3182 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
848dmexd 7603 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
8516, 84eqeltrid 2917 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ V)
86 rabexg 5226 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
8785, 86syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
8887ralrimivw 3183 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
89 eqid 2821 . . . 4 (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
90 ineq1 4180 . . . . 5 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣𝐴) = ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
9190eleq1d 2897 . . . 4 (𝑣 = {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9289, 91ralrnmptw 6853 . . 3 (∀𝑧𝑋 {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9388, 92syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧𝑋 ({𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
9483, 93mpbird 258 1 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧𝑋 ↦ {𝑤𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3495  cin 3934  wss 3935  c0 4290   class class class wbr 5058  cmpt 5138   × cxp 5547  dom cdm 5549  ran crn 5550  cfv 6349  ordTopcordt 16762  PosetRelcps 17798   TosetRel ctsr 17799  Topctop 21431  TopOnctopon 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fi 8864  df-topgen 16707  df-ordt 16764  df-ps 17800  df-tsr 17801  df-top 21432  df-topon 21449  df-bases 21484
This theorem is referenced by:  ordtrest2  21742
  Copyright terms: Public domain W3C validator