Theorem ordtrest2lem 23120

Description: Lemma for ordtrest2 23121. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	⊢ 𝑋 = dom 𝑅
ordtrest2.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
ordtrest2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
ordtrest2.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2lem	⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝜑,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑅,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑋,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem ordtrest2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 4308	. . . . 5 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}
2		ordtrest2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
3		sseqin2 4215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑋 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	5	rabeqdv 3444	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
7	1, 6	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
8		ordtrest2.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TosetRel )
9		inex1g 5319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
11		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))
12	11	ordttopon 23110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
14		tsrps 18579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ TosetRel → 𝑅 ∈ PosetRel)
15	8, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PosetRel)
16		ordtrest2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
17	16	psssdm 18574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
18	15, 2, 17	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
19	18	fveq2d 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (TopOn‘𝐴))
20	13, 19	eleqtrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴))
21		toponmax 22841	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
24		rabid2 3461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
25		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
26	24, 25	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → (𝐴 ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
27	23, 26	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
28		dfrex2 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
29		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑥𝑅𝑧))
30	29	cbvrexvw 3232	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
31	28, 30	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧)
32		ordttop 23117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
33	10, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top)
35		0opn 22819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
38		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∅ ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
39	37, 38	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
40		rabn0 4386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧)
41		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑧))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑧))
43	42	cbvrexvw 3232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
44	40, 43	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧)
45	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ TosetRel )
46	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
47	46	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑋)
48		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑋)
49	16	tsrlin 18577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ TosetRel ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
50	45, 47, 48, 49	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑧 ∨ 𝑧𝑅𝑦))
51	50	ord 863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑧𝑅𝑦))
52		an4 655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)))
53		ordtrest2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴)
54		rabss 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
55	53, 54	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
56	55	r19.21bi 3245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
57	56	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴))
58	57	impr 454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
59	52, 58	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
60		brinxp 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
61	60	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑤𝑅𝑧 ↔ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
62	61	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑤𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧))
63	62	rabbidva 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
64	59, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
65	18	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) = 𝐴)
66	65	rabeqdv 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
67	64, 66	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} = {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧})
68	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V)
69	59, 65	eleqtrrd 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))
70	11	ordtopn1 23111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∈ V ∧ 𝑧 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
71	68, 69, 70	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)) ∣ ¬ 𝑤(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
72	67, 71	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦))) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
73	72	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧𝑅𝑦)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
74	73	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑧𝑅𝑦 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
75	51, 74	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
76	75	rexlimdva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
77	44, 76	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → ({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ≠ ∅ → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
78	39, 77	pm2.61dne 3025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑧)) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
79	78	rexlimdvaa 3153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
80	31, 79	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (¬ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ¬ 𝑤𝑅𝑧 → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
81	27, 80	pm2.61d 179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
82	7, 81	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
83	82	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))
84	8	dmexd 7911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 ∈ V)
85	16, 84	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
86		rabexg 5333	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
87	85, 86	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
88	87	ralrimivw 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V)
89		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧}) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})
90		ineq1 4205	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → (𝑣 ∩ 𝐴) = ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴))
91	90	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑣 = {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
92	89, 91	ralrnmptw 7104	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑋 {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∈ V → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
93	88, 92	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ({𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧} ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴)))))
94	83, 93	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ran (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {𝑤 ∈ 𝑋 ∣ ¬ 𝑤𝑅𝑧})(𝑣 ∩ 𝐴) ∈ (ordTop‘(𝑅 ∩ (𝐴 × 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  ‘cfv 6548  ordTopcordt 17481  PosetRelcps 18556   TosetRel ctsr 18557  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9435  df-topgen 17425  df-ordt 17483  df-ps 18558  df-tsr 18559  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862

This theorem is referenced by:  ordtrest2  23121